Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
Определение квадратного уравнения
|
|
|
|
Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.
Числа 
называются коэффициентами квадратного уравнения.
называется первым коэффициентом;
называется вторым коэффициентом;
— свободным членом.
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида 
, первый коэффициент которого равен единице (
).
Если в квадратном уравнении коэффициенты и не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение 
. Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, 
.
Значение неизвестного 
, при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение 
является корнем квадратного уравнения 
, потому что 
или 
— это верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.
Решение неполных квадратных уравнений
ax2 + bx = 0, a≠0, b≠0
Пусть неполное квадратное уравнение имеет вид 
, где a ≠ 0; b≠ 0. В левой части этого уравнения есть общий множитель .
1. Вынесем общий множитель за скобки.
Мы получим 
. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем 
или 
. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
2. Решаем получившуюся систему уравнений.
Решив эту систему, мы получим и 
. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня и .
Пример 1.
Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:
Ответ: 0; 4.
ax2 + c = 0, a≠0, с≠0
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим 
.
При решении последнего уравнения возможны два случая:
если 
, то получаем два корня: 
если 
, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.
Пример 2.
Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня 
и 
ax2 = 0, a≠0
Разделим обе части уравнения на , мы получим 
, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень .
Решение полного квадратного уравнения
Найдем решение полного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Решение с помощью дискриминанта
Дискриминантом квадратного уравнения 
называется выражение b2 — 4ac.
При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:
1. D 0. Тогда корни уравнения равны:
2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: 
3. D . В этом случае уравнение не имеет решения.
Теорема Виета
Теорема Виета — сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.
Обратная теорема — если сумма двух чисел x1 и x2 равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x1 и x2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен — многочлен вида ax2 + bx + c = 0, где x — переменная, a,b,c — некоторые числа.
Значения переменной , которые обращают квадратный трехчлен в нуль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена — это корни квадратного уравнения 
.
Теорема. Если квадратное уравнение имеет корни 
, то его можно записать в виде: x2 + bx + c = a (x — x1)(x — x2).
Пример 3.
Разложим на множители квадратный трехчлен:
Сначала решим квадратное уравнение:
Получим: 
и 
* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт
