Геометрия және өнердің байланысы

1 Көне кезеңдегі геометрияның пайда болу тарихы

1. Геометрияның пайда болуындағы жалпы ұғым

Геометрияның пайда болуы адамдардың жер өлшеу қажеттiлiгiнен пайда болған. «Геометрия» сөзі жер өлшеу деген мағынаны білдіреді. Осылайша алғашқы геометрлер жер өлшеушілер болды. Бірнеше мың жыл бұрын Мысыр мен Вавилонның геометриясы бөлек ережелерден тұрды. Бұл ережелер жер аумағын, шекарасын анықтау процестерінде жиналған тәжірибеден алынды.

Одан кейінгі ғасырларда сауданың және кәсiптің дамуымен байланысты геометрия дамып, оның мазмұны да едәуiр қиындаған. Геометрияның алдында әр түрлi денелердiң көлемдерiн есептеу, ыдыстарды өлшеуге, бұйымның пiшiнін өлшеуге қатысты және әр түрлi бұйымдарды өзара орналасқан жеріне байланысты жаңа мiндеттер пайда болды.

Геометрия - геометриялық фигуралардың өзара орналасқан жерін, пiшiнін, өлшемін зерттейтiн ғылым. Ол адамның тұрмыстағы қажеттiлiктеріне байланыста пайда болды және дамыды. Ежелден адамдар бұйымдар арасындағы қашықтықты, жер уческелерінің өлшемдерi, аспандағы жұлдыздардыың орналасуыарқылы анықтайтын.

Ежелгi Мысырда геометрияның пайда болуы туралы біздің заманымызға дейін 2000 жыл бұрын көне грек тарихшысы Геродот бұлай деп жазды: "мысыр перғауыны Сезострис, әр мысырлыққа жер бөліп беріп, тиісінше сол үшін салық жинады. Ніл өзені әр түрлі жер телімдеріне дейін тасып тиісінше сол аумақты басып қалатын, сол кезде жерді алған мысырлық, перғауынға оны хабарлайтын. Сол кезде хан жер өлшеушілерді сол аймаққа жіберіп қанша жерді су басып қалғанын, қанша жерді пайдалануға болатындығын өлшетіп, тиісінше салық алатын. Осылайша Мысырда геометрия пайда болып кейін Грецияға да өтті.

Неолит дәуірінің келуімен қарапайым астық жинаумен оның өндiрiсi, аңшылық пен балық аулаудан басқа егiншiлiк пайда болды. Бiртiндеп балықшылар мен аңшылар алғашқы қауымдық диқандармен алмасты. Кәсiптiң қарапайым түрі пайда болды. Неолит дәуiрiнің соңына қарай адамдар мыс пен қоланы балқытып, өндiрiс құралдарын және қару-жарақ жасауды үйренді. Бұл айырбас сауданың жандануына әкеп соқты. Заттардың ұзындығы мен тереңдігін өлшеу қажеттiлiгі туындады. Өлшем бiрлiктері дөрекi болды және адамның денесімен өлшемдер алынды.Құрылыстар кезінде түзу сызық пен тiк бұрышты құрылыстың ережелері пайда болды. Бірқатар елдерде межелеумен айналысқан адамдарды бау тартушылар» деп атаған.«Сызық» сөзі латынша тіліндегі linum - жіп, тоқыма жіп мағынасын білдіріп, геометрияның пайда болуымен байланысты болады.

Құпия мен сиқырға толы тас ғасырының дiнiнде, «сиқыршылық» (бесбұрышты жұлдыз, свастика) фигуралары болды. Бұл математикалық және геометриялық ғылымның дiни - эстетикалық тамырлары бар екенін көрсетеді.

Тiптi ең ежелгі тайпалардан біз күн, ай, планеталардың қозғалысы жайлы әлдебір мағлұматтар табамыз. Бұл жайлы мғлұматтар егiншiлiктiң, сауданың дамуымен нақтылана түсті. Ай күнтiзбенiң пайдалану адам баласының тарихындағы ежелгi дәуiрге жатады, өйткенi өсiмдiктердiң өсуңн айдың толып-кемуiмен байланыстырды. Саяхат кезінде адамдар шоқжұлдыздарды бағыттаушы ретінде пайдаланды. Бұл геометриялық түсініктің дамуының бір жолы болды.

Бiрiншi кезең - бұл геометрияның математикалық ғылым ретіндепайда болған кезеңi - Ежелгi Мысырда, Вавилонда және Грекияда шамамен біздің заманымызға дейінгң 5 ғасырлар. Алғашқы геометриялық мәлiметтер қоғамның дамуының өте ертедегі сатыларында көрiнiс табады. Ғылымның бiрiншi жалпы заңдылықтардың белгiлеп есептеу керек, бұл жағдайда - геометриялық шамалардың арасындағы тәуелдiлiктер. Бұл сәт даталанбаған. Бiзге жеткен геометрияның өте ерте шығармасы біздің заманымызға дейін 17 ғасырларда Ежелгі Мысырға жатады бұл әрине бірінші алғашқы емес.

Грек тарихшларының куілігіне сүйенсек, Геометрия біздің заманымызға дейін 7 ғасырларды Мысырдан Грекияға аударылған. Бұнда бiрнеше ғасырдан бері бір жүйеге жиналды. Бұл процесс әр түрлi геометриялық фактiлердiң арасындағы жаңа геометриялық өнер-бiлiмдердiң қорлануы, анықталуымен байланысты болды, дәлелдердiң тәсiлдерiн өндiру және, геометриялық фигура туралы ұғымдарды қалыптастыру. Бұл процесс сапалы өсуге әкелдi. Геометрия дербес математикалық ғылымға айналды: оның амалдары дәйектi түрде дәлелденетін, жүйелi түрде мазмұндамалары пайда болды.

Мысыр Геометриясы

Біздің заманымызға дейінгі екі мың жылға тарта уақыттағы Геометриялық бiлiмнің Мысырдағы даму тарихы туралы елеулi дәлелді мәлiметтер бар. Шөл мен Ніл өзеннің аралығындағы жеке адамдарға тиесілі құнарлы жер жыл сайын су басуға тап болып, әрдайым жер телімдерінің шекарасын бұзып кететін. Су тасқыны басылғаннан кейін жер аумақтарының шекараларын қалпына келтіру керек болды, себебі әрбір жер телім үшін үлкен салық төленетін. Яғни, бұл мысырлықтардың жер өлшеумен айналысуына себеп болды. Онымен қатар олар сауданы жақсы игеріп, ол үшін өлшейтін ыдыстарды пайдалана білу керек болды. Кеме жүргiзу олардың астрономиялық мәлiметтерге сүйенуіне әкелдi. Мысырлықтардың зәулім құрылыстары – біздің заманымызға дейін сақталған пирамидалар, құрылыс кезінде белгілі бір мөлшердегі құрылғылардың болуын талап еткендігі байқалады. Бұның бәрi геометрияның таза тәжiрибелi тарихын көрсетедi.

Вавилон геометриясы

Вавилондықтар шешкен алгебралық, арифметикалық мiндеттерге, жер телімдерін бөлу, жер аумағы, тұрмыстық құрылыстар орнату жатады. Сына жазу мәтiндерде кездесетін амалдар, догматикалық ережелердi түрінде қарапайым түрде жазылады: "былай iсте, солай істе". Бізге дейін жеткен Вавилондық кестелерiнде практикалық мұқтаждықтан пайда болған амалдар емес абстрактiлi амалдар болғанын байқаймыз. Бiрақ олай емес: ол қабырғаларды тұрғызу, жерлердi межелеу, даңғылы арналар, бөгеттер, қорғаныс құрылыстарын орнату қажеттiлiктерiмен байланысты туған. Жер телімдерінің тiк төртбұрышты, трапециялы, үшбұрышты жоспарллары сақталған. Бiрақ тиiстi геометриялық фигуралары олар абстрактiлi деп қабылдап, олар тiк төртбұрышты "ұзындығы және ені бар ", трапецияны - "бұқаның маңдайымен", сегменттті - "жекеленген жарты ай", қатарлас түзулерді - "қос түзулер" деп аталған. Вавилондықтарда нүкте, төте, желi, бет, жазықтық, параллелдiк сияқты геометриялық ұғымдар болмаған. Бірдеңені өлшеу баудың көмегімен жүзеге асырылды. Вавилондықтардың геометрия жайлы бiлiмдерi мысырлықтардыкінен жоғары болды.

Ежелгі Грекияның геометриясы

Грек көпестерi сауда жолдарыын салауда шығыс математикасымен танысты. Бiрақ шығыстың адамдары теориямен айналыспады, және бұны гректер тез байқады. Олар өздеріне мынадай сұрақтар қойды: неге теңбүйiрлi үшбұрыштың екi бұрышы негiздеуде тең; бiрдей биіктіктегі, негiздегі үшбұрыштың ауданы нелiктен тiктөртбұрыштың жарты ауданымен тең.

Өкiнiшке орай, грек математикасының ерте көзеңдегі дамудының жайлы мәліметтер сақталмады. Біздің заманымызға дейінгі төртiншi ғасырдағы қалпына келтiрiлген жазбалардың арқасында және араб ғалымдарын еңбектеріне, аудармамен айналысқан Грекиялық авторларды арқасында бізге Евклид, Архимед, Аполлонияның еңбектері жетті. Бiрақ бұл шығармаларда әбден дамыған математикалық ғылым енгізілген.

Ежелгі Грекияның математикасы дамудың ұзақ және күрделi жолын өтті, біздің заманымызға дейінгі VI ғасырдан VI ғасырға дейін. Бұл ғылымның дамуын тарихшылар үш кезеңге бөледі:

1. Жекелеген математикалық фактiлер мен мәселелердің жиналуы (б.з.д. 6-5 ғасыр)

2. Алынған білімді жүйелеу (б.з.д. 3-4 ғасыр)

3. Математиканың есептеу кезеңі (б.з.д 3 ғасырдан 6 ғасырға дейін)

Ғылым менмәдениеттің ерекше гүлдеуi біздің заманымызға дейінгі 6-4 ғасырларда грек өндiрiсiнің, адам тіршілінің қажеттiлiктерiмен тығыз байланысты болды. Механиканың, астрономия, құрылыс, архитектура, теңiзде жүру мәселелері математикалық әдiстердi жетiлдiруді талап еттi.Ол геометриялық есептеуден бастап аудандар, көлемдер, мсалмақты есептеуге дейін.

Геометрия дамуының екінші кезеңі. Жүйелi геометрия айлы мазмұндамалар б.з.д. 5 ғ. Гиппократ Хиосскийдің жазбаларында кездеседі. Біздің заманымызға дейін 300 Евклиддің "Басы" сақталып шешуші рөл атқарды. Грекияда оған тағы жаңа нәтижелер қосылады, аудандар мен көлемді анықтаудың жаңа әдiстерi пайда болады (Архимед, б.з.д. 3 ғасыр), конустық қималар туралы оқу (Аполлония Пергский б.з.д. 3 ғасыр), тригонометриялықтың бастауларын және геометрия саласын жинақтайды (Гиппарх, б.з.д. 2 ғасыр). Көне қоғамның құлдырауы геометрияның дамуын салыстырмалы тоқырауға әкелдi, дегенмен ол Индияда, орта Азияда, шығыс Араб елдерiнде дамуын жалғастырды.

Эвклид еңбектері

Эллинизм дәуiрiнің геометриясы үшiн теорияларды қисынды аяқталған қызығушылық тән. Бұл үрдiс Александрия Евклидтiң шығармашылығында көрінді (б.з.д. ІІІ ғасыр).

Б.з.д. III ғасырда көне грек ғалымы Евклид "Басталуы" атауымен кiтап жазды. Ол еңбегінде бұған дейін жиналған геометрия жайлы білімді жинап, қорытындылап өз мазмұндамасын берді. Ол кітаптың тамаша жазылғандығы сонша, 2000 жылдам астам уақыт бойы бұл кітап арқылы, немесе аудармасын алу арқылы геометрия жайлы білім берілді. Бірақ кәсіби математиктер бұдан басқа да ғалымдардың еңбектеріне жүгінді, олар: Архимед, Апполлония. Классикалық геометрияны евклидтік деп атап кетті, ал XIX ғасырдағыны евклидтік емес деп атады.

Евклидке бiрнеше теоремалар мен жаңа дәлелдер тиесілі, бірақ олар ұлы грек геометрлерiнiң жетiстiктерiмен салыстыруғаболмайтын, олар: Фалес және Пифагор (б.з.д. VІғ.), Евдокс және Теэтета (б.з.д. IV ғ. ).Евклидтiң сiңiрген зор еңбегi - ол геометрияны жүйелеп құрылысына қорытындысын шығарып, пішін бергендігі.

Ол кейін қиыншылық туындамау үшін барлық материалды 13 кітапқа тианақты түрде енгізді. Кейін грек математиктері тағы XIV,XV кітаптарды қосты. "Бастаудың" басты ерекшелiгi Аристотель еңбегінде де кездескен белгілі бір ұстаным бойымен дәлелденген теорялар жинақталған логикалық ізбен құрылған.

Архимед еңбектері

Архимедке үшбұрыштың үш жағынан анықтауға болатын формула тиесілі (Геронның формуласы деп қате айтылады). Архимед (архимедтiң денесi) көпжақтарын дөңестің жартысы бойынша теория жасады (толықтан әбден емес). «Архимедтiң аксиомасы» ерекше маңызға ие: тең емес кесiндiлерден тұратын кішісі қайталанған кезде үлкенiректиен асып түседi. Бұл аксиома қазiргi математикада маңызды рөл ақаратын архимедтік реттілікті анықтайды. Архимед үлкен сандарды шағаруа болатын санның ретін шағарды. Оның үлкен дәлдiкпен санның мағынасын ашып есептеп шығарды.

Менелай еңбектері

Менелай екі шығарма жазды: "Хордаларды есептеу туралы" 6 кiтап және "Сферика" 3 кiтап. Соның ішінде біріншісі біздің заманымызға дейін еткен жоқ. Сонымен бiрге екiншi кітаптың грекияық түпнұсқасы жоғалып, латынша аудармасы бізге жеткен. Бұл шығарманың арабша және еврей тіліне аударылған нұсқалары да болған. Менелайдың "Сферики" шығармасының басты пәні сфералық тригонометрия. Көп ұсыныстардың ішiнен, бұл шығармада кездесетінең күшті амал Менелай теоремасы, ол алты сандық ереже (regula sex quantitatum ) болып табылады. Оның мазмұны, егер үшбұрыштың барлық қабырғаларын түзу кесiп өтсе, онда олардың үш кесiндiсi, қалған үш кесiндiмен тең болады.

Апполон Пергскийдің еңбектері

Аполлон Пергский (б.з.д. 260-170), көне грек математикашысы және астроном, Евклидтiң шәкірті. «Конустық қималар» атты негiзi еңбегінде (8 кiтап) теориясына олардың толық мазмұндама бердi. Ғаламшарлардың көрiнетiн қозғалысын түсiндiру үшiн эпициклдертеориясын жасады. Аполлон Пергскийдiң ойы жаратылыстанудың дамуына үлкен әсер етті. Гипербола конустық қима болып табылады. Ол егер қиюшы жазықтық шың арқылы өтпей, конустың бетіндегі екі қуысынан өтуі мүмкiн.

Геометрияның үшінші даму кезеңі.Аналитикалық геометрия фигура және тiкбұрышты координаталардағы алгебралық теңдеулермен, алгебраның әдiстерiн пайдалана отырып зерттейдi. 18 ғасырда Л. Эйлердің, Монждың, жұмыстарның нәтижесiнде пайда болған дифференциалдық геометрия қисық сызықтар мен тік сызықтарды, олардың түрлерін, өзгеруін (яғни үздiксiз жиынтықтары) зерттейді.Онының атауы дифференциалдық есептеуденшығатын оның әдiсiнің негiзiнде пайда болған.17 ғасырдың 1-шi жартысына Ж.Дезарг және Б. Паскальдің жұмыстарындағы проективтiк геометрияның пайда болуына жатады. Ол жазықтықтағы денелердегі бейнелердің амалдарынан пайда болды; оның бiрiншi затын сол кез-келген нүктенiң бiр жазықтықтан басқасынасы жобалауда сақталған жазық фигуралардың қасиеттерi құрайды.Геометрияның соңғы ресiмделуі және жүйелi түрде мазмұндамасы 18 ғасырдың басы мен 19 ғасырда берілген.Эйлер аналитикалық геометрия үшiн (1748 ), Монж дифференциалдық геометрия үшiн (1795), Ж.Понселе проективтiк геометрия үшiн (1822 ) және соған қарамастан геометриялық бейне (сызу мiндеттерi бар байланыс түзуiне) туралы оқу Монждың геометриялық сызуына байланысты ертерек дамыған.Геометрияның осы жаңа ережерінің негізі ретінде барлық фигуралар (аксиома, бастапқы ұғымдар) өзгеріссіз сақталған, ал оларды қолдану аясы барынша кеңейіп дамып отырған.

Эйлердің еңбектері

Геометрияда Эйлер Евклид байқамаған бiрнеше фактiлердi тапты:

Үшбұрыштың үш биiктiгi бiр нүктеде (ортоорталық ) қиылысады.

Үшбұрышта ортоорталық, сырттай сызылған шеңбер ортасымен салмақ ортасы бiр түзу үстiнде жатады - «Эйлердiң түзуi».

Ерiктi үшбұрыштың, үш биiктiгiнің негiзі,үш жағының орталары және ортоцнтр мен төбесін жалғап тұрған үш қиманың ортасы бiр шеңберде (Эйлердiң шеңберi) жатыр.

Шыңдар саны (В), қырлары (Г) мен қабырғалары (Р ) қабырғалары кез-келген дөңес формуламен байланысты: В+ Г = Р +2.

Екiншi том«Шексiз кішіні талдауға енгiзу» (1748) - бұл аналитикалық геометрия мен дифференциалдық геометрияның негізітуралы әлемдегі бiрiншi оқулық.Аффиндiк түрлендiру термині басқа теориялармен бірге осы кітапта алғаш рет енгізілген.

1760 жылы iргелi «беті қисықтық туралы зерттеу» пайда болды. Эйлер тегiс беттiң әр нүктесiнде екi қалыпты минималды және максималдықисықты радиустары бар қисықтар мен жазықтар өзара перпендикуляр.Басты беттiң қисықтары мен қиманың қисықтарының байланысының формуласыншығарды.

1771 жыл: «Денелер туралы, бетін жазуға болатын жазықтық» тақырыбында шығарма жарияланған. Бұл жұмыста жазықтықты жазу ұғымы пайда болды, яғни тік жерге қоюға болатын беті тегіс жазықтық. Эйлер бұл жерде жалпы метрика жайлы теория беріп, оған жазықтықтың ішкі геометриясы байланысты болады. Кейіноның метриканы зерттеулері жазықтықты зерттеудің негізгі құралына айналады.

Геометрия дамуының төртiншi кезеңіН.И.Лобачевскийдің 1826 жылы жаңа неевклидтік геометрия, яғни Лобачевскийдің геометриясы деп аталады. Лобачевскийден бөлек 1832 жылы осы геометрияны Я.Больяй жасады. (Осы ойды К.Гаусс те дамытты, бірақ ол жариялаған жоқ).Лобачевский өз геометриясынкеңiстiктiң қарым-қатынастары теориясыретінде сияқты қарастырды; онының нақты мағынасы (1868) табылмағандықтан,толық дәлелдер болмағандықтан, ол болжамды болып қалды. Лобачевский жасаған Геометриядағы төңкерiс, маңызы жағынан жаратылыстанудағы ешқандай төңкерiске дес бермейдi, сондықтан Лобачевский "Геометрияның Копернигi" деп аталып кеткен.Оның ойларындағы геометрияның жаңа дамуын анықтайтын үш ұстаным байқалды. Бiрiншi ұстаным бойынша евклидтiң геометриясы ғана емес басқа да «геометриялардың» логикалық қисыны бар.Екiншi ұстаным – бұл түрін өзгерту және евклидтiң геометриясының негiзгi ережелердi жиынтықтауы арқылы жаңа геометриялық теорияларды құрастыру.Үшiншi ұстаным геометриялық теорияның шынайылығы, кеңiстiктiң нақты қасиеттерiне сәйкес физикалық зерттеу арқылы тексеру маңызды, мұндай зерттеулер евклидтiк геометрияның дәлсiздiгiн анықтайды. Заманауи физика бұны дәлелдеді. Дегенмен бұдан евклидтiң геометрияның математикалық дәлдiгi жоғалмайды, өйткенi ол бұл геометрияның (қайшылық еместiкпен) логикалық қисындылығымен анықталады.Осылайша кез-келген геометриялық теорияға қарым-қатынаста оның физикалық және математикалық шынайылықты ажырата білу керек; бiрiншiсi шындыққа сәйкес тексеретін тәжiрибеден тұрады, екiншi - логикалық қайшылықсыздықта. Лобачевский математиканың философиясына материалистiк анықтама бердi.

1. Геометрия туралы заманауи ұсыныстар

Алгебралық геометрияP=0 теңдеулер түрінзерттейді, Р - бiрнеше айнымалылардан тұратын көпмүшелiк. Сондықтан, бұндай амалдардың мәселелері мен шешімдері барлық жағынан зерттеледi. Алгебралық геометрияның геометрияның басқа бөлімдерінен ерекшелігі, ол геометрияның әдістерінен бөлек абстрактілі алгебраның әдістерін жиі пайдаланады, әсіресе коммутативті алгебра мен гомологиялық алгебра.Алгебралық геометрияның ең танымал жетiстiктерiнiң бiрi Ұлы Ферма теоремасы болып табылады.

Декартжасаған аналитикалық геометрия, қазiргi түсiніктегіалгебралық геометрияболып табылады. Бүгiнгі аналитикалық геометрия алгебралық геометрияның бөлімі ретінде жазықтықтағы сызықтық немесе тіктөртбұрышты зерттейтiн жүйе болып табылады. Қорыта келгенде, аналитикалық геометрияның объектiлерi - түзулер, жазықтық, сонымен қатар қисық және екiншi реттi бет. Бұл объектілерді жiктеудiң амалдарытолығымен шешілді, бірақ, аналитикалық геометрия өз мағынасын жоғалтқан жоқ.Ол нақты есептеулер үшiн де оқыту процесі үшiн де маңызды, себебi бұлар координат, инварииант сияқты негізгі әдістерден тұрады.

Дөңес геометрия дөңес геометрияның жиындарын зерттеуiмен айналысады, евклидтiк кеңiстiктердне басталады. Минковскийдiң (Hermann Minkowski) және Брунның (Hermann Brunn ) жұмыстарынан бастап дифференциалдану туралы қосымша жорамалдарсыз, дөңестiк қасиетi дербес теория құрастыруға болатыны белгiлi болды. Дөңес геометрияның ең жарық нәтижелерiнiң бiрi, қырларының қасиеттерiне арналған дөңес көпжақтың қалпына келтiруi туралы Минковскийдiң теоремасы болып табылады.Дөңес геометрияның бірнеше түрлері болады, ең алдымен дөңес бағдарламалауда және сызықтық бағдарламалау.

Есептеуiш геометрия комбинаториялық алгоритмдарын зерттеумен және геометриялық мiндеттердi шешiмінің құрылысымен айналысады, сонымен бiрге геометриялық модельдеумен, яғнишексіз қисықтар мен жазық беттердің дискреттi үлгiлерiн зерттеу.

Банахты және гильбертті кеңiстiктердің геометриясы шексiз аналогтер мен мөлшерленген және евклидтiк кеңiстiктердiң өлшемдерді зерттейдi.Өлшемнiң функционалды талдаумен, ықтималдық теориясымен, вариациялық есептеумен тығыз байланысты.Дөңес талдау, сызықтық алгебра, топология ойды және функциялар теориясын пайдаланады. Ең жарық нәтижелерге Хан-Банахтың үздiксiз сызықтық функционалды қайталау туралы теоремасы жатады. Банахтың жылжымайтын нүкте туралы теоремасы, Рис-Фрештіңекi жақты гильберт кеңiстiгiнiң изоморфизмы туралы теоремасы.

Ли геометриясы мен алгебрасы қосымша алгебралық құрылым мен геометрияныңжабдықталған алуан түрлерінтоптардың құрылымымен зерттейдi. Бұл ретте топтық операциялар жазық түрде жобаланады.Бұл алгебралық операция қосымша алгебралық құрылым жасап, оны Лидің алгебрасына айналдырады. (Marius Sophus Lie ) норвегиялық математик Софуса Лидің есiмімен аталған. Ли топтарының ең қарапайым мысалдары ол евклид пен Лобачевскийдің кеңістіктерінің қозғалысымен байланысты. Ли топтарының iшкi құрылымының байлығы бір жағынан, терең қарапайым емес нәтижелер алуға рұқсат бередi, компакт топтарды жiктеудiң теоремасы түрiнде, ал басқа жағынан қарағанда дейiн нақты есептеулер жүргiзеді. Ли топтары механика мен физикада да қолданылады.

Сандар геометриясы сандардың теориялық аспектiлерiмен жұмыс iстейдi.Сандарды геометрияның тұрпатты мiндетi көпөлшемдi кеңiстiкте дөңес дене бүтiн санды векторлардың орналасқан жерi қатысты болып табылады.Алғаш рет Минковскийдің жұмыстарында үлкен көлемдi симметриялы денеде (бүтiн санды базис) бүтiн санды нүктенiң бар болуы дәлелдеген.Функционалды талдаумен, диофантовыми және тиiмдi жуықтаулармен тығыз байланысты.

Дискреттi және комбинаториялық геометрия амалдарды біріктіреді, оларда нүктелер, сызықтар, дөңгелектер т.б. дискреттi геометриялық объектілер зерттеледі. Өзара орналасқан жерлер туралы мәселенi талқыға салатын немесе қомақты кеңiстiкте оңтайлы орналасқан жер туралы объектілер қарастырылады. мiндетi ең танымал мiндеттердiң арасында Кеплер мен Ньютонның кеңістіктің максималды деңгейі жайлы, кеңістіктегі дөңгелектердің тобы немесе санаулы мөлшері жайлы Таммның сфералық код туралы мәселесі. Дискреттi геометрияға кеңістіктегі графтардың орналасуымен байланысты мәселелер жатады.Мұнда мысалы, Делонның триангуляцияларымен, Вороногоның диаграммаларыменбайланысты геометрияның мiндеттерiн жатқызуға болады.

Дифференциалдық геометрия сол немесе өзге де бөлімдердің жазық көп құрылымдарын зерттейді. Математикалық сараптамамен тығыз байланысты өз әдiстермен, жеке алғанда дифференциалды функциялардың қасиеттерiмен ерекшеленеді.Гаусс пен Монж жасаған қисықтар мен тегістіктік классикалық теориясынан дамыды. Дифференциалдық геометрия шартты түрде жергілікті болып бөлінеді, яғни нүктенің кіші айналымын, жаһандық(аталатын өлшемді геометриясы "жалпы") зерттейтін, сонымен қатар көптүрлі фрагменттер мен сипаттамаларды зерттейді.Басқа мағынада, біз белгілеген геометрияның жеке бөлiмдерi риманова геометрия, симплектическая геометрия сияқты дифференциалды геометрияның бөлімдері сияқты қарастырылады.

Интегралдық геометрия, керi классикалық интегралдауларды зерттейдi, атап айтқанда бойымен оның интегралдарының мағыналарын теру бойымен функцияны қалыпына келтiрудiң мүмкiндiгi немесе бастапқы функцияның анықтау аясының басқа iшкi жиындарын зерттейді. «Интегралдық геометрия» термині XX ғасырдың 30 жылдарында Бляшке жұмыстарында пайда болды және алғашындамүлдем басқа мағынаны бiлдiрдi: функциялардан интегралды осы не басқа жиынтықтардан немесе шектеулі өлшемді кеңістікті есептеу. Заманауи интегралды геометрия бiртектi кеңiстiктердi кеңістік теорияымен, қабаттыкеңiстiкi теориясымен, ұсыныс теориясымен, өлшем теориясымен байланысты.Көптеген қосымшалары бар, мысалы, компьютерлік томография.

Кешендi геометрия геометрияны кешендi құрылымы бар алуан түрлi жағынан зерттейдi.Оның бастапқы бұтағы –Риман тудырған бір өлшемді түрліліктерді зерттейтін римановты беттердiң теориясы. Кешенді геометрия үшін кешенді талдау мен алгебрамен байланыс тән.Соңғы кездері кешенді геометрияның заманауи теориялық физикамен тығыз байланысы анықталуда. (жеке алғанда Тейхмюллердің кеңiстiк геометриясы).

Компьютерлік геометрия геометриялық үлгілерді визуализациялаумен байланысты жалпы компьютерлік моделдеумен айналысады. Компьютерлік геометрия есептеуiш геометриядантұрады, бірақ, онымен шектелмейдi.Компьютерлік геометрия аясында дифференциалдық теңдеу, Евклидтiк емес геометрия, алуан түрлiлiк, қасбеттегі геодезиялық ағыс, т.б. сияқты қиын объектілер жасалады.Компьютерлік геометрия заманауи ғалымға түрлi компьютерлік эксперименттерiн жүргiзу үшiн қуатты құрал болып табылады, нәтижесінде сол немесе басқа гипотезалар қалыптасады.

Метрлiк геометрия қисықтар мен қасбеттер сияқты, классикалық объектілердіңгеометриясын зерттейді, оларда қашықтық функциялары анықталады. Соған орай, дифференциалды терминдерде анықталған қисықтық сияқты қасиеттер, қашықтықтың функциясына қатынастардың терминдерiнен түсініктеме алады. Нәтижесінде, бір жағынан, дифференциалдық геометрияның көптеген нәтижелерін жалпы объектілердің тік болуы туралы жорамалдарына ауыстыруғаболады, бұл көп жағдайда толық кеңістіктер қарастырылатын объектілерге қол жеткізуге мүмкіндік береді.Тексергенде, бiр қарағанда математикалық объектiлермен арасында күтпеген қашық байланыстар пайда болады. Мысалы, дискреттi қасиеттерді тобы (Громово ) кеңістік геометриясының терминдерінде манхеттендік метрика деп аталатын лажы болады. Басқа жағынан қарағанда, мұндай түсiндiру дифференциалды - геометриялық нәтижелердiң мағынасын түсiнiп, қисықтық, тензор сияқты күрделi объектілер жайлы түсініктің дамуына әсер етеді.

Сызу геометриясы кеңiстiктiң фигураларын олардың бiрнеше ортогональ проекцияларының көмегімен зерттейдi. Инженерлiк iсте құрылыс үшiн сызбаларды оқуда негiзгi құрал ретінде пайда болды. Сызу геометриясының негізін Монж салған, ол инженерлік мектепте сабақ беріп, басыбайлы құрылымдар есептеуге тапсырыстар алатын. Соңғы кезде, бәрi жобалаудың автоматтандырылған жүйесiнiң дамуымен, сызу геометриясының рөлi таза бiлiм берумен байланысты болып қалды.

Коммутативті емесгеометрия сол немесе басқа кеңiстiктердiң сыныптарыда алгебраларының функциялардың коммутативті емес аналогты қасиеттерінзерттейдi. Осы пайда болуы Гельфанд-Наймарканың 1940 жылдары дәлелденген теориясымен байланысты. Коммутативтi C*-алгебр және топологиялық кеңiстiктердiң ықшам баламалылығы туралы.Алгебралық құрылымдар коммутативтiлiк қасиеттерін жоғалтқаннан кейін де мазмұнды болыр қалады. Коммутативті геометрияның шеңберiнде қазiргi математиканың әр түрлi бөлiмдерiнен әдiстер бiрiктiрілдi: топология, дифференциалдық геометрия, функционалды талдау, өлшемнiң теориясы, ұсыныстар теориясы және т.б.Коммутативті емесжиынтықтаудың ойы iргелi болып табылады, себебi оның арқасында, көптеген ең маңызды амалдаршешімін тауып,жоғарыда айтылғандар жаңа әдiстермен және нәтижелермен өзара байыды. «Коммутативті емес геометрия» термині А.Конның «Коммутативті емес геометрия» монографиясынан пайда болды.

Риманова және финслеровагеометриясы жанама векторлардың ұзындығын өлшеуге қатыстықосымша құрылым берiлген алуан түрлiлiктердi зерттейдi.Мұндай құрылымдардың негiзгi мысалдары Риманова мен псевдориманова метриканың болып табылады (қатысты кеңiстiктерге азғындалмаған симметриялы бисызықтық тұлғалар алуан түрлiлiк нүктеге байланысты тегiс) және финслерова құрылымы (қатысты кеңiстiктерге нормаларын жақын қосымша өзiне тәне алуан түрлiлiкке ие нүктеге байланысты тегiс).Риманова геометриясының негізін қалаған Риман, ол қасбеттердiң көп өлшемдi жағдайға салынған теориясын, оған Гаустың, Бонныңжәне т.б. классикалық нәтижелерiнжалпылап қосатын. Риманова геометриясының аясында, (Риччионың секция қисықтығы, қисықтығы, Риманның қисықтығы) екi өлшемдi беттiң ұқсас қисықтықтарының терминдерiндегi алуан түрлiлiктердiң жаhандық құрылымына шектеуiноның жергiлiктi сипаттамаларын алуға болады.

Симплектілі Геометрия симплектілі алуан түрлiлiктiң зерттейдi, яғни. (құрылым симплектическая) 2-форма азғындалмаған тұйықталған берiлген алуан түрлiлiк. Iс жүзiнде, симплектілі геометрия геометрияның жеке бөлiмi ретінде классикалық механиканың мiндеттерi үшiн тiлi қолайлы сапада 200жыл бұрын пайда болды.Қазіргі кезде симплектілі геометриянының көптүрлілігін зерттеудің негiзгi қызығушылығы онда механика, математикалық физика, геометрияның әр түрлi мiндеттерін суреттейтiн динамикалық жүйе фазалық кеңiстiк табиғи қараатын сияқты болып көрiнедi.Дегенмен, 1970-80 жылдардан бастап (В.И.Арнольд, А.Вайнштейн(A.Weinstein), М.Л.Громовалардың жұмыстарынан кейін) симплектілі геометрия математиканың тәуелсіз бөліміне айналды, онда даму математикалық физикамен, кiшкене топологиямен, динамикалық жүйелердiң теориясымен, алгебралық геометриямен, кешендi талдаумен тығыз байланысты.

Стохастикалық геометрия стохастикалық талдаудың бөлiмдi болып табылады.Ол шексiз өлшемдi гильбертті кеңiстiктерiнде кездейсоқ процесстерді және типыл гильберт Итоның стохастикалық теңдеу суреттелетiн алуан түрлiлiктерiн зерттейдi. Мұндай процестердiң ауыспалы ықтымалдықтарды тегiстiктiң қасиетiн зерттей келе, Лидің топтарының шексiз өлшемдерінде квазиинварианттық өлшемдер енгiзiледi. Стохастикалық дифференциалды геометрияның негiзін Ю.Л. Далецки мен Я.И.Белопольский XX ғасырдың 70-шi жылдары қалады.

Фрактал геометриясысы (өзiне ұқсас көптер) фрактал деп аталатынды зерттейдi.Мұндай көптер ерекше қасиеттерімен бiрiншi рет XIX ғасырда пайда болды (мысалдары Кантордың көбi).«фрактал» терминін Б Мандельброт 1975 жылы енгiзген. 1977 жылы «Табиғаттың Фрактал геометриясы» кітапбы шығып танымал болды.Дегенмен (fractus латынша - ұсақталынған сындырылған сынық) «фрактал» математикалық терминдi болып табылмайды және көпшiлiк мақұлдаған математикалық ұғымы жоқ.Яғни, бас-аяқ тұтастай бiрнеше бөлiк жасалынған өзiне ұқсастырулары күрделi геометриялық фигура фрактал деп аталады. Кең мағынадан айтқанда, фракталдар кеңiстiктiң (Минковский маңызда немесе Хаусдорф) бөлшек метрикалық өлшемдiгі бар евклидовомға нүктелер жиындарын немесе метрикалық өлшемдiк, қатал үлкен топологиялық түсiндіредi.Қазiргi фрактал геометриясында кездейсоқ фракталдар зерттеледі.Фрактал геометриясы сандарды теориямен және қазiргi физикамен терең байланысы болады.

Осындай әр түрлi білім аймақтарын геометриялық әдiстер бiрiктiредi.

Геометриялық объектілердің ең маңызды ерекшелiгі олардың (координаттар жүйесiнен еркіндігі) инварианттылығы болып табылады. Бұл тұрғыда геометрия формулаларда және есептеу емес, салалық талдау әлемнiң емес ең алдымен негiзделген көрiнiсiн ол ерекше, тән қалыптасады; түйсiктi кең пайдалануы бар толық математикалық қаталдықтың тiркесi мұндай көрiнiс үшiн тән. Геометриялық объектілерді талдаудың іргелі әдістерін атап өтейік.

Әртүрлi қосымша құрылыммен жабдықталған кеңiстiк (нүктелер ) бiртектi объектінің өзiне тән қасиеттерін анықтау және сипаттама беру.Мысалы, евклидтiң кеңiстiктерi, үздiксiз беттер, (әр түрлi құрылымдары бар алуан түрлiлiк жеке алғанда - келеровой Риманова, псевдоримановой, кешендi, алгебралық, симплектикалық, түйiспелi, финслеровой және тағы басқалар) типыл алуан түрлiлiктер, гильберт кеңiстiгi, топтарының геометриясының сипаттамасы, жалпы топологиялық кеңiстiктер, жасушалық ұялу тағы басқаларын сипаттау.

Орталық геометрияның (және жалпы математиканың) әдiстерiнiң бiрi - координатизация әдiсі.Геометриялық объектiнi зерттеу үшiн оның қасиетi суреттел аналитикалық немесе алгебралық құрылғы көмегiмен рұқсат беретiн координаттар жүйесi енгiзiледi.«Аналитикалық геометрия», «дифференциалдық геометрия», «алгебралық геометрия», «симплектикалық геометрия» терминдерi сол геометрияныі бөлімдерінде пайдаланылатын координаталардың әдістерімен байланысты болады. Мұндай тәсiлде әр түрлi геометриялық құрылымдар бар координаталық жүйелердiң әр түрлi сыныптарында және координатаның көрініс табады (айталық, симплектілік геометрияда симплектілік кординаталар мен канондық өзгертулер қаралады, кешендi геометрияда - аналитикалық координаталар және голоморфты ауыстырулар және тағы басқалар).Себебi геометриялық объектiлерi инвариантты, координаталық әдiстiң негiзi бөлiгі, маңызы бойынша әртүрлi координаталардың ауыстыруларында бойынша формула сипаттамада тұрады.

Геометриялық объектiнiң ең маңызды сипаттамасы - оның «симметриясын» теру, яғни оның қасиет сақтайтын түрлендiрулер тобы.Осылайш изометриялардың тобы диффеоморфизмдарды ортогональ тобы операторларды байланған тобы евклидтiң кеңiстiгiмен алуан түрлiлiкпен алуан түрлiлiкпен римановыммен және тағы басқалар байланысты.Түрлендiрулерді зерттеу объект туралы ең маңызды ақпарат алуға көмектеседі; мысалы, бiртектi кеңiстiктердi зерттеуде түрлендiрулер маңызды рөл атқрады.

Геометрияда метрлiк тәсiл нүктелердiң ара қашықтықтың аналогi енгiзуге қатысты және зерттеу (метрикалық кеңiстiктердi теория араласа, банах кеңiстiктерiн геометрия және ондағы операторларды қасиетi, жартылай норма және кеңiстiк Фреше және тағы басқалар) бұд қашықтық өзiне тән.

Аксиомалық әдiс оның пайда болуынан бастап геометрияда қолданылады.Ол геометриялық құрылымдар одан қалған қасиеттер соңынан алып тасталған аксиомалардың тiзiмiнің көмегiмен суреттеліп тұрады.Мысалы, евклидтiң геометриясы сызықтық кеңiстiкте анықталады (яғни. қосудың операцияларымен көп және аксиомалардың белгiлi терулерiне қанағаттанған) скалярлық көбейтумен санға көбейту. (векторлардың булары функциямен, да кейбiр қанағаттандыратын кейбiр аксиомаларға). Басқа мысал: алуан түрлiлiктегi аффин орамдылығы векторлық өрiстердi сызықтылықтың аксиома қанағаттандыратын дифференциалдау операция сияқты анықталады және Лейбництiң ережесiне сәйкес болады

Соңғы он жылдықтарда компьютерлі геометриялық модельдеу белсенді дамуда. Әр түрлi процестердi модельдеуде пайда болатын геометриялық объектiлерді көзге елестетуге рұқсат беретiн бағдарламалар көптеп пайда болды, оларды өңдеп математикалық, физикалық, биологиялық, экономикалық тағы басқа болжамдарын тексерiс мақсатымен компьютер эксперименттерi қойылды. Сонымен қатар, компьютер модельдеутiптi, математикалық теоремалардың дәлелдеу үшін пайдаланылады (бұндай дәлелдер көптеген математиктерде күмән келтiредi); танымал мысалдар – Аппельмен Хакен 1976 жылғы төрт бояу туралы болжамы және 1989 жылы Лэмомның түпкi проективтiк жазықтықты жұлдыз аралығының дәлелі 10-шi реті.

Геометриялық бейнелер бейнелеу өнерiнде және архитектурада ежелден пайдаланылды. Перспектива жайлы геометриялық ғылым Эсхилдің және Демокриттің еңбектерінде кездеседі (Әрине, оның элементтері ертеде қолданыла бастаған, мысалы, мысыр храмдары мен пирамидаларының құрылысында). Геометрияның бұл бөлiмi бұдан әрі көптеген суретшiлермен ғалымдардың арқасында дамды (оның дамуына үлкен үлес қосқандар Леонардо да Винчи, Дюрер, Дезарг, Монж және т.б.). Қазiр геометриясы келешектiң және сызу геометриясы - суретшiлер, архитекторлардың, дизайнерлердің стандартты құралы болып табылады. Айталық, Шарм-аль- Шейх аэровокзалының төбесі - (Мысыр ) минималды беттiң үлгiсi боп көрінеді. Геометрия музыкада да маңызды: музыкалық аспаптың формасы, концерт залының, храмның формасы бұл жұқа геометриялық және акустикалық есептеулердің нәтижесі. Әйтеуiр, 3D технологияға да жеттік, оның негiзiнде жобалық есептеуiш геометрия жатыр. Ол көбінесе кино және телевидениеде пайдаланылып олардың дамуына едәуір үлес қосады.

Тұрмыстағы геометрия

Қабырға, еден және төбе (терезе ойықтарына, есiктерге назар аудармаймыз) тiкбұрышты болып келеді. Бөлмелер, кiрпiштер, шкаф, темiр-бетонды блоктер, тiк төртбұрышты параллелепипедті еске түсiредi. Паркетті еденге назар аударайық. Паркеттiң планкi - тiкбұрыш немесе квадраттар. Шомылатын бөлменің еденіндегі, метродағы, вокзалдағы плиткалар, алтыбұрышты немесе сегізбұрышты жиiрек кездеседі, олардың арасында шағын кiшкене шаршылар салынған.

Көптеген заттар шеңберді еске түсiреді - цирктiң алаңы, құрсау, сақина, жол жағалай. Цирктiң алаңы, стақанның түбi немесе тәрелке пiшiнiн шеңбер түрінде болады. Егер қарбызды көлденең кессе фигура, шеңбер болып шығады. Стақанға су құямыз. Оның бетiнде шеңбердiң пiшiні болады. Егер стақанды еңкейтсе, ішіндегі суы төгілмес үшін онда эллипс дене бiтiмінде болады. Ал кейбiреулерде шеңбер түріндегі немесе жап-жалпақ параллелепипед түрiнде үстелдер бар.

Уақыт өте келе адамдар дөңгелек ыдыстар, құмыралар, вазалар дайынлауды үйренді. Қарбыз, глобус, әр түрлi доптар (футбол, волейбол, баскетбол, резеңке) геометриялық шарға әлпеттес. Сондықтан, футбол жанкүйерлерiнен қандай есеппен аяқтайтынын сұрасаң, көбіне: "білмеймін - доп домалақ" деп жауап береді.

Шелек төменгi пiшiнiн қиық конус ал жоғарғы жағы артық негiзде болады. Былай қарағанда, шелек цилиндр түрінде де болады. Негізінде цилиндр конус түріндегі заттар бізді қоршаған ортада көптеп кездеседі: бумен жылыту, кастрөл, күбiнiң тұрбасы, стақандар, шамның қалпағы, саптыаяқ, консерв банкасы, қомақты қарындаш, бөрене тағы басқалар.

Архитектурадағы геометрия

Үйдің пішіні шамаммен тiк төртбұрышты параллелепипед сияқты болады. Қазiргi архитектурада әр түрлi геометриялық пiшiндердi батыл пайдаланады. Көп тұрғын үйлер, қоғамдық ғимараттар бағаналармен безендiрiледi.

Шеңбер геометриялық фигурасына суретшiлер мен архитекторларды әрқашан көз тартады. Санкт-Петербург қайталанбас сәулеттік келбет "чугунное кружево" - бақша қоршауы, қолданыстағы көпірлер мен жағалаулар, балкондар және шамдар торлары. Жазда да қыста да қалаға өте әдемі көрініс береді. Таврия сарайының қақпасына ерекше мән беріледі (сәулетші Ф. И. Волков ХІІІ ғ. соңында құрған) шеңбер ою-өрнекпен жасалған. Салтанаттылық және жоғарыға ұмтылу - мұндай әсер архитектурада ғимараттардааркаларды пайдалану арқылы шеңбердiң доғаларды таныстырды. Бұны Басты Штабтан байқаймыз (Санкт-Петербург). Православиелiк шiркеулердi салуда архитектура мiндеттi күмбез, арканың элементтерi, кеңiстiк артқан дөңгелек жинақтар сияқты, жеңiлдiк, әдемі көрініс әсерлі элементтері болады.

Мәскеулiк Кремль өте әдемi. Оның мұнаралары өте Тамаша! Қызықты геометриялық фигуралар жинақталған! Мысалы, Дабыл мұнарасы. Биiк параллелепипедте терезелер үшiн ойықтардан тұратын кiшiрек параллелепипед, ал жоғарырақ төрт бұрышты молтақ пирамида тұрғызылған. Онда сегiз бұрышты пирамида аяқталған төрт аркалар жайғастырылған. Әр түрлi пiшiнді геометриялық фигураларды басқа да ғимараттарданкөруге болады.

Үшбұрыштың мәнерлi кереғарлығы және қасбеттегi тiкбұрыш (Голландия ) Гронингеннiң мұражайының келушiлерi мынау пiшiндер (АҚШ) Сан-францискоға қазiргi өнердi мұражайдың ғимаратында тамаша сыйысқан Қомақты, тiк төртбұрышты, шаршы назар аударады - Парижда Жорж Помпиду атындағы қазiргi өнердi орталықтың ғимараты - ашық өрнектi металлдық арматурасы бар алып мөлдiр параллелепипедтiң тiркесi. Берлиндегі (Германия ) аурухана ғимаратының басты элементтерң - тiкбұрыш және шеңбер. Лионның(Франция ) әуежайындағы темiр жол станциясының геометриялық пiшiнi ежелгi алып құсты еске түсiредi және бұл заманауи құрылым болып табылады.

Геометриялық фигураларды көпiрлердiң құрылымдарынан табуға болу. Көпiрдiң жақтауында суға батырмайтын дөңгелектердi жиi нығайтады. Олардың пішіні торға ұқсайды.

Көлік геометриясы

Көше бойымен жеңіл автокөліктер, трамвайлар, троллейбустар, автобустар жүреді. Олардың дөңгелектері геометриялық көзқараспен қарағанда шеңбер болып келеді. Бізді қоршаған ортада әр түрлі қасбетті, формасы қиын, арнайы атау жоқ нәрселер болады.

Бу қазандығы цилиндрды еске түсiредi. Онда жоғары қысымды бумен бу табады. Сондықтан цилиндрдің қабырғасы сәл иіліп қалады (көзге онша түспейді), оны инженерлер тез байқап, қазандықты дұрыс есепке алу керек. Су асты қайығының пішіні күрделi болады. Ол жақсы ағылатын, мықты және сыйымды болуы керек. Кеменің беріктігі, жылдамдығы, орнықтылығы оның пiшiніне бағынышты болады. Қазiргi инженерлердi жұмыстың нәтижесi автокөлiктер, пойыздар, ұшақтарды - биiк қозғалыс жылдамдықтары болып табылады. Егер пiшiн жақсы болса, ағылатын ауаның кедергiсi есебiнен жылдамдық едәуiр артады.Күрделi пiшiндер болады оларға машиналардың бөлшектерiжатады - гайка, бұрандалар, тiстi дөңгелек және тағы басқалар.

Ракеталар мен ғарыш кемелерін қарастырайық. Ракетаның корпусы цилиндрдан тұрады (оның ішінде қозғалтқыш пен отын болады). Ал конустық бас жағында кабина болады. Оның ішінде космонавт пен жабдықтар болады.

Бiздi қоршаған ортадағы тiркестер

В орыстың күштi кеңес инженеріГ. Шухов салған телевизия мұнарасы. Ол математиктер айналу гиперболоидтары деп атайтын бөлiктерден тұрады.Бiр жағынан қисықтардың өздері тура сызықты блоктардан тұрады. Бұнымен Шухов мұнараның тұрғызуды жеңiлдеттi.

Колонналар көп жағдайда – цилиндрлер түрінде, кейде одан күрделірек формада да кездеседі. Ал қаза болғандарға арналған обелисктер - төртқырлы бағаналар.

1908 жылы жас француз суретшілерінің тобына қалжың ретінде кубистери деп атап кеткен, себебі олар бейнелеген құрамалар текше, шар, цилиндр, конус түріндегі геометриялық фигура болды.Күлкiлi лақап аттан "кубизм" атты сурет бағыты пайда болып, күллі әлемге тарады. Осындай жұмыстардың бірі Пабло Пикассоның «Скрипка» картинасы. Ал бұндай "геометриялық" креслода отыру өте ыңғайлы.

Геометриялық фигуралар түрінде пайда болған табиғи туындылар

Адамның қолынанжасалған кейбiр геометриялық пiшiндер осыған дейiн қарастырылды. Бiрақ табиғатта әдемі геометриялық пiшiндердi көптеп кездеседі. Ерекше әдемi және түрлi көпбұрыштар табиғатпен жаратылған.

Кристалды тұздар куб түрінде болады. Тау хрусталының кристалдары ұштарғанқарындаштыеске түсiреді.Алмаздар кейде октаэдр кейде куб трінде кездеседі. Микроскопиялық көпбұрыштар көп болады. Микроскоптан судың молекулалары қатқан кезде тетраэдрлардың орталарында орналасатынан көруе болады.Көмiртектiң атомы тетраэдр пiшiнiнде әрқашан төрт басқа атомдармен құрама болады.Геометриялық фигуралардың ең әдемісі қар жапалақтары болып табылады.

Кәдімгі бұршақ шеңбер түрінде болады. Бұл жәйдан-жәй емес. Бұршақ піскеннен кейінқабырғалары жарылып, бұршақ дәнi жерге түсып, басқа аумақтарға домалап кетеді. Су тамшылары шар тәрiздi пiшiнде болады...Барлық сұйықтық салмақсыздық жағдайда шар пiшiнiнде болады. Не себепті шар сондай танымал? Бұл бiр күштi қасиетпен түсiндiріледi: кез-келген басқа пiшiндi ыдысқа қарағанда, шардың жасалуына материал едәуiр аз жұмсалады. Сондықтан, егер сiзге сыйымды қап қажет болса, шар пішінді қап тігіп алыңыз. Шар - ең кiшi қабығы бар ең үлкен көлемді жалғыз геометриялық дене.

Геометриялық пішіндерді жануарлардың пайдалануы

Үнемдеу ұстанымын жануарлар жақсы «меңгеріп» алды. Суық кезде олар денесін дөңгелетіп бүктеп алып жатады, сол кезде жылу жақсы сақталады. Сол себепті солтүстiк халықтары домалақ үйлердi салды.

Әрине, жануарлар геометриялары зерттемедi, бiрақ оларды табиғатүйлерін геометриялық пiшiнде салу дарынымен үлестiрдi.

Көптеген құстар - торғайлар, лира құйрық, қалақай құстары өз ұяларын жарты шардың пiшiнiнде салады.

Балықтардың ішіндеархитекторлар бар: тұщы суларда Колюшка таңғажайып балығы өмiр сүредi.Ол озітектестерге қарағанда шар пiшiндi ұяда тұрады. Бiрақ ең шебер геометрлер - аралар.Олар алтыбұрыштылардан ұяшықтар салады. Кез-келген ұяшық алты басқа ұяшықтармен қоршалған.Ал негiздеуі, немесе түбі, үш қырлы ұяшық пирамида болады. Бұл форма жай таңдалмаған. Алтыбұрышқа бал жақсы орналасады, ал ұяшықтардың арасындағы саңылаулар кiшкентай болады!Құрылыс материалдары менкүшті зерделi үнемдеу.