Элективный курс «Решение текстовых задач»

Элективный курс в 9 классе

«Решение текстовых задач»

Учитель: Архипова Ирина Александровна,

I квалификационная категория

Пояснительная записка.

Анализ результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в среднем около 30 %. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были остаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного радела элементарной математики.

Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильной выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы из решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы.

Полный минимум знаний, необходимых для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения в школе, поэтому представленный элективный курс «Текстовые задачи» рекомендуется вводить с 9-го класса.

Представленный элективный курс содержит 6 тем. Первая тема «Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной. При её раскрытии акцент должен быть сделан на выделение основных этапов решения задач и их назначение. Следует также обратить внимание учащихся на важность умелого письменного оформления. Следующие четыре темы – «Задачи на движение», «Задачи на смеси, сплавы, растворы», «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии» - закрепляют и дополняют знания учащихся, полученные на уроках. Последняя тема - «Задачи с экономическим содержанием» - выходит за рамки школьной программы, и значительно совершенствуют навыки учащихся в решении текстовых задач.

Всего на проведение занятий отводится 19 часов. Провести занятия можно в форме обзорных лекций с разбором ключевых задач или в форме семинаров, нацелив учащихся на предварительную подготовку и самостоятельный поиск материалов с и последующим обсуждением. На практические занятия и отработку умений и навыков отведено 10 часов. В программе предусмотрено проведение трёх тематических зачётов (по одному часу каждый).

Цель:

• создание условий для обоснованного выбора учащимися профиля обучения в старшей школе и качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи курса:

• определить уровень способностей учащихся и уровень их готовности к профильному обучению в школе;

• систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач;

• познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и различными способами их решения.

Ожидаемые результаты.

После изучения курса учащиеся должны:

• уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, использовать при решении различные способы;

• уметь применять полученные математические знания при решении задач;

• уметь использовать дополнительную литературу.

Учебно-тематическое планирование материала.

№	Темы урока	Количество часов	Технология реализация
1	Текстовые задачи и техника их решения.	1	Обзорная лекция
2	Задачи на движение.	3 + 1	Беседа, практикум, зачёт
3	Задачи на работу.	3	Практикум
4	Задачи на сплавы, смеси, растворы.	3 + 1	Лекция, практикум, зачёт
5	Задачи на прогрессии.	3	Лекция, практикум
6	Задачи с экономическим содержанием.	3 + 1	Лекция, практикум, зачёт

Содержание курса.

Текстовые задачи и техника их решения (1 час).

Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой задачи. Этапы решения текстовых задач арифметическими приёмами (по действиям). Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их систем. Значение правильного письменного оформления решения текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощь. Графика. Чертёж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.

Задачи на движение (4 часа).

Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Графики движения в прямоугольной системе координат. Чтение графиков движения и применение и для решения задач с использованием элементов геометрии. Особенности выбора переменных и методика решения задач на движение. Составление таблицы данных задачи и её значение для составления математической модели. Зачёт по теме «Задачи на движение».

Задачи на сплавы, смеси, растворы (3 часа).

Формула зависимости массы или объёма вещества от концентрации и массы или объёма. Особенности выбора переменных и методика решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи и её значение для составления математической модели.

Задачи на работу (3 часа).

Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методика решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи и её значение для составления математической модели.

Зачёт по темам «Задачи на работу», «Задачи на сплавы, смеси, растворы».

Задачи на прогрессии (3 часа).

Формула общего члена и суммы первых n-ых членов арифметической прогрессии. Особенности выбора переменных и методика решения задач на прогрессии.

Задачи с экономическим содержанием (3 часа).

Формула процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методика решения задач с экономическим содержанием.

Зачёт по темам «Задачи на прогрессии», «Задачи с экономическим содержанием».

Тема 1

Текстовые задачи и техника их решения

Цели:

• рассмотреть виды и типы текстовых задач, методы их решения.

Ход занятия

1. Организационный момент.

2. Обзорная лекция.

Текстовые задачи довольно трудно подразделять на арифметические и алгебраические, так как задачи, решаемые арифметически, всегда можно решить и алгебраически, т.е. с помощью составления уравнения. Случается так, что задачи из курса алгебры решаются арифметически, по действиям.

Арифметические текстовые задачи можно условно разбить на следующие типы:

• задачи на совместную работу;

• задачи на движение;

• задачи на проценты;

• задачи на смеси и сплавы;

• задачи с геометрическим содержанием;

• другие задачи.

Задачи на арифметические действия.

Такие задачи решаются путём последовательного выполнения арифметических действий с целью нахождения неизвестной величины.

Например:

В двух типовых шестнадцатиэтажных домах 192 квартиры. В одном доме два подъезда, а в другом – один подъезд. Сколько квартир в каждом доме?

Решение:

Так как подъездов в одном доме в два раза больше, чем в другом, то и квартир в одном доме в два раза больше, чем в другом. Чтобы найти количество квартир в одно подъездном доме нужно 192 разделить на 3 (192 : 3 = 64 квартиры).

Чтобы найти количество квартир во втором доме, можно из 192 вычесть 64, или 64 умножить на 2 (192 – 64 = 128 квартир, 64 ∙ 2 = 128 квартир).

Ответ: 64 (квартиры), 128 (квартир).

Задачи на движение.

При решении задач на движение используется одна из трёх формул:

S = v ∙ t; v = ; t = .

S – пройденный путь, v – скорость движения, t – время, затраченное на прохождение данного пути.

Необходимо помнить, что величины должны быть в одной системе единиц. Часто большую помощь при решении задач на движение оказывает рисунок, график или таблица.

Например:

Два теплохода вышли одновременно из одного порта и идут в одном направлении. Первый в каждые 1,5 (часа) проходит 25,5 (км), а второй – 19,5 (км). Через сколько часов первый теплоход обгонит второй на 16 (км)?

Решение: I теплоход 16 (км)

II теплоход

Порт II теплоход I теплоход

1 способ: 1) 25,5 : 1,5 = 17 (км/ч) – скорость первого теплохода;

2) 19,5 : 1,5 = 13 (км/ч) – скорость второго теплохода;

3) 17 – 13 = 4 (км/ч) – разность скоростей теплоходов;

4) 16 : 4 = 4 (ч).

2 способ: 1) 25,5 - 19,5 = 6 (км) – на столько увеличивается расстояние между теплоходами через каждые 1,5 часа;

2) 6 : 1,5 = 4 (км) – на столько увеличивается расстояние между теплоходами через каждый час;

3) 16 : 4 = 4 (ч).

Ответ: первый теплоход обгонит второй на 16 (км) через 4 (часа).

Задачи на части и проценты.

Подход к решению задач на части и проценты одинаков. Зная, что процентом называется сотая часть, можно свести задачу на проценты к задаче на части. При решении задач на части и проценты необходимо помнить:

• чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь;

• чтобы найти число по его дроби, можно разделить на эту дробь число, соответствующее дроби;

• процентом называется одна сотая часть, т.е. 1 % = = 0,01.

Например:

Велопробег продолжался три дня. В первый день велосипедисты преодолели 36 % всего пути, во второй – 8 / 9 расстояния, пройденного в первый день, а в третий день велосипедисты прибыли в намеченный пункт. Сколько километров велосипедисты проехали в каждый из дней пробега, если за первый день они проехали на 10 (км) больше, чем в третий?

Решение: 1) 36 % = 0,36;

2) 0,36 ∙ 8 / 9 = 0,32 - всего пути проехали за второй день;

3) 0,36 + 0,32 = 0,68 - всего пути проехали велосипедисты за первых два дня пути;

4) 1- 0,68 = 0,32 - всего пути проехали велосипедисты за третий день пути;

5) 0,36 – 0,32 = 0,04 – на такую часть пути велосипедист проехали больше в первый день, чем в третий;

6) 10 : 0,04 = 250 (км) – проехали велосипедисты за весь пробег;

7) 250 ∙ 0,36 = 90 (км) – проехали велосипедисты в первый день пробега;

8) 250 ∙ 0,32 = 80 (км) – проехали велосипедисты во второй день, столько же они проехали за третий день пробега.

Задачи с геометрическим содержанием.

При решении таких текстовые задач используются геометрические формулы. Например, формулы для нахождения периметров, площадей, объёмов фигур.

Алгебраические текстовые задачи моно условно разбить на следующие типы:

• задачи на совместную работу;

• задачи на движение;

• задачи на проценты;

• задачи на смеси и сплавы;

• задачи с геометрическим содержанием.

Алгоритм анализа задачи.

Прочитав задачу, ученик начинает отвечать на вопросы, постепенно оформляя на черновике краткое условие задачи в виде таблицы.

Вопросы к задаче (в скобках даны комментарии к ним):

1. О каком процессе в задаче идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Их количество определяет число строчек в будущей таблице).

2. Сколько процессов в задаче? (Их количество равно числу столбиков в таблице).

3. Какие величины известны и что нужно найти? (Таблица заполняется данными задачи, и ставиться знак вопроса).

4. Как связаны величины в задаче? (Выписываются формулы и уясняются связи величин в таблице).

5. Какую величину удобно обозначить, например буквой х? (Анализируется, удобно ли за х взять величину, о которой спрашивается в задаче, или лучше какую-либо другую. Затем остальные неизвестные величины выражаются через х, каждой из них соответствует пустая клетка в таблице).

6. Какое условие нужно использовать для составления уравнения? (Это то условие, которое не использовалось для выражения неизвестных через х. Ученик записывает условие составления уравнения и само уравнение).

7. Легко ли решать полученное уравнение? (Отвечая на этот вопрос, ученик должен подумать, не следует ли ввести буквенное обозначение в другую строчку таблицы и для составления уравнения использовать другую связь между величинами).

Алгоритм предоставить учащимся в печатном варианте.

Тема 2

Задачи на движение (4 часа)

Цели:

• закрепить и продолжить формирование умения решать текстовые задачи на движение.

Ход занятия

Учитель:

• рассмотрим задачи на составление уравнений и систем уравнений.

Специфические действия в этой теме следующие:

1. Действия по составлению моделей двух видов. Первый вид – модель условия и требований задачи в виде рисунков, чертежей, таблиц и т.д. второй вид – модель, описывающая зависимости между величинами в виде уравнений (неравенств, систем неравенств и т.п.).

2. Решение уравнений с одним неизвестным.

3. Интерпретация полученных результатов на языке ситуации, описанной в задаче.

Рассмотрим несколько задач на движение (используя памятку, которая была предложена на 1-ом занятии).

Задача №1:

Два туриста выехали одновременно из села А и направились разными дорогами в село В. Скорость движения первого туриста была на 3 (км/ч) больше скорости второго. Однако второй турист прибыл в село В на 20 (мин) раньше первого. Сколько времени был в дороге каждый турист?

Решение:

1) О каком процессе в задаче идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс?

Речь идёт о процессе движения, который характеризуется тремя величинами: s – путь (км), v – скорость (км/ч), t – время (ч) (минуты нужно перевести в часы). Значит, в таблице будет 3 строчки.

2) Сколько процессов в задаче?

В задаче говорится о двух процессах движения: о движении I туриста и о движении II туриста, значит, таблице кроме столбца «Величины» нужно ещё два столбца.

3) Что известно и что нужно найти?

Известны путь каждого туриста и разность и скоростей. Неизвестно время движения каждого туриста. (Всё это запишем в таблицу №1).

Таблица №1:

Величины	Процессы движения
	I туриста	II туриста
s,(км)	30	20
v,(км/ч)	х + 3	х
	на 3 (км/ч) больше
t,(ч)
	на 1 / 3 (ч) меньше, чем

4) Как связаны величины в задаче?

s = v ∙ t, v_I – v_II = 3, t_I – t_II = .

5) Какую величину удобно обозначить буквой х?

Попробует обозначить через х скорость движения II туриста, тогда все известные зависимости между величинами можно выразить так, как в таблице №1.

6) Какое условие нужно использовать для составления уравнения?

В таблице №1 осталась неиспользованной разность между временем движения I туриста и временем движения II туриста. Эта разность и нужна для составления уравнения. Поскольку t_I – t_II = , заключаем: - = .

Учитывая ОДЗ левой части полученного уравнения (х ≠ - 3 и х ≠ 0), переходим от него к квадратному:

х² -27х + 180 = 0.

Отсюда х₁ = 12, х₂ = 15. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. В таком случае остаётся открытым вопрос: какая же скорость была у II туриста: 15 (км/ч) или 12 (км/ч)? Оба ответа удовлетворяют условию задачи, значит, нужно рассмотреть два случая.

а) Скорость II туриста 15 (км/ч), тогда:

t_I = = (ч) и t_II = = 1 (ч);

б) Скорость II туриста 12 (км/ч), тогда:

t_I = = 2 (ч) и t_II = = 1 (ч).

Ответ: а) время движения I туриста составляет t_I = (ч), а время движения II туриста t_II = 1 (ч);

б) время движения I туриста составляет t_I = 2 (ч), а время движения II туриста t_II = = 1 (ч).

Перед тем как преобразовать уравнение – = , полезно остановиться на последнем вопросе:

7) Легко ли решать полученное уравнение?

В данном случае ответ утвердителен, поскольку получено стандартное уравнение. Но если учащиеся приняли за х время движения I туриста, т.е. то, о чём спрашивается в задаче, то получили бы следующее: – = 3.

Здесь знаменатель одной из дробей содержит дробь, что могло бы привести к дополнительным трудностям при преобразованиях.

Задача №2:

Моторная лодка прошла 5 (км) по течению и 6 (км) против течения реки, затратив на весь путь 1 (ч). Скорость течения реки равна 3 (км/ч). Найдите скорость лодки по течению.

Решение:

1) В задаче идёт речь о процессе движения, который характеризуется тремя величинами: s – путь (км), v – скорость (км/ч), t – время (ч) (минуты нужно перевести в часы). Значит, в таблице будет 3 строчки.

2) Сколько процессов в задаче?

В задаче говорится о двух процессах движения: о движении по течению и против течения. Значит, для них нужно два столбца. Для данных, характеризующих весь путь, удобно выделить ещё один столбец.

3) Постепенно заполняется таблица №2. Величины, которые пока не входят в таблицу, пишутся ниже.

Таблица №2:

Величины	Процессы движения			Общие показатели
	I туриста	II туриста
s,(км)	5	6
v,(км/ч)	(х + 3) vпо т. = vсоб. + 3	(х - 3) vпо т. = vсоб. - 3
t,(ч)			1
	вместе равно

4) Ниже таблицы выписываются формулы, связывающие данные величины, а в таблице заполняются соответствующие ячейки.

s = v ∙ t, v_{по т.} = v_соб. + v_т.р., v_{пр. т.} = v_соб. - v_т.р.

5) Из таблицы №2 видно, что для удобства выражения всех неизвестных величин через одну из них за х нужно принять не v_{по т.}, о котором спрашивается, а v_соб.

6) Для составления уравнения используется связь между величинами, отраженная в III строчке таблицы: t_{по т.} + t_т.р. = 1, то: + =1.

7) Если ученик при ответе на вопрос №5 обозначил за х то, о чём спрашивалось в задаче, т.е. v_{по т.}, то последний вопрос повернёт его обратно, к поиску более простого способа решения.

Всю описанную выше работу лучше выполнять в черновике. В тетрадях же остаётся только результат поиска решения.

Решение:

Обозначим собственную скорость лодки через х (км/ч), где х 0. Составляем таблицу №3.

Таблица №3.

Величины	Процессы движения			Общие показатели
	I туриста	II туриста
s,(км)	5	6
v,(км/ч)	(х + 3)	(х - 3)
t,(ч)			1

s = v ∙ t, v_{по т.} = v_соб. + v_т.р., v_{пр. т.} = v_соб. - v_т.р.

Так как на весь путь моторная лодка затратила ( + ) (ч), а по условию это 1 (ч), то можно составить уравнения, в результате чего определяется значение х и вычисляется скорость лодки по течению реки.

Задача №3:

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу одновременно из пунктов, расстояние между которыми 180 (км). После встречи первый велосипедист прибыл в конечный пункт через 2 (ч), а второй велосипедист через 4,5 (ч). Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение:

Пусть х (км/ч) – скорость первого велосипедиста, y (км/ч) – скорость второго велосипедиста. Тогда 2х (км) проехал первый велосипедист после встречи, 4.5у (км) проехал второй велосипедист после встречи. Так как вместе они проехали 180 (км), можно составить следующее уравнение:

2х + 4,5у = 180.

Первый велосипедист до встречи проехал 4,5у (км) со скоростью х (км/ч), значит, это расстояние он преодолел за (ч).

Второй велосипедист до встречи проехал 2х (км) со скоростью у (км/ч), значит, это расстояние он преодолел за (ч).

Так как оба велосипедиста до встречи были в пути одно и то же время, можно составить уравнение: = .

Объединим два получившихся уравнения в систему:

2х + 4,5у = 180;

= .

Решим систему.

2х + 4,5у = 180;

= .

Рассмотрим второе уравнение системы: = .

Введём новую переменную, обозначив через z, тогда = .

Уравнение принимает вид: 4,5z= .

Из этого уравнения находим: z₁ = , z₂ = .

Решение - можно не рассматривать, так как оно не удовлетворяет условию задачи.

Имеем: = .

Система принимает вид:

2х + 4,5у = 180;

= .

Решив систему, находим: х = 36, у = 24.

Ответ: 36 (км/ч) – скорость первого велосипедиста, 24 (км/ч) – скорость второго велосипедиста.

Учащимся предлагаются следующие задачи.

№1.

Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 (км). Через час велосипедисты встречаются и, не останавливаясь, продолжают ехать в той же скоростью. Первый прибывает в пункт В на 27 (мин) позже, чем второй в пункт А. определите скорость каждого велосипедиста.

№2.

Из города А в город В, расстояние между которыми 30 (км), выехал грузовик. Через 10 (мин) вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 (км/ч) больше скорости грузовика. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что он приехал в город В на 5 (мин) раньше грузовика.

№3.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 (км), вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 (км) от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что пешеход, вышедший из А, шел со скоростью, на 1 (км/ч) большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку.

№4.

Дорога от посёлка до станции идёт сначала в гору, а потом под гору, при этом её длина равна 9 (км). Пешеход на подъёме идёт со скоростью, на 3 (км/ч) меньше, чем на спуске. Путь от посёлка до станции занимает у него 2 (ч) 30 (мин). определите длину подъёма на пути к станции и скорость пешехода на подъёме и на спуске.

№5.

Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани к другой и через 2,5 (ч) вернулась обратно, затратив на стоянку 25 (мин). Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 20 (км/ч), а расстояние между пристанями 20 (км).

№6.

За 7 (ч) катер прошёл 60 (км) по течению реки и 64 (км) против течения. В другой раз катер за 7 (ч) прошёл 80 (км) по течению реки и 48 (км) против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

№7.

Лодка может проплыть 18 (км) по течению реки и ещё 2 (км) против течения за то же время, какое требуется плоту, чтобы проплыть 8 (км) по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 (км/ч).

Тема 3

Задачи на работу (3 часа)

Цели:

• закрепить и продолжить формирование умения решать текстовые задачи на работу.

Ход занятия

Рассмотрим несколько задач на работу.

Задача №1.

По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 (дней). Бригада вспахивала ежедневно на 5 (га) больше, чем намечалась по плану, и потому закончила пахоту за 12 (дней). Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля.

Ученик, прочитав задача, начинает отвечать на вопросы примерно так:

1. Речь идёт о процессе работы. Он характеризуется тремя величинами: вся работа (А) – это измеряемая в гектарах площадь поля, работа в единицу времени, т.е. производительность труда (N), и время (t) – число дней, затраченное на работу. Значит, в таблице нужны три строчки (A, N, t).

2. В задаче упомянуты два процесса работы: по плану и фактический, значит, в таблице будут два столбца.

3. Теперь остаётся начертит таблицу с тремя строками и двумя столбцами и заполнить все её клетки заданными соотношениями. Получаем таблицу №4.

Таблица №4:

Величины	Процессы
	По плану	Фактически
А,(га)	Апл	Аф
	одинаковые
N,(га/день)	Nпл	Nф – на 5 (га/день) больше, чем
t,(дни)	30	20

1. Формула A = N ∙ t определяет связь этих величин в столбиках краткого условия. Связи величин в строчках наглядно отражены в таблице: I связь, II связь.

2. Вопрос: «Какую величину удобно обозначить буквой?». Если ученик сразу не видит, что для введения х удобнее выбрать II связь, то он сначала должен попробовать обозначить через х ту величину, о которой спрашивается в задаче. Свои пробы ученик должен записать на черновике. Например, он обозначил: А_пл = А_ф = х.

3. Тогда не связь использованная до сих пор II связь N_ф – N_пл = 5 используется при составлении уравнения, т.е.:

- = 5,

- = 5.

1. Это уравнение содержит дроби, а их нужно попытаться избежать, поэтому ученик должен проверить, не удобнее ли будет ввести х во II строчку таблицы №4, тогда I связь А_пл = А_ф станет условием составления уравнения.

Если N_пл =х, то N_ф = х + 5. Тогда в соответствии с условием:

А_пл = А_ф,

N_пл ∙ t_пл= N_ф ∙ t_ф,

х ∙ 14 = (х + 5) ∙ 12,

приходим к уравнению: 14х = 12(х + 5).

Уравнение 14х = 12(х + 5) проще уравнения - = 5, значит, нужно осуществить второй способ решения, несмотря на то что площадь, о которой спрашивается в задаче, будет найдена не сразу, а только после решения уравнения - = 5.

Ученик записывает решение из черновика в свою тетрадь.

Решение:

Пусть х (га/день) – производительность бригады по плану, тогда (х + 5) (га/день) – фактическая производительность бригады. Работа по плану составляет 14х (га) и 12(х + 5) (га), в обоих случаях одинакова, поэтому можно составить уравнение 14х = 12(х + 5), отсюда 2х = 60, х = 30.

Производительность по плану составляет 30 (га/день). Тогда площадь поля: 14 ∙ 30 = 420.

Ответ: площадь поля составляет 420 (га).

Задача №2.

Завод по плану должен был изготовить 180 станков к определённому сроку. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод выполнил задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил план?

Проведя анализ задачи в черновике, в чистовик записываем следующее.

Решение:

Обозначим фактическое число дней, затраченных на выполнение задания через х, где х 0. Составляем таблицу №5.

Таблица №5:

Величины	Процессы
	По плану	Фактически
А,(шт.)	180	180
N,(шт./день)
t,(дни)	х + 1	х

Разность между фактическим выпуском станков в день и планируемым составила уравнения ( - ) (шт./день), а по условию она равна 2 (шт./день), значит, можно составить уравнение:

- = 2 | ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ -1.

- = 2 ∙ х ∙ (х + 1).

180х + 180 -180х = х² + 2х,

2х² + 2х -180 = 0 | : 2,

х² + х -90 = 0.

По обратной теореме Виета:

х₁ + х₂ = -1;

х₁ ∙ х₂ = -90.

Значит х₁ = 9, х₂ = -10, но х₂ = -10 не удовлетворяет условию задачи (х 0). Значение х = 9 входит в ОДЗ.

Ответ: завод выполнил план за 9 (дней).

Задача №3.

Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 (ч). За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 (ч) быстрее, чем вторая?

Итак, о какой работе здесь идёт речь? О работе по наполнению бассейна, объём которого обозначим через V условных единиц. Этот объём заполняется каждый час на N (усл. ед.), т.е. N – работа в единицу времени. Через t обозначим число часов, необходимы для заполнения бассейна. Значит, в таблице нужны 3 строчки.

А о скольких процессах упоминается в условии? Речь идёт о том, что обе трубы могут выполнить работу (наполнить бассейн объёмов V усл. единиц.) одновременно – это один процесс. Далее сравниваются показатели по наполнению бассейна сначала одной I трубой, а затем одной II трубой – это ещё два разных процесса. таким образом, в составляемой таблице нужно отразить не два процесса, в составляемой таблице нужно отразить не два процесса, как было в ранее решенных задачах, а три.

Какие же величины нам известны, а какие нужно найти? Нужно найти, за сколько часов наполнит бассейн одна I труба. Обозначим эту величину через х. это естественно. Если последующие обозначения приведут к неудобному уравнению, мы сможем рассмотреть вариант, когда через х обозначена какая-то другая величина. Обратим внимание, что только время измеряется понятными единицами – часами. В каких единицах измеряется объём бассейна, не сказано. Значит, для решения это несущественно, и мы вместо условных единиц и обозначения V можем принять любое число. Возьмём самое удобное – 1.

Как же связаны величины в задаче? Для ответа на этот вопрос заполняем таблицу №6.

Таблица №6:

Величины	Процессы заполнения бассейна
	I трубой	II трубой	I и II трубой одновременно
V	5	6
N, (1/ч)
	вместе равно
t,(ч)	х на 3 (ч) меньше, чем	(х + 3)	2

V = N ∙ t, N_совм = N_I + N_II, t_совм t_I + t_II.

Замечание:

Ученики должны хорошо понимать, что совместная работа, выполненная за 1 (ч), равна сумме работ I и II трубы за тот же час, иначе говоря, N_совм = N_I + N_II. Но нельзя то же самое сказать о времени совместной работы, которое будет меньше времени работы каждой трубы в отдельности (t_совм t_I + t_II). Связь N_совм = N_I + N_II удобно тоже отметить прямо в таблице, чтобы обе связи между величинами были наглядно отражены.

Для составления уравнения используем связь величин во второй строке таблицы №6:

N_совм = N_I + N_II, т.е.

+ = .

Условие составления уравнения следует записать таким образом.

Так как за 1 (ч) обе трубы вместе заполняют ( + ) часть бассейна, а по условию это часть, значит, можно составить уравнение:

+ = | 2х ∙ (х + 3), ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ -3.

Отсюда 2х ∙ (х + 3) + 2х = х ∙ (х + 3), или х² – х – 6 = 0.

Получаем корни х₁ = 3, х₂ = -2. Оба корня соответствует ОДЗ, но х₂ = -2 не удовлетворяет условию задачи (х 0).

Ответ: I труба наполняет бассейн за 3 (ч).

Учащимся предлагаются следующие задачи.

№1.

Заказ по выпуску машин завод долен был выполнить за 20 дней. Но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так ка ежедневно выпускал по 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод.

№2.

Вместо одной грузовой машины, в связи с её занятностью на другой работе, для перевозки груза массой 45 (т) взяли другую машину, грузоподъёмность которой на 2 (т) меньше первой. Потому было сделано на 6 рейсов больше, чем предполагалось. Какой грузоподъёмности машина была намечена для перевозки груза?

№3.

Швея получила заказ сшить 60 сумок к определенному сроку. Она шила в день на 2 сумки больше, чем планировалось, поэтому уже за 4 дня до срока ей осталось сшить 4 сумки. Сколько сумок в день шила швея?

№4.

Один завод может выполнить некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить этот заказ каждый завод, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ, в пять раз больший?

№5.

Два каменщика выложили стену за 14 дней, причём второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому каменщику на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый каменщик, работая отдельно?

№6.

Две трубы при совместном действии могут наполнить бассейн за 4 (ч). Если бы сначала первая труба наполнила половину бассейна, а затем её перекрыли и открыли вторую, то наполнение бассейна было бы закончено за 9 (ч). За сколько часов может наполнить этот бассейн каждая труба в отдельности?

Тема 4

Задачи на смеси и сплавы (3 часа)

Цели:

• закрепить и продолжить формирование умения решать текстовые задачи на смеси и сплавы.

Ход занятия

Рассмотрим несколько задач на смеси и сплавы.

В задачах, связанных с использованием понятий «концентрация» и «процентное содержание», речь идёт о составлении сплавов, растворов или смесей нескольких веществ.

Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

• все получающиеся сплавы или смеси однородны;

• при смешивании двух растворов, объёмы v₁ и v₂, получается смесь, объём которой v₀ равен сумме v₁ + v₂.

Рассмотрим смесь трёх компонентов А, В, С. Объём смеси v₀ складывается из объёмов чистых компонентов: v₀ = v_А + v_В + v_С, а три отношения: d_А = , d_В = , d_С = показывают, какую долю объёма полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент:

v_А = d_А ? v_о; v_В = d_В ? v_о; v_С = d_С ? v_о.

Отношения объёма чистой компоненты (v_А) в растворе ко всему объёму смеси v_О: d_А = v_А = _. называется объёмной концентрацией этой компоненты.

Концентрация – это безразмерная величина. Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице:

d_А + d_В + d_С = 1.

Объёмным процентным содержанием компоненты А называется величина Р = d_А ? 100 %, т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле d_А = .

Введенные понятия закрепляются при решении задач.

Задача №1.

Один раствор содержит 30 % по объёму азотной кислоты, а второй – 55 % азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 литров 50 % раствора азотной кислоты?

Решение:

В условии указаны два раствора и их смесь. Величины, входящие в задачу: объём раствора v_Р, концентрация К %,объём кислоты v_К. Формула зависимости:

v_{Р =} v_h ? К.

Раствор	Объём раствора, л	Концентрация, %	Объём кислоты, л
1-ый раствор	х	30 % = 0,3	х ? 0,3
2-ой раствор	100 - х	55 % = 0,55	(100 –х) ? 0,55
Смесь	100	50 % = 0,5	100 ? 0,5

Поскольку объём кислоты смеси равен сумме объёмов кислоты в растворах, то можно составить уравнение:

0,3 ∙ х + 0,55 ∙ (100 – х) = 50, решив которое получим, что х = 20.

Проверка:

6 + 44 = 50.

Ответ: 20 (литров), 80 (литров).

Задача №2.

Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а другом – в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 (кг) нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11.

Решение:

I способ.

В условии указаны два раствора и их смесь. Величины, входящие в задачу: объём раствора v_Р, концентрация К %,объём кислоты v_К. Формула зависимости:

v_{Р =} v_h ? К.

	I сплав	II сплав	III сплав
Золото	х (кг)	у (кг)	х + у = 8 ? 8 =
Серебро			? 8 =

Имеем:

+ = ; х = 1;

+ = . у = 7.

II способ.

В х (кг) первого сплава содержится (кг) золота и (кг) серебра. В (8 – х) (кг) второго сплава содержится ∙ (8 – х) (кг) золота и ∙ (8 – х) (кг) серебра. получаем уравнение:

+

= ;

+

Решив уравнение, получим х = 1.

Ответ: 1 (кг) первого сплава, 7 (кг) второго сплава.

Учащимся предлагаются следующие задачи.

№1.

В одном сплаве массы золота и серебра относятся, как 1 : 2, а в другом, как 2 : 3. Какова должна быть масса (в гр) каждого сплава, чтобы после совместной переплавки получить 95 (гр) нового сплава, содержащего 7 частей золота и 12 частей серебра.

№2.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6 % и 11 %. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 (т) руды, с содержанием меди 8 %?

№3.

Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом – в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получилось 8 (кг) нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11?

№4.

В сосуде содержится 10,5 (л) 40 % раствора серной кислоты. Сколько нужно влить в сосуд 75 % раствора той же кислоты, чтобы получить 50 %-ный раствор?

№5.

Смешивали некоторое количество 72 %-ного раствора кислоты и некоторое количество 58 %-ного раствороа кислоты и в результате получили 62 %-ный раствор. Если бы каждого раствора было взять на 15 (л) больше, то получили бы 63,25 %-ный раствор. Сколько литров каждого раствора было взять первоначально для создания первой смеси?

Тема 5

Задачи на прогрессии (3 часа)

Цели:

• продолжить формирование умения решать текстовые задачи на прогрессии.

Ход занятия

Не будем останавливаться на всем известных определениях и свойствах прогрессий, а также простых задачах, решаемых с использованием определений и элементарных соотношений.

Известно, что задать прогрессию (и арифметическую и геометрическую) можно несколькими способами:

• заданием формулы общего члена прогрессии, записанной в стандартном виде;

• заданием первого члена прогрессии и её разности или знаменателя (для арифметической и геометрической прогрессий соответственно);

• перечислением нескольких первых членов прогрессии.

Следует отметить, что при задании прогрессии несколькими первыми членами прогрессии, необходимо задать не менее трёх её первых членов.

Учащимся предлагаются следующие задачи.

№1.

Первый член арифметической прогрессии равен 1, а сумма первых пяти членов этой прогрессии в четыре раза меньше суммы последующих пяти членов прогрессии. Найдите эту прогрессию.

№2.

Найдите арифметическую прогрессию, у которой сумма любого числа равна утроенному квадрату числа этих членов.

№3.

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна . Найдите эти числа.

№4.

Определите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, второй член которой равен 6, а сумма членов равна суммы квадратов её членов.

№5.

Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – прогрессию арифметическую. сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18.

Тема 6

Задачи с экономическим содержанием (4 часа)

Цели:

• продолжить формирование умения решать текстовые задачи с экономическим содержанием.

Ход занятия

Показать учащимся применение процентных вычислений в современной жизни.

Воспользуемся для решения следующей формулой:

k =а ? (1 +)ⁿ,

где а – начальный капитал, р – процент прибыли за один промежуток времени, n – число промежутков.

Эта формула называется формулой «сложных процентов».

Полученная формула показывает, что значение величины k растёт как геометрическая прогрессия, первый член которого равен а, а знаменатель прогрессии (1 +). Формула: k =а ? (1 +)ⁿ является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и применять формулу простого процентного роста:

k =а ? (1 +),

где а, р, n имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в этом случае процент каждый раз берётся от одного и того же числа а).

№1.

За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8 % годовых. Вкладчик положил на счёт в банке 5000 (руб) и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счету вкладчика через год? Через пять лет?

№2.

Какая сумма будет на счёте через 4 года, если на него положены 2000 (руб) по 30 % годовых?

№3.

Бизнесмен взял кредит в банке на сумму 150 тысяч рублей по 15 % годовых. Какую суммы должен вернуть бизнесмен банку через год?

№4.

В новом году зарплата рабочего была увеличена 20 %. Сколько рублей теперь выплачивается рабочему в качестве зарплаты, если до увеличения его зарплата составляет 4000?

№5.

Первого января каждого года банк начисляет своими вкладчикам 10 % от суммы вклада. Сколько денег будет на счёте второго января 2008 года, если в начале 2006 года на счёт было положено 100 рублей?

№6.

На сберкнижку в банк было положено вкладчиком 5000 рублей. Сколько процентов начисляет банк ежегодно на вклад, если к концу второго года вклад на сберкнижке составляет 6272 рублей?

№7.

Цена товара со 100 тысяч рублей дважды понижалась, каждый раз на 30 %. Какова окончательная цена товара?

№8.

В начале года тариф на электроэнергию составляв 40 копеек за 1 (кВтч). В середине года он увеличился на 50 %, а в конце года – ещё на 50 %. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100 %. Менее чем на 100 %? Более чем на 100 %?

Литература:

1. Бунина О. проценты в современной жизни. Математика. Приложение к газете «Первое сентября», №21, 2007 г.

2. Колесникова С.И. Решение сложных задач единого государственного экзамена. – М.: «Айрис-пресс», 2007 г.

3. Колесникова Т.В. Единый государственный экзамен 2007 г: экспериментальная экзаменационная работа: Математика, - М.: «Экзамен», 2007 г.

4. Кононова Е., Новокрещенова Т. Проценты и кредиты. Математика. приложение к газете «Первое сентября», №21, 2007 г.

5. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. – М.: «Дрофа», 2003 г.

6. Лахова Н.В. Решение текстовых задач в средних классах. «Математика в школе», №2, №3, 1998 г.

7. Лысенко Ф.Ф. Алгебра 9 класс: итоговая аттестация, учебно-методическое пособие, г. Ростов-на-Дону: «Легион», 2008 г.

8. Севрюкова П. Такие разные задачи с прогрессиями. Математика. приложение к газете «Первое сентября», №20, 2007 г.

27