ПРОГРАММА элективного курса по математике «Решение текстовых задач»

ПРОГРАММА

элективного курса по математике

«Решение текстовых задач»

в 9 классе МБОУ «Старосаврушская ООШ»

Антиповой Галины Павловны

учителя первой квалификационной категории

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Компетентностный подход к образовательным результатам повлёк за собой изменения структуры и содержания независимой государственной экспертизы. Очень большой блок заданий связан с решением текстовых задач. В школьном курсе математики этот раздел не рассматривается единой темой, и у учащихся нет целостного представления о методах и способах их решения. Необходимость рассмотрения техники решения текстовых задач обусловлена тем, что умение решать задачу является высшим этапом в познании математики и развитии учащихся. Решение задач способствует развитию логического и образного мышления, повышает эффективность обучения математике и смежным  дисциплинам.

Актуальность темы: «Решение текстовых задач» в настоящее время объясняется в необходимости систематизации материала по этому разделу. Потому что с помощью текстовой задачи формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи учащегося.  В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений, неравенств, их систем, графических образов, т.е. составлять математическую модель.

Цели :

• способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе;

• способствовать пониманию необходимости умения решать текстовые задачи не только алгебраическим, арифметическим, но и другими способами;

• воспитание творческой личности, умеющей самореализовываться и интегрироваться в системе мировой математической культуры.

Задачи :

• воспитывать логическую и эстетическую культуру, создавая благоприятный эмоциональный фон обучения, вызывая интерес к процессу поиска решения задач и к самому учебному предмету-математике.

• обогащать опыт мыслительной, культурно-исторической деятельности ученика, используя разнообразные исторические и современные задачи.

• раскрытие внутренних ресурсов личности ученика, выявление заложенных способностей;

• снятие психологических барьеров и ограничений;

• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Методы исследования: анализ и классификация типов текстовых задач, методической и учебной литературы,

Конечный результат: успешная сдача ГИА по математике, возможность получить аттестат об основном общем образовании учащихся.

Данная программа предназначена для учащихся 9 класса и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Элективный курс " Решение текстовых задач " рассчитан на 18 часов.

Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как лекция, групповая, индивидуальная, работа в парах, практикумы и консультации.

Итоги реализации данной программы подводятся в форме практических и самостоятельных работ, тестов.

Требования к уровню подготовки обучающихся:

В результате успешного изучения курса учащиеся должны знать:

Типологию текстовых задач и технику их решения;

Алгоритм решения текстовых задач.

Учащиеся должны уметь:

Текстовые задачи при решении выделять на группы в соответствии с типами задач: задачи на движение, на совместную работу, на проценты, на арифметическую и геометрическую прогрессии, на смеси и сплавы, на десятичную запись числа;

Для каждого типа задач применять свой алгоритм решения.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№	Наименование тем курса	Всего часов	В том числе
			теория	практика
1	Алгоритм решения текстовых задач . Задачи на движение.	3	1	2
2	Задачи на проценты.	3	1	2
3	Задачи на сплавы	3	1	2
4	Задачи на работу.	3	1	2
5	Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии	3	1	2
6	Задачи на числа	2		2
	всего	17	5	12

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ КУРСА

Тема 1. Алгоритм решения текстовых задач. Задачи на движение.

Ввод переменных. Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т.е. составление уравнений, неравенств, введение ограничения. Решение уравнений или неравенств. Проверка полученных решений на выполнение условий задачи. Указания к решению текстовых задач. Движение тел по течению и против течения реки. Равномерное и равноускоренное движения тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу.

Форма занятий: лекция, беседа, практиче­ская работа.

Метод обучения: выполнение практиче­ских заданий

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач,

Тема 2. Задачи на проценты.

Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач с экономическим содержанием. Форма занятий: объяснение, практиче­ская работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных за­дач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 3. Задачи на сплавы:

Тип задач на составление уравнений и систем уравнений – задачи на сплавы и смеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность».

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практиче­ских заданий. Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 4. Задачи на работу.

Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели. Некоторые указания к задачам на совместную работу:

Форма занятий: объяснение, практиче­ская работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных за­дач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 5. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Выбор переменных при решении задач на арифметическую и геометрическую прогрессии. Методика решения задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практиче­ских заданий.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 6. Задачи на числа

Представление многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых. Особенности выбора переменных и методика решения задач на числа.

Форма занятий: практическая работа.

Метод обучения: объяснение, выполнение практиче­ских заданий.

Форма контроля: Итоговая проверочная работа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бродский И.Л., Видус А.М. , Коротаев А.Б. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов.- М.: АРКТИ, 2004

2. Шевкин А.В, Текстовые задачи в школьном курсе математики (5-9-е классы) .//Математика,2005,№17-24

3. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. Изучение процентов в основной школе. // Математика в школе. - 2002. – № 1. - С. 19

4. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. и др. Процентные вычисления в жизненных ситуациях. // Математика в школе. - 2003. – № 10. - С. 6

5. Канашева Н. А. О решении задач на проценты // Математика в школе. - 1995. – №5. - С. 24

6. Левитас Г. Г. Об изучении процентов в 5 классе // Математика в школе. - 1991. – № 4. - С. 39

7. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. Составители:– М.: Интеллект-Центр, 2007.

1. http://festival.1september.ru/articles/581517/

2. http://www.2x2abc.com/algebra.files/prihodko/zadachi_1-10.php?str=weD1

ПРИЛОЖЕНИЕ

Тема 1:Задачи на движение.
При решении этих задач принимать следующие допущения и правила:

1) Если нет специальных оговорок, то движение считать равномерным.

2) Скорость считать величиной положительной.

3) Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения

считать происходящими мгновенно.

4) Все данные сразу переводить в одни и те же единицы измерения.

Задача 1. На 60 км пути велосипедист тратит на 4 ч больше времени, чем мотоциклист. Если же он увеличит скорость на 3 км/ч, то он на тот же путь потратит в 4 раза больше времени, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.

Анализ. Данная задача описывает движение двух объектов: велосипедиста и мотоциклиста. Вспомним, что равномерное прямолинейное движение задается формулой S = V • t , где S - путь, V - скорость, t - время, взятые в соответствующих единицах. Имеет смысл составить два уравнения.

Решение: Пусть х км/ч - скорость велосипедиста, у км/ч - скорость мотоциклиста. Тогда — 60/x - время велосипедиста, и —60 /у - время у мотоциклиста, соответствующие первой части условия.

В предполагаемом варианте скорость велосипедиста будет (х+3) км/ч и
его время 60: (x+3)ч. Получим 60 : (х+3)=4·( 60/у)

Р
ассмотрим систему уравнений.

Заметим, что в задаче спрашивается скорость велосипедиста, поэтому можно перейти к уравнению относительно х :

Решаем II уравнение: 60 : (х + 3) = 4 · (60 : х – 4)

15 : (х + 3) = 60 : х – 4

4х² -33х-180=0

х_I =12

х₂ = - не удовл.. условию задачи.

Ответ: 12 км/ч.

Задача 2. Из пункта Л в пункт В выехал автобус со скоростью 40 км/ч. После того, как автобус проехал 30 км, из пункта А со скоростью 60 км/ч

выехал автомобиль, который прибыл в В на ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.

Решение: Совместное движение началось в момент выхода автомобиля из пункта Л. К этому времени автобус прошел 30 км со скоростью 40 км/ч за

- это 1 участок пути автобуса.

Второй участок пути автобус прошел за t ч. Так как скорость движения 40 км/ч, то это расстояние равно 40*t км, а в общей сложности автобус прошел (30 + 40* t) км . За t часов автомобиль со скоростью 60 км/ч прошел 60 t км и до пункта В ему осталось пройти 60: Таким образом, расстояние от пункта

А до пункта В равно (60t + 5) км. Составим уравнение:

30 + 40 t = 60 t+5, откуда t =

Тогда расстояние между пунктами равно 30+(км)

Ответ: 80.

Тема 2: Задачи на проценты.
Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач с экономическим содержанием.

Решение основных задач на проценты.

1. Основные типы задач на проценты.

1) Одна величина больше (меньше) другой на р %.

а) Если а больше в на р %, то

а = в + 0,01 рв = в(1 + 0,01р).

б) Если а меньше в на р %, то

а = в - 0,01рв = в(1- 0,01р).

Пример. На сколько процентов надо увеличить число 80, чтобы получить 120?

Решение:

120 = 80 + 80 • 0,01р,

120 = 80(1+0,01 р)

120 : 80 = (1+0,01 р)

p= 50%

Ответ: 50%

Аналогично,

а) если а возросло на р %, то новое значение равно а(1 + 0,01р).

Пример. Увеличить число 60 на 20 %:

60 + 60*0,2 = 72 или 60(1 + 0,2) = 72;

б) если а уменьшили на р %, то новое значение равно:
а(1- 0,01р).

Пример. Число 72 уменьшили на 20 %:

72 – 72*0,2 = 57,6 или 72(1 - 0,2) = 57,6.

Объединив а) и б), запишем задачу в общем виде: увеличили число а на р %, а затем полученное уменьшили на р %

а(1 + 0,01р); а(1 + 0,01р)(1 - 0,01р) = а(1- (0,01р)²) (*)

Замечание. Результат не изменится, если увеличение (уменьшение) следует за уменьшением (увеличением).

Задача 1.

Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?

Решение.

Пусть первоначальная цена товара а, тогда: а - 0,3а = 0,7а - цена товара после снижения,

0,7а + 0,7а*0,3 = 0,91а- новая цена. 1,00-0,91 =0,09 или 9%. Используя формулу (*) , получим : а(1- (0,01р)²) = а ( 1 – 0,3²) = 0,91 а

Ответ: цена снизилась на 9 %.

Задача 2.

Цену товара повысили на 20 %, затем новую цену снизили на 20 %. Как изменится цена товара?

Ответ: цена снизилась на 4 %.

3.Творческое задание. Решить задачу в общем виде.

Увеличили число а на р %. На сколько процентов надо умень­шить полученное число, чтобы получить а?

Решение:

а (1 + 0,01 р) - а (1 + 0,01 р)* 001 х = а

а (1 + 0,01 р) (1 -0,01 х)= а

1 -0,01 х =1/ (1 + 0,01 р)

0,01 х = 0,01 р / (1 + 0,01 р)

х = р / (1 + 0,01 р) (**)

Задача 3. Предприятие работало два года. В первый год выработка возросла на р%, во второй на 10% больше, чем в первый. Определить на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если за два года она увеличилась на 48,59 %.

Решение:

(1+ )(1+ ) = 1,4859

р = 17%

Ответ: за второй год выработка увеличилась на 27%.

Задача 4. Сберкасса начисляет 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится?

Решение:

в = 2 а

2 а = а (1+0,03)ⁿ

Ответ: n23 года

Задача 5. Занятия ребенка в танцевальном кружке родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 350 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 5 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на две недели?

Решение :

1) 350 0,05 = 17,5 (р) – пеня за каждый просроченный день

2) 17,5 14 = 245 (р) – пеня за 2 недели

3) 350 + 245 = 595 (р) – придется заплатить

Ответ: 595 р.

Простые проценты: S_n = S₀ (1+);

Увеличение вклада S₀ по схеме простых процентов характеризуются тем , что суммы процентов течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада S₀ независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

Сложные проценты : : S_n = S₀ (1+)^п ;

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем : если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую, увеличенную сумму. Это означает , что банк теперь начисляет не только на основной вклад, S₀ , но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами.

Задача 1. В банке открыт счет 50000 рублей под 10% годовых. Какой доход будет через 3 года?

Решение:

в = 50000 (1 + 0,1)³

в = 66550

66 550 – 50 000 = 16 550

Ответ: 16550.

Тема 3: Задачи на сплавы

Тип задач на составление уравнений и систем уравнений – задачи на сплавы и смеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность».

При решении задач данного типа использу­ются следующие допущения:

1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»:
если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав),
то выполняются равенства:

V = V₁ + V₂ - сохраняется объем;

т =m₁+ т₂~ закон сохранения массы.

Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей

(компонентов) сплава (раствора).

3. При соединении растворов и сплавов не учитываются хими­ческие взаимодействия их отдельных компонентов.

Концентрация - это число, показывающее, сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество. Если масса смеси т кг, масса растворимого вещества а кг, концентрация р %, то между этими величинами существует следующая зависимость: ; 100*а = т*р.

Пример работы над задачами с понятием концентрации:

Масса смеси	Масса растворимого вещества	Концентрация
т кг	а кг	р %
10	1	= 10%
5	2	= 0,4 = 40%
4	0,5	0,5:4 =0,125=12,5%
mc	тв	тв / mc = к

После получения этой формулы задачи на растворы будут осознанно решаться учащимися на основе соотношения:

т_в =k*m_c; m_c = т_в:к; .

Процентное содержание вещества в растворе, иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

1. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если %-е содержание соли 15%?

Решение:

10∙0,15 = 1,5(кг).

Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

2. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%.

Это означает, что чистого серебра в сплаве 300∙0,87 = 261 г.

3. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

1) 10 + 15 = 25(кг) - сплав;

2) 10 : 25 ∙ 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве.

3) 15 : 25 ∙ 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.

Задача 1. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содер­жащего 8 % соли, чтобы получить 5 % раствор?

Решение:

Пусть х - количество воды, которое надо добавить. Новое ко­личество раствора - (50 + х) г. Количество соли в исходном раство­ре 50 0,08 г. Количество соли в новом растворе составляет 5 % от (50+х)г, т. е.

0,05(50+ х)

Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Получаем уравнение. Иногда в химии это уравнение называют кратко «баланс по соли».

50 0,08 = 0,05(50+х),

50 8 = 5(50+х),

80 = 50+х,

х = 30.

Ответ: 30 г.

Задача 2. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго слава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение (с помощью уравнения):

Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится

0,4 ∙ 20 = 8 (кг) серебра, а в (20+ х) кг нового сплава содержится 0, 32∙(20+ х) кг серебра. Составим уравнение: 8+0,2 х = 0,32(20+ х), х =13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Задача 3. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение (с помощью системы уравнений):

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания х г 5%-ного раствора кислоты (или 0,05 х г) и у г 40%-ного раствора (или 0,4 у г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т. е. 0,3∙140 г, то получаем следующее уравнение 0,05 х + 0,4 у = 0,3∙140. Кроме того х + у = 140.

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

0,05 х + 40 у = 30∙140,

х + у = 140.

Из этой системы находим х = 40, у = 100. Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г, а 40%-ного раствора – 100 г.

Ответ: 40 г, 100 г.

Задача 4. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, мас­сой 300 г, содержит 20 % олова. Второй, массой 200 г, содержит 40 % олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, по­лученный из этих кусков.

Ответ: 28%.

Тема 4: Задачи на работу.
Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели. Некоторые указания к задачам на совместную работу:

1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).

2. План решения задачи обычно сводится к следующему:

а) принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1;

б) находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, то есть , где – время, за которое указанный рабочий сможет выполнить всю работу, работая отдельно;

в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий за то время, которое он работал;

г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (то есть 1) к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым рабочим (если в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих

3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполняемая работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение затраченного времени или производительности труда, выполнен весь объем работы).

Задача 1

Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 1,5 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?

Решение.

1. Пусть вся работа может быть выполнена бригадой учеников за х ч, а бригадой слесарей – за (х–15) ч.

2. Всю работу примем за 1,

– это производительность бригады учеников;

– производительность бригады слесарей;

– часть работы, выполненная бригадой учеников;

– часть работы, выполненная бригадой слесарей.

3. Составим уравнение и решим его: +=. Имеем х₁=45; х₂=10 (посторонний корень, так как бригада учеников выполняла задание на 15 ч дольше, чем бригада слесарей).

Ответ: 45 ч.

Задача 2.

Два крана наполняют чан водой. Один кран заполняет чан на 22 мин дольше другого. Если они работают вместе, то чан наполнится водой за 1 час. Сколько времени потребуется работать каждому крану, чтобы наполнить чан?

Решение.

1. Пусть кран А наполняет чан за х мин, а кран В наполняет чан за у мин, тогда производительность каждого крана будет соответственно и (примем объем в чане за 1).

2. Из условия следует, что первый кран наполняет чан на 22 мин дольше. Отсюда х–у=22.

3. Так как два крана при одновременной работе наполняют чан за 1 ч = 60 мин, то = 60 мин, .

4. Составим систему и решим ее:

Ответ: 132 мин; 110 мин.

Тема 5: Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

Задача 1. Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Обозначим через a_i - члены арифметической прогрессии c разностью d, через b_i - геометрической, с знаменателем q. Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S₃ = (2a₁ + 2d) · 3 / 2 = 21 или a₁ + d = 7. По условию a₁ - 1, a₁ + d - 1, a₁ + 2d + 2 - три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии: (a₁ + d - 1)² = (a₁ + 2d + 2)(a₁ - 1). После замены переменной a₁ = 7 - d и открытия скобок получаем квадратное уравнение d² + 3d - 18 = 0, т.е. d₁ = 3, d₂ = -6. Условию удовлетворяет лишь d₁ = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a₁ = 4. Находим b₁ = a₁ - 1 = 3. b₂ = a₁ + d - 1 = 6, откуда q = 2. Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем: S₈ = [b₁(q₈ - 1)] / (q - 1) = 765.

Ответ: S₈ = 765.

Задача 2. Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна ¹⁴/₉. Найти эти числа.

Решение: Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их как a, a + d, a + 2d. Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = ²/₃ - d. Согласно второму условию a² + (a + d)² + (a + 2d)² = ¹⁴/₉. После раскрытия скобок получаем 27a² + 45d² + 54ad = 14. Делаем замену переменной a = ²/₃ - d, раскрываем скобки и получаем:

d² = ¹/₉. d = ±¹/₃. Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±¹/₃ числа будут равны ¹/₃, ²/₃, 1.

Ответ: ¹/₃, ²/₃, 1.

Задача 3. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

Решение: Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их как b, bq, bq², bq³. По условию: 1) bq² = b + 9.

bq = bq³ + 18. Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым: 9q + 18 = 0. Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3. Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

Задача 4. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7. Решение: Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соответственно. Запишем a₁ = 105, a_m = 994. Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем: 994 = 105 + 7(m - 1). Откуда m = 128. А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S₁₂₈ = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

Ответ: 70336.

Задача 5. Сумма третьего и девятого члена члена арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.

Решение: Согласно свойствам арифметической прогрессии a₃ + a₉ = a₁ + a₁₁ = 8.

По формуле суммы S₁₁ = (a₁ + a₁₁) · 11 / 2 = (a₃ + a₉) · 11 / 2 = 44.

Ответ: S₁₁ = 44.

Тема 6: Задачи на числа

Представление многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых. Особенности выбора переменных и методика решения задач на числа.

Задача 1. Сумма двух чисел равна 137, а их разность равна 19. Найдите эти числа.

Решение: пусть одно число обозначим за - х, тогда другое число за - у. Отсюда получаем

х+у=137,

х-у=19.

2х=156.

х=78.

у+78=137

у=137-78

у=59.

Ответ: 78; 59

Задача 2. Сумма двух чисел равна 131, а их разность равна 41. Найдите эти числа.

Решение: пусть одно число обозначим за – х, тогда другое число за – у. Отсюда получаем

х+у=131,

х-у=41.

2х=172

х=86.

86-у=41

у=45.

Ответ: 86; 45

Задача 3. Одно из двух положительных чисел в 1,5 раза больше другого, а их разность равна 7. Найдите эти числа.

Решение: пусть одно число обозначим за - х, тогда другое число обозначим за - 1,5х.

Отсюда получаем:

1,5х-х=7.

0,5 х=7.

х=14. 14*1,5=21.

Ответ:14; 21.

Задача 4. Одно из двух положительных чисел в 2,5 раза больше другого, а их разность равна 9. Найдите эти числа.

Решение: пусть одно число обозначим за - х, тогда другое число обозначим за - 2,5х.

Отсюда получаем: 2,5х-х=9.

1,5х=9.

х=6. 6*2,5=15.

Ответ: 6; 15.

Задача 5. Одно из двух положительных чисел на 4 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение равно 96.

Решение: пусть одно число обозначим за - х, тогда другое число обозначим – х+4. Отсюда получаем: Х*(Х+4)=96.

Х²+4Х-96=0.

Д=в²-4ас=4²-4*1*(-96)=16+384=400.

Х1=-12 ( не уд.усл.задачи), Х2=8. 8+4=12. Ответ: 8; 12.

Задача 6. Произведение двух положительных чисел равно 72. Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 6 больше другого.

Решение: пусть одно число обозначим за - х, тогда другое число обозначим- х+6. Отсюда получаем: Х*(Х+6)=72.

Х²+6Х-72=0.

Д=в²-4ас=6²-4*1*(-72)=36+288=324.

Х1=-12 (не уд.усл. задачи), Х2=6. 6+6=12. Ответ: 6;12.