Деление многочленов

АННОТАЦИЯ

В работе рассматриваются основы теории делимости многочленов и её применение. Кратко рассказывается об истории возникновения теории делимости.

В работе представлены формулировки и основные понятия теории делимости многочленов: решение уравнений, сокращение дробей, алгоритм Евклида, теорема Безу. Показан основой принцип деления и его приложения.

Применение теории делимости многочленов является важной частью работы.

Методами исследования являлись: анализ учебной и дополнительной литературы, собственный анализ, решение уравнений и сокращение дробей.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение______________________________________________________________4

Основная часть_________________________________________________________4

1.Общие понятия_______________________________________________________4

1.1 Одночлен___________________________________________________________ 4

1.2 Многочлен__________________________________________________________ 4

1.3 Стандартный вид многочлена_________________________________________ 5

2. Действия с многочленами______________________________________________ 5

2.1 Сложение (вычитание) многочленов____________________________________ 5

2.2 Умножение многочленов______________________________________________ 5

2.3 Деление многочленов__________________________________________________5

3.Делимость многочленов________________________________________________ 7

4. Алгоритм Евклида____________________________________________________ 7

4.1 Исторические сведения______________________________________________ 7

4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов__________________________8

4.3 Ускоренные версии алгоритма_________________________________________ 8

5. Применение теории делимости__________________________________________8

5.1 Разложение на множители____________________________________________8

5.2 Сокращение дробей___________________________________________________9

5.3 Решение уравнений___________________________________________________ 9

5.4 Теорема Безу______________________________________________________ 10

Заключение___________________________________________________________ 10

Библиография_________________________________________________________ 10

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматриваются основы теории делимости многочленов.

Эта тема выбрана, потому что на уроках алгебры мы изучали сложение, вычитание, умножение многочленов, а вот деление многочленов нет.

Перед изучением темы: Делимость многочленов я провела анкетирование среди учащихся 7-8 классов нашей гимназии.

Цель данной работы: изучить теорию делимости многочленов и области ее применения.

Для достижения этой цели необходимо изучить основные понятия, теоремы и алгоритмы теории делимости.

С помощью основ теории делимости многочленов можно делить многочлены, раскладывать многочлены на множители, решать уравнения высших степеней, сокращать дроби, решать математические задачи.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Общее понятие.

1.1 Одночлен.

Одночленом называют алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел. Эти буквы и числа являются множителями данного одночлена. Одночлены или Монономы, проcтой вид математических выражений, прежде всего рассматриваемых и используемых в элементарной алгебре. Произведение, состоящее из числового множителя и одной или несколько переменных, взятых каждая с той или другой положительной отметкой степени, подразумевается также каждое отдельное число без буквенных множителей. Примеры О.: x*(-3)*y*1*x, 1*a*(-1)*b, a*0*b*(-1/3)*a, 3abc.

1.2 Многочлен.

Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, входящие в эту сумму, называют членами многочлена. В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида

где c_i фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

,

где I = (i₁,i₂,...,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), c_I — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x₁,x₂,...,x_n].

Например: a²+2ab+b².

1.3 Стандартный вид многочлена.

Говорят, что многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

Например: 2, a, a-b, a²+2ab²+b²,0.

Многочлен стандартного вида, состоящий из двух одночленов, называют двучленом; многочлен стандартного вида, состоящий из трёх одночленов, называют трёхчленом и

т. д. Например:

двучлен: ab-cd, 0,7a²-2b;

трёхчлен: 3a-2b-7, x+yz-2z²;

четырёхчлен: a+b-c-d, -abc-acd-bcd-abd

Любой многочлен можно привести к стандартному виду.

2. Действия с многочленами.

2.1 Сложение (вычитание) многочленов.

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов.

На практике для нахождения суммы и разности многочленов используют правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс (знак минус).

Пример:(2x+3y)+(-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4; (4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y.

2.2 Умножение многочленов.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена полученные одночлены сложить.

Пример:(-5a)(4-b-a²)=-20a+5ab+5a³;
(2+b)(b²-4)=2b²-8+b³-4b.

2.3 Деление многочленов

В алгебре, деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов f(x) и g(x), , существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что

,

причем r(x) имеет более низкую степень, чем g(x).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя g(x).

Пример:

Покажем, что

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

а). Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

б). Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

в). Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой

.

г). Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

д). Повторяем шаг 4.

е). Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен q(x) = x² − 9x − 27 частное деления, а r(x) = − 123 — остаток.

3. Делимость многочленов

Говорят, что многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), если существует многочлен S(x), такой, что P(x) = Q(x)S(x). Многочлен S(x) называется частным от деления P(x) на Q(x).

Теория делимости многочленов имеет много общего с теорией делимости целых чисел. В частности, выполняются следующие свойства:

1) Если P1(x) и P2(x) делятся на Q(x); то P1(x) + P2(x) и P1(x) - P2(x) делятся на Q(x);         

2) Если P(x) делится на Q(x); а T(x) – произвольный многочлен; то P(x)T(x) делится на Q(x); 

3) Если P(x) делится на Q(x); а Q(x) делится на H(x); то P(x) делится на H(x):                       

Доказательство этих свойств ничем не отличается от доказательства соответствующих свойств делимости целых чисел. Отметим еще некоторые простые свойства:

4) Если ненулевой многочлен P(x) делится на Q(x); то deg P(x) ≥ degQ(x);                            

5) Еесли deg P(x) = degQ(x); то P(x) делится на Q(x) тогда и только тогда, когда эти многочлены пропорциональны:                   

(Многочлены называются пропорциональными, если один из них получается из другого умножением на число, отличное от 0.)
Действительно, если P(x) делится на Q(x) и deg P(x) = degQ(x), то частное имеет степень 0, т.е. является числом, отличным от 0. Обратное утверждение очевидно.

4. Алгоритм Евклида.

4.1 Исторические сведения.

Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное вычитание». Этот алгоритм не был открыт Евклидом, так как упоминание о нём имеется уже в Топике

Аристотеля. В «Началах» Евклида он описан дважды — в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.

Историками математики (Цейтен и др.) было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата Математика в девяти книгах.

Ряд математиков средневекового Востока - Сабит ибн Курра, ал-Махани, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям, попытались построить на основе алгоритма Евклида теорию отношений, альтернативную по отношению теории отношений Евдокса, изложенной в V книге «Начал» Евклида. Согласно определению, предложенному этими авторами, четыре величины, первая ко второй и третья к четвёртой, имеют между собой одно и то же отношение, если при последовательном взаимном вычитании второй величин в обеих парах на каждом шаге будут получаться одни и те же неполные частные.

4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов.

Рассмотрим пример использования алгоритма Евклида для многочленов.

Найдём наибольший общий делитель многочленов А=x³+3x²+3x+2 и B=x³+2x²+2x+1.

Применим алгоритм Евклида:

_		x3+3x2+3x+2		x3+2x2+2x+1
		X3+2x2+2x+1		1
_x3+2x2+2x+1			x2+x+1
x3+ x2+ x			x+1
	_x2+x+1
	x2+x+1
	0

4.3 Ускоренные версии алгоритма.

Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка:

где

Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй и Влавствуй позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма.

5. Применение теории делимости.

5.1 Разложение на множители.

f(x):(x-1/2) Разделим.

2x3+7x2-28x+12			x-1/2
2x3-x2			2x2+8x-24
		8x2-28x
		8x2-4x
-24x+12
-24x+12
0
	x=-6
	x=2

Значит 2x²+88x-24=0, т.е. x²+4x-12=0

Ответ: 2(x-1/2)(x+6)(x-2)

5.2 Сокращение дробей.

2x3+7x2-28x+12	=	2(x-1/2)(x+6)(x-2)	=	2(x+6)(x-2)	=	2(x+6)(x-2)
x-1/2		(x-1/2)		1

Ответ: 2(x+6)(x-2)

5.3 Решение уравнений.

1) 2x²-3x-5=0; f(x)=2x²-3x-5

f(-1)=2(-1)²-3(-1)-5=0, значит

f(x):(x+1) (:-символ кратности).

Разделим уголком:

а) 2x²:(x)=2x поставим под уголок

2x2-3x-5	x+1		Умножим 2x на (x+1)
	2x

б) 2x(x+1)=2x²+2x подставим под выражением 2x²-3x-5.

2x2-3x-5	x+1
2x2+2x	2x

в) Вычтем (2x²-3x-5)-(2x²+2x)=-5x-5

2x2-3x-5			x+1
2x2+2x			2x
	-5x-5

г) (-5x):x=-5

2x2-3x-5		x+1
2x2+2x		2x-5
	-5x-5

д) -5*(x+1)=-5x-5. Подставим под -5x-5

2x2-3x-5		x+1
2x2+2x		2x-5
	-5x-5
	-5x-5

е) (-5x-5)-(-5x-5)=0, значит остаток равен нулю.

2x2-3x-5				x+1
2x2+2x				2x-5
		-5x-5
		-5x-5
			0
	x+1=0
	2x-5=0

Процесс деления закончен.

Ответ:{-1;2,5}

5.4 Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Задачи.

1) Проверьте, выполняются ли условия:

а) делится на ;

б) делится на .

2) Докажите, что

делится на .

3) Найдите значения параметров и , при которых

 делится на .

4) Найдите все значения параметров  и , такие, что остаток от деления

на равен .

5) Найдите все натуральные , такие, что

делится на .

6) Известно, что остаток от деления полинома на равен 2, от деления  на равен 1. Найдите остаток от деления на .

7) Найдите остаток от деления многочлена на .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в теории делимости многочленов изучают признаки делимости одного многочлена на другой. Теория делимости многочленов предлагает математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат является таким же логически строгим и точным, как математический аппарат в других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать определение теории делимости многочленов: теория делимости многочленов - это математическая наука, изучающая деление одного многочлена на другой.

Данная работа помогает разобраться в сущности теории делимости многочленов, научиться решать с помощью нее математические уравнения, понять в каких областях она может применяться. Материалы работы можно использовать на математических кружках, спецкурсах, факультативах.

БИБЛИОГРАФИЯ

1.Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов.

2. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о алгоритме Евклида.

3. sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов.

4. www.ref.by/refs: статья о теореме Безу.

5. ru.math.wikia.com: статья о теореме Евклида.

6. ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов.

7. Никольский.С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2009 г. (дополнения к главе).

10