Деление многочлена на многочлен с остатком. Схема Горнера.

Тема урока:

Деление многочлена на многочлен с остатком. Схема Горнера

11 класс

Учитель математики

Казанцева М. В.

МБОУ «СОШ №110»

Теорема 2:

Для любых двух многочленов ненулевой степени p(х) и s(х) существует пара многочленов q(х) и r(х) такая, что степень многочлена r(х) меньше степени многочлена s(х) и выполняется тождество:

p(х) =s(х) ·q(х) + r(х)

p(х) - делимое

s(х) - делитель

q(х) – частное (неполное частное)

r(х) - остаток

!

Степень не равного нулю остатка должна быть меньше степени делителя.

Делитель

Остаток

Многочлен первой степени

Число

Многочлен второй степени

Многочлен первой степени

Число

!

Степень частного q(x) равна разности степеней делимого р(х) и делителя s(x).

Задача №1

Выполните деление с остатком многочлена 2х 2 -х -3 на х-2

х-2

– 3

2х 2 -х–3

–

2х 2 -4х

+3

2х

3х

–

3х–6

3

2х 2 -х -3= ( х-2)(2х+3)+3

Задача №2

Разделить многочлен

х 3 - 3 х 2 +5х-15 на многочлен х 2 +5.

х 2 +5

х 3 -3х 2 +5х-15

–

х 3 +5х

х

-3

-3х 2

-15

–

-3х 2

-15

0

х 3 -3х 2 +5х -15= ( х 2 +5)(х-3)

Теорема 3:

Остаток от деления многочлена ненулевой степени p(х) на двучлен х-а равен р(а) (теорема Безу).

Задача №3

Найдите остаток от деления многочлена 2х 2 -х -3 на двучлен х-2

!

Если при х=а многочлен р(х) обращается в нуль, т.е. р(а)=0, то число а называется корнем многочлена .

Следствие:

Если число а является корнем многочлена p(х), то р(х) делится на двучлен х-а.

Схема Горнера:

Выполнить деление многочлена р(х)=bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex+f на х-а.

р(х)=(х-а)q(x)+r, где q(x)- многочлен третьей степени.

Пусть q(x)=kx 3 +mx 2 +nx+c, тогда

bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex+f=

(х-а)(kx 3 +mx 2 +nx+s)+r=

kx 4 +mx 3 +nx 2 +sx-akx 3 -amx 2 -anx-as+r=

kx 4 +(mx 3 -akx 3 )+(nx 2 -amx 2 )+(sx-anx) +r-as=

kx 4 +(m-ak)x 3 +(n-am)x 2 +(s-an)x +r-as

Схема Горнера:

По теореме 1 (тождественность двух многочленов)

b=k, c=m-ak, d=n-am, e=s-an, f=r-as

Выразив коэффициенты многочлена q(x), получим:

k=b, m=c+ak, n=d+am, s=e+an, r=f+as

a

b

k=b

c

m=c+ak

d

n=d+am

e

s=e+an

f

r=f+as

Задача №4

Используя схему Горнера, разделить многочлен

р(х) =2х 5 +х 4 –3х 3 +2х 2 +5

на двучлен х + 2