Задания для школьного этапа олимпиады

10 класс

Задания

10.1. Существует ли натуральное n такое, что число n²⁰¹² – 1 является какой-либо степенью двойки?

10.2. Известно, что + b = + с = + a. Какие значения может принимать выражение а( - )+ b( - + с ( - ) ?

10.3. На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера?

10.4. Ненулевые числа a, b, c образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Докажите, что уравнение a + 2 bx + c = 0 имеет два решения.

10.5. Один из углов трапеции равен 60°. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.

Решения

10.1 Существует ли натуральное n такое, что число n²⁰¹² – 1 является какой-либо степенью двойки?

Решение:

Преобразуем: n²⁰¹² – 1 = (n¹⁰⁰⁶)2 – 1 = (n¹⁰⁰⁶– 1)(n¹⁰⁰⁶ +1).

Предположим, что данное число является степенью двойки, тогда каждый из двух полученных множителей также является степенью двойки, причем эти множители отличаются на 2. Это возможно только в одном случае, если n¹⁰⁰⁶ – 1 = 2, а n¹⁰⁰⁶ + 1 = 4, но таких натуральных n не существует.

Ответ: не существует.

10.2 Известно, что + b = + с = + a. Какие значения может принимать выражение а( - )+ b( - + с ( - ) ?

Решение:

Заметим, что равенство + b = + с можно записать в виде - = с - b. Аналогично имеем - = a – с, - = b - a . Подставляя эти равенства в искомое выражение, получаем, что

а( - )+ b( - + с ( - )= a(c – b) + b(a – c) + c(b – a)= 0/

Ответ: 0.

10.3 На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера?

Решение:

Обозначим на сегодня: большая б2, а маленькая м2. Цены на вчера: большая б1, а маленькая м1. Тогда из условия задачи имеем: 3б2 + м2 = 5б1, 2б2 + м2 = 3б1 + м1. Отсюда получаем: 5м1 = 5(2б2 + м2 – 3б1) = 10б2 + + 5м2 – 15б1 = 10б2 + 5м2 – 3(3б2 + м2) = б2 + 2м2. То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленьких сегодня.

Ответ: пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленьких сегодня.

10.4 Ненулевые числа a, b, c образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Докажите, что уравнение a + 2 bx + c = 0 имеет два решения.

Решение:

По свойству арифметической прогрессии получаем, что b = . Тогда дискриминант квадратного уравнения a + 2 bx + c = 0 равен D = 8 - 4ac = 2 - 4ac =2 + 2 . Значение этого выражения больше нуля, поэтому квадратное уравнение имеет два решения.

10.5 Один из углов трапеции равен 60°. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой
трапеции можно описать окружность.

Решение:

Так как АВСD вписанная, то она равнобедренная, т.е. АВ=СD. Так как ∠ВАD=60°, то ∠АВС=120°. Центр вписанной окружности лежит в точке O пересечения биссектрис BK и AO углов BAD и AВC. Т.к. ∠ABK=60°=∠BAK, то треугольник АВK – равносторонний, значит, биссектриса АO является медианой в этом треугольнике. Биссектриса СL угла ВСD также проходит через точку О. А так как О – середина ВК, то OL – средняя линия треугольника ABK (проходит через середину ВK и параллельно АВ), следовательно АL=LK. Аналогично LK=KD. Треугольники BCO и LKO – правильные (углы по 60°) и их стороны равны (BO=OK), следовательно ВС=LK=AL=KD, т.е. 3ВС=AD.

Ответ: ВС : АД = 1 : 3.