Задачи на разрезание и моделирование

Сценарий занятия по теме

«Задачи на разрезание и моделирование»

С любознательности начинается познание мира

Л.Д Ландау

Цели и задачи:

1. в направлении личностного развития

способствовать развитию логического и критического мышление, способности к умственному эксперименту;

воспитать качества личности, обеспечивающие социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;

формировать качества мышления, необходимые для адаптации в современном информационном обществе;

развить интерес к математическому творчеству и математические способности;

1. в межпредметном направлении

содействовать формированию представления о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;

создавать условия для приобретения первоначального опыта математического моделирования;

1. в предметном направлении

Овладеть математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения обучения в школе;

Создать фундамент для математического развития, формировать механизмы мышления, характерные для математической деятельности.

Цели занятия.

Тип занятия: занятие «открытия» нового знания.

Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.

Вид используемых на занятии средств: раздаточный материал, слайды презентации, выполненной в программе Power Point, компьютер.

Планируемые образовательные результаты:

Личностные: Учащиеся получают возможность использовать общие закономерности для решения задач на разрезание и составление новой фигуры, развивать активность, находчивость при решении задач, развивать умение общаться в коллективе и в паре, способствовать эмоциональному восприятию математических задач.

Межпредметные: развивать способности к самостоятельной аналитической работе с информацией, развивать логику, осуществлять анализ с целью выделения признаков, умения систематизировать, делать общие выводы

Предметные: углубить свои представления о геометрических фигурах, обнаружить существующие между ними связи. Учащиеся научаться исследовать и выполнять задания на разрезание и моделирование, выделять общие признаки того, как из одной заданной фигуры составить другую.

Структура и ход занятия.

1. Организационный момент. Самоопределение к деятельности.

На столе находятся 5 яблок.

-Здравствуйте, дети! Я рада вас всех видеть. Сегодня вам на занятии потребуются ножницы, простой и цветные карандаши, линейка, подготовленные модели плоских фигур - квадрата, прямоугольника. Проверьте свою готовность к занятию. Почему надо подготовиться к занятию? (Правильно, если всё будет готово к занятию, нам не нужно будет тратить время на поиск того, что может быть необходимо для работы).

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация к учебной деятельности.

- Как вы думаете, зачем на столе находятся 5 яблок?

- Какой тип задач мы будем рассматривать с помощью этих яблок?

- Молодцы. Вы правильно определили тему нашего занятия – решение задач на разрезание и моделирование.

- А для чего это нужно? (Чтобы научиться делить фигуру на равные части).

- Верно, мы будем не только делить фигуру на равные части, но и с помощью этого метода создавать, то есть моделировать новые фигуры.

-А умеем мы с вами это выполнять для любой фигуры? (Нет)

- А что нужно для решения задач данного типа? (Знать особенности задачи, методы, приёмы её решения)

- Молодцы. Вы правильно определили то, к чему мы должны придти при решении задач на разрезание: найти особенности этих задач, определить существуют ли специальные методы и приёмы решения задач такого типа.

- А что является залогом успешной работы? (Внимательно и аккуратно выполнять все указания учителя, внимательно слушать своих одноклассников, активно работать на каждом этапе занятия).

Начнем мы с вами с маленькой разминки: на листах написаны вопросы, каждый по очереди будет задавать вопрос любому человеку, но с условием, что он сам знает ответ на данный вопрос. (Приложение 1)

- Итак, переходим к задачам. Разделите поровну 5 яблок между 6 людьми. Но разрезов должно быть как можно меньше. Сколько разрезов у вас получилось?

(Дети делают предварительные выводы:

3 яблока пополам,а 2 яблока на 3 части, каждый получит по+=яблока)

3. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.

- Вы раньше не встречали такие задачи. Может ли это быть причиной затруднения? (Нет, это не причина затруднений).

Сформулируй свою причину затруднения.

- Итак, мы с вами будем учиться решать задачи на разрезание, определяя приёмы её решения.

Взять квадрат бумаги, окрашенный только с одной стороны, и сложить его так, чтобы цветной была только четвертинка. С изнанки квадратик выглядит точно так же (цветная только четвертинка). Как конкретно будут располагаться сгибы, не так важно. Главное получить нужный результат

4. Построение проекта выхода из затруднения.

- Что надо сделать, когда возникает затруднение при решении задачи? (Надо сформулировать цель и построить план действий для решения задачи).

Вашему вниманию предлагается творческий проект «Белоснежка и гномы»,с которым наша команда выступала на областном мини-турнире юных математиков. (Приложение 2)

5. Первичное закрепление.

Учитель предлагает рассмотреть и решить задачи на разрезание.

В качестве такой задачи может выступить китайская головоломка танграм.

(Приложение3)

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

- Итак, вернёмся к нашим задачам. Можете ли вы сказать, что научились решать задачи на разрезание? (Нет, мы не поработали самостоятельно).

- Значит, что вы сейчас будете делать?

Ученики работают самостоятельно и после выполнения работы проверяют решение по эталону на слайде. Исправляют ошибки. После проверки проводится анализ результатов, выявляются места и причины допущенных ошибок.

Самостоятельная работа:

1.Посчитать количество граней, ребер и вершин куба.

Сколько получится граней, ребер и вершин, если обрезать один уголок куба?

А если все?

2.Как сложить из 3 спичек равносторонний треугольник?

Из четырех спичек- два равносторонних треугольника?

Из шести спичек составить четыре равных равносторонних треугольника.

В задаче нет никаких дополнительных условий, поэтому введем следующие условия для решения поставленной задачи:

1.                 Длина стороны треугольника равна длине спички;

2.                 Спички можно соединять только концами;

3.                 Спички нельзя класть одну на другую;

4.                 Треугольников должно быть ровно четыре;

5.                 Треугольники должны быть равны.

 

Итак, рассмотрим всевозможные варианты решения задачи при определенных условиях 1-5.

1.Отменим условия 1,2,5 т.е

 Длина стороны треугольника не равна длине спички;

Спички можно класть одну на другую;

    Треугольники должны быть равны.

 Треугольники 1,2,3,4 равносторонние и равные, но здесь получилось еще 2 больших равносторонних треугольника.

 2. Пирамида с равносторонним треугольником в основании.

Здесь выполняются все 5 условий.

3. В квадрате, разделенном на 4 равные полоски, проведена диагональ. Чему равна площадь закрашенной части, если сторона квадрата 1м?

Учащиеся обмениваются вариантами ответов, сравнивают решения.

7. Рефлексия деятельности (итог урока).

- Что в конце занятия мы всегда делаем? (Подводим итог, анализируем свою деятельность, записываем домашнее задание).

Предлагается выполнить тест Айзенка на заполнение недостающей фигуры.

Всем детям на память маленькую эмблему.

Приложение 1

1.Часы с боем отбивают один удар за одну секунду. Сколько времени потребуется часам, чтобы отбить 12 часов? (11 секунд)

2.На озере росли лилии. Каждый день их число удваивалось и на 20 день заросло все озеро. На какой день заросла половина озера? (на 19й)

3.К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличили число? (в 11 раз)

4. На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)

5.Сколько лет двадцатилетнему человеку было 4 года назад? (16)

6.Который сейчас час, если оставшаяся часть суток вдвое больше прошедшей? (8 часов)

7.Сумма трех чисел равна их произведению, эти числа различные и однозначные. Назовите эти числа? (1,2,3)

8.Сколько концов у пяти палок? (10). А у пяти с половиной? (12).

9.Выглянув на повороте в окно, Ира заметила, перед нею 9 вагонов, а за ней – ещё 7. Сколько вагонов в поезде, в котором ехала Ира? (17).

10.Лестница состоит из 15 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы быть на середине лестницы ? (На восьмую ступеньку)

11.60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всех листов книги, если в ней 240 страниц? (2 см).

12.Масса полного бидона с молоком 7 кг, а наполненного наполовину 4 кг. Какова масса бидона? (1 кг)

13.Часы показывают ровно 5 часов дня. Какое время было 8 часов назад? (9 часов утра.)

14.Часы показывают половину первого. Меняем местами минутную стрелку и часовую. Который сейчас час? (18 часов 05 минут.)

15.Во сколько раз быстрее движется конец минутной стрелки, чем конец часовой стрелки в часах ? (в 12 раз быстрее.)

16.Можно ли пустое ведро наполнить три раза подряд, ни разу не опоражнивая? (Первый раз камнями, второй раз песком, третий раз водой.)

17.На угол в 10° смотрят через увеличительное стекло с десятикратным увеличением. Чему равен угол? (10°)

18.Если бы завтрашний день был вчерашним, то до воскресенья оставалось бы столько дней, сколько дней прошло от воскресенья до вчерашнего дня. Какой же сегодня день? (Среда.)

19.Даны числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Что больше- их сумма и их произведение?(Сумма)

20.Сколько осей симметрии у квадрата? (4)

Приложение 2

Белоснежка испекла для гномов пирог. Но из-за болезни один из семи гномов может не прийти.

Дайте ответ на следующие вопросы:

1. На какое минимальное количество кусков нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было распределить поровну между гномами? Рассмотрите два случая:

1.1. Куски должны быть равные;

1.2. Куски не обязательно равные (в этом случае укажите массы кусков, если вес пирога равен М).

1. А если за столом может оказаться либо a гномов, либо b гномов. Начните рассмотрение с частных (конкретных) значений a и b, а затем попробуйте рассмотреть этот пункт в общем случае.

1. А если возможны разные варианты числа пришедших гномов: a₁, а₂, …, а_m(все числа а_i – натуральные).

1. А если кроме гномов может прийти Винни-Пух, и ему нужен кусок в р раз больший, чем любому из гномов (р не обязательно целое число). Вновь начните рассмотрение с частных значений р, а затем исследуйте возможность получения ответа в общем случае.

1. 1.1 Куски равные

НОК(6,7) = 42.

Пирог делим на 42 куска. Если придет 6 гномов, то каждому достанется по 7 кусков. Если придут все гномы — то по 6 кусков каждому.

1.2. Куски не обязательно равные вес пирога М

Нужно разрезать следующим образом: 6 кусков по , а седьмой кусок разрезать еще на 6 частей. Масса одной части .

Т.о. получается 6 кусков по и 6 кусков по , т.е. 12 кусков. Если придет 6 гномов, то каждый получит по 1 куску и 1 куску . А если 7 гномов, то 6 получат по 1 куску массой , а 7 гномов 6 кусков по .

2. Куски равные

Случай 1. т.е. . Можно разрезать на 12 кусков. Придут 12 гномов — каждому по 1 куску. Придут 12 гномов — каждому по 2 куска.

Случай 2. т.е. взаимно простые. Придется разрезать на 35 кусков. 5 гномов — каждому по 7 кусков. 7 гномов — каждому по 5 кусков.

Случай 3. . Пирог разрезаем на 18 кусков. 6 гномов — каждому по 3 куска. 9 гномов — каждому по 2 куска.

Вывод: Если куски равные, то пирог нужно делить на НОК(a, b) частей.

Куски разные.

Случай 1. .

Можно отрезать 6 кусков по , а оставшуюся часть (половину) еще на 6 кусков по . Т.о. куски получаются равные. Их 12 штук.

Случай 2.

1. Отрезать 5 кусков по .

2. Оставшуюся часть разрезать на 10 частей по .

3. Получим 5 + 10 = 15 куском.

Случай 3.

1. Отрезаем 6 кусков по .

2. Оставшуюся часть делим тоже на 6 частей по .

3. Получаем 6 кусков и 6 кусков , всего 12 кусков.

Вывод: Если разрезать на куски разные по массе, то это выгоднее — меньше кусков.

Пусть a меньше b, тогда:

1. Отрезаем а кусков по .

2. Оставшуюся часть разрезаем на частей.

3. Получается кусков.

3. Если число переменных: .

1) Равные куски, то разрезать нужно на НОК частей.

2) Куски разные.

Возьмем , , ,

Алгоритм:

1. Разделим пирог на частей. (Если придет с гномов, то каждому достанется по частей)

2. Возьмем а кусков и оставим их целыми, из оставшихся кусков возьмем и разделим каждый на частей. Величина каждого изкусков будет .

3. Оставшиеся кусков разделим на кусков, масса каждого .

Этот алгоритм можно применить для любого варианта числа пришедших.

Пусть .

1. Разрезаем пирог на частей

2. Берем целыми частей.

3. Еще частей делим на кусок.

4. кусков из числа целых делим на .

5. Еще кусков делим на и т.д.

4. Если кроме гномов может прийти Винни – Пух, ему нужен кусок в pраз больше.

1 случай. p – целое число.

Пусть гномов будет . Т.е. Винни – Пух съедает как 2 гнома.

Возможны ситуации:

– 3 гнома

– 3 гнома + Винни – Пух = 2 гномам

– 4 гнома

– 4 гнома + Винни – Пух = 2 гномам.

Количество кусков должно быть кратно 3, 5, 4, 6. Куски равные, тогда делим пирог (М) на частей, каждый кусок .

Вывод: Если p – целое число, то Винни – Пуха можно рассматривать как p гномов. И делить пирог на равных частей. Если куски неравные, то по алгоритму П.3.

2 случай. a или b гномов.

Будем разрезать пирог на частей.

Приложение 3 Головоломка "Танграм"

Головоломка "Танграм" - квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Он появился в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки "чи чао ту" - так называется ташрам на его родине (в переводе - умственная головоломка из семи частей"). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова "тань" (на кантонском диалекте - китаец) и часто встречающегося греческого корня "грамма" (буква). Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение

танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Эта тщательно разработанная легенда от начала до конца выдумана изобретательным автором головоломок Сэмом Лойдом.

C любознательности начинается познание мира

Л.Д.Ландау

C любознательности начинается познание мира

Л.Д.Ландау

C любознательности начинается познание мира

Л.Д.Ландау

C любознательности начинается познание мира

Л.Д.Ландау