Числа Фибоначчи и золотое сечение

ГБОУ СПО ЛНР

« Краснолучский строительный колледж»

Методическая разработка

внеклассного мероприятия на тему:

«Числа Фибоначчи и золотое сечение»

Материалы подготовлены

преподавателем математики

Чернышевой Ю.Е.

2016-2017 уч. год

Цель : развить интерес к предмету «математика».

Образовательные задачи: познакомить учащихся с числами Фибоначчи и золотым сечением , их проявлениями в природе, архитектуре, скульптуре и музыке.

Развивающие задачи: продолжать развивать логическое мышление, умение анализировать, находить закономерности, замечать их в окружающем нас мире, понимать, что математика – это язык, с помощью которого записываются все законы природы, и его необходимо изучать.

Воспитательные задачи: воспитывать у учащихся такие качества как любознательность, настойчивость в достижении своей цели, понимание того что красота тесно связана с математикой.

Тип урока: устный журнал.

Ход урока

(Урок проводится на основе презентации)

Очень часто учителям математики задают учащиеся вопрос: « Зачем мне нужна математика? Она мне в жизни не пригодится».

Изучая математику, мы опираемся только на знание формул, теоремы, расчеты. И математика предстает перед нами как некая абстрактная наука, оперирующая цифрами. Однако, как оказывается, математика – красивая наука.

Именно поэтом я поставила перед собой следующую цель на данном мероприятии - показать красоту математики при помощи закономерностей, существующих в природе. Многообразие форм, живых организмов и растений нашей планеты, удивляющие нас своей красотой и гармонией – все это можно объяснить с помощью математики. Одним из самых замечательных вариантов взаимосвязи математики и природы являются числа Фибоначчи, магические числа, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого сердца и в музыкальных ритмах...

Эпиграфом данного мероприятия я взяла слова итальянского физика, механика, астронома, философа и математика Г. Галилея « Математика- это язык , на котором написана книга природы», и слова английского математика 20 столетия Гарольда Харди “Там, где красота, там действуют законы математики”. ( слайд 2) (Видео).

Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире? И что такое золотая спираль и золотое сечение?

Введение. История ряда Фибоначчи.

( сообщение учащегося)

Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи, первым крупным математиком средневековой Европы. Точная дата его рождения неизвестна. Предположительно Леонардо родился в 1170г. в городе Пиза, в Италии.

Его отец был купцом и государственным вельможей, благодаря этому ему удалось «устроить» своего сына в одну из арабских школ, где он смог получить превосходное для того времени математическое образование. (слайд 3)

яКак вы думаете почему?

( Потому что пора с 11-го по 12-ый века была временем блестящего расцвета арабской культуры, в то время арабы были наиболее просвещенным народом в мире).

Одним из его больших достижений в математике было «открытие» арабских

цифр вместо римских и десятичную систему исчисления для европейцев. ( слайд 4)

Что ассоциируется у вас с понятием «средневековье»?

( Разгул инквизиции, костры, на которых сжигали ведьм и еретиков, крестовые походы за «телом господним»).

Наука в те времена явно не была приоритетом. В этих условиях появление книги по математике «Книга об абаке» (вычислениях), написанной в 1202 году, стало важным событием в научной жизни общества. Этот труд приобщил европейских ученых к достижениям индийских и арабских математиков. Он оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. ( слайд 5)

На протяжении нескольких столетий по труду Фибоначчи ученые знакомились с двумя важнейшими разделами математики – арифметикой и алгеброй и черпали из него задачи и оригинальные методы решения.

Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что благодаря работе Фибоначчи « Книге об абаке» Европа узнала индо-арабскую систему чисел, которая позднее традиционные для того времени римские числа.

Однажды, Леонардо ломал голову над решением одной математической задачи: « Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?» Он пытался создать формулу, описывающую последовательность размножения кроликов. ( слайд 6)

Схема решения представлена на данном слайде. ( слайд 7). Первый месяц 1 пара кроликов, не дающая потомство. Второй месяц – исходная пара кроликов, дающая потомство. Третий месяц – две пары ( исходная пара и рожденная пара). Четвертый месяц – три пары ( две пары плюс рожденная пара). Продолжая аналогичные рассуждения Фибоначчи получил числовой ряд, имеющий следующий вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

( слайд 7)

Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

Удивительный факт, что последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрический науках ( стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Давайте внимательно посмотрим на этот числовой ряд – как связаны числа в нем между собой? Если внимательно посмотреть, то каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих.

С числами Фибоначчи связан так называемый золотой прямоугольник, то есть прямоугольника с шириной и высотой, равными двум соседним числам последовательности Фибоначчи. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. ( слайд 12) Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Мы получили кривую, которая является золотой спиралью, или спиралью Фибоначчи. ( слайд 13)

Гёте называл спираль «кривой жизни». Удивительно, что последовательность чисел Фибоначчи напрямую связана со спиральность в окружающем мире.

Нужно сказать, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания!

Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его. Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа.

Рассмотрим примеры спирали Фибоначчи в природе.

Например (доклад учащегося):

1. Первый и очень яркий пример – это подсолнухи. Их семена расположены так, чтобы максимально использовать всю площадь соцветия, не теряя ни миллиметра. А расположены они в виде двух пересекающихся спиралей справа налево и наоборот. Пары этих спиралей встречаются разные, у меньших соцветий 13 и 21, 21 и 34, у больших 34 и 55, 55 и 89.  И отклонений от этих пар быть не может! (слайд 8)

1. Нечто подобное происходит и с ячейками ананаса: у него 8 правосторонних спиралей, 13 левосторонних и 21 вертикальная. ( слайд 9)

1. В сосновой шишке, если хорошо присмотреться, можно увидеть две спирали, закручены одна по часовой стрелкой, а другая  против. Число этих спиралей 8 и 13. ( слайд 10)

1. Если пересчитать лепестки некоторых наиболее распространенных цветов, - например, ириса с его 3 лепестками, первоцвета с 5 лепестками, крестовника с 13 лепестками, маргаритки с 34 лепестками и астры с 55 (и 89) лепестками, то и тут видна последовательность Фибоначчи.

( слайд 11)

Можно продолжить этот список примеров:

• рассмотреть спираль так же можно в паутине или в том, как свернулась сороконожка;

• если посмотреть на многие кактусы сверху, то можно и здесь обнаружить ту же спираль, усики огурца или свернувшийся лист также демонстрируют спиралеобразное строение;

• у многих сложноцветных (розы, маргаритки, ромашки) заметно, спиральное расположение отдельных цветков. Молодые побеги папоротника, закручены в спираль . Хорошо виден винтообразный рост веток дерева;

• можно увидеть спираль и в разных явлениях природы, например таких как: смерч, ураган, облака, морские волны. Наша галактика – это спираль;

• оказывается, спираль Фибоначчи есть и на отпечатке пальца;

• даже ДНК человека это две свитые спирали;

Винты и спирали действительно на каждом шагу окружают нас.

Продолжим наше исследование последовательности Фибоначчи, найдем отношения некоторых чисел из последовательности Фибоначчи к предыдущему ( выполняет ученик с калькулятором). Видим, что отношения каждого из чисел к предыдущему стремятся к Ф =1,618, к числу, которое в средние века было названо «Божественной пропорцией», а ныне именуется как «золотое сечение» или «золотая пропорция». Таким образом, с числами Фибоначчи косвенно связана история «золотого» сечения. Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом Вселенной. Правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. ( слайд 16)

По словам А. Августина: « Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа».

Давайте вспомним, что такое «пропорция» - равенство двух отношений.

Так что же такое «золотое сечение»?

Золотое сечение, золотая пропорция, гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении — это деление отрезка длины a на две части таким образом, что длина всего отрезка относится к большей части так же, как длина большей части относится к длине меньшей части. ( слайд 17)

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Золотое Сечение и связанные с ним числа Фибоначчи пронизывают всю историю искусства:

• Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, у которой высота грани, деленная на длину, приводит к соотношению φ=1,618 – Божественной пропорции.

• Знаменитый греческий храм Парфенон имеет форму золотого прямоугольника. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение длины здания к его высоте равно 1,618. Если произвести деление Парфенона по золотому сечению, то получим те или иные выступы фасада.

• Также можем наблюдать проявление золотого сечения в скульптуре. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

• Художники, занимаясь творением своих произведений использовали правило золотого сечения. Например, на знаменитой картине И. И. Шишкина «Сосновая роща» с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещённый солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины

по золотому сечению и дальше.

• Мы можем наблюдать золотое сечение и в литературе. Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин". Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55! Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть, вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!

Вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на золотом сечении. (Видео).

Самое совершенное создание на Земле – человек. Его тело, внешняя красота, его внутренний мир, строение – настолько продумано и рассчитано. Напрашивается вывод, что сама природа – это великий математик.

Италия. 15 век. Леонардо да Винчи. Ученый, инженер, скульптор, конструктор. Большой вклад внес в изучение строения человека. Как никто показал связь с математикой красоты мироздания. Симметрия тела, четко рассчитано место каждого органа. Леонардо да Винчи в первую очередь известен как художник. Его картина – «Мона Лиза» – неописуемый красоты творение. Умение находить пропорции в изображении сделало его Великим художником. У Леонардо да Винчи особенно прекрасны картины, где изображены мать с ребенком, где отражены любовь и счастье ( «Мадонна Литта», «Мадонна с веретеном»). ( слайд 25)

Леонардо да Винчи занимался изучением идеальных пропорций человеческого тела, и венцом проделанных стараний является его знаменитая работа – «Витрувианский человек», в сопроводительной записи к данной картине Леонардо да Винчи пишет :

«Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями – видео.

Заключение: «Куда бы мы ни обратили свой взор, где бы ни были, мы видим прекрасное творение природы, прекрасные творения человека. Какую бы профессию мы не взяли – все профессии нужны, все профессии важны. Но очень трудно сказать, что то, что получается действительно красивым, добрым , важным – оно обходится без математики. Она важна, она нужна, ее надо знать. А для этого ее нужно хорошо учить.

«Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием».

Н. Д. Пуассон ( слайд 27)