kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Двоичная и восьмеричная системы счисления.

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данный урок первый в серии занятий по системам счисления. В этом уроке учащиеся знакомятся с двоичной и восьмиричной системами счислени. Учатся переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную и обратно. А также из восьмиричной в десятичную и обратно. Затем работают с тремя системами сразу. 

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Двоичная и восьмеричная системы счисления. »

ИНФОРМАТИКА 1 курсы 1 семестр

Раздел «Информация» Системы счисления

______________________________________________________________________________________________________

  1. Занятие№1


Тема занятия: Системы счисления. Перевод чисел из одной системы в другую.

Цель занятия:

Образовательная:

  • Познакомить студентов с системами счисления (2СС, 8СС).

  • Научить переводить числа из одной системы в другую и наоборот.

Развивающая:

  • реализация межпредметных связей путем применения студентами ранее полученных знаний («Математика»).

Воспитательная:

  • формирование у студентов внимательности, аккуратности.


Оборудование занятия:

  • персональные компьютеры;


    1. План занятия
  1. Мотивация изучения нового материала


  1. Изучение нового материала


  1. Системы счисления, их типы.

  2. Двоичная система счисления.

  3. Перевод чисел из 2СС в 10СС и из 10СС в 2СС.

  4. Восьмеричная система счисления.

  5. Перевод чисел из 8СС в 10СС и из 10СС в 8СС, 2СС в 8СС, 8СС в 2СС.

  1. Закрепление знаний

Для закрепления на 10 минут самостоятельная работа.

Перевести:

    1. 4710 – Х2

    2. 10101,012 – Х10

    3. 101101100,010112 – Х8

  1. Задание на дом

Примеры:

  1. 7910 - Х2,

  2. 1011111,112 – Х10,

  3. 123,48 – Х10,

  4. 83,210 – Х8,

  5. 123,48 – Х2.


      1. Конспект
      2. Системы счисления

Под системой счисления понимают совокупность приемов для представления и записи чисел с помощью определенного количества знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах значение (вес) каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Примером позиционной системы является десятичная система счисления. Проанализируем вместе с учащимися, как представляются числа в этой системе.

Для представления чисел в десятичной системе используются десять цифр: от 0 до 9. Число записанное в десятичной системе, 2359,407 читается как две тысячи триста пятьдесят девять и четыреста семь тысячных и может быть представлено следующим образом:

2*1000 + 3*100 + 5*10 + 9*1 + 4*0,1 + 7*0,001.

Следует обратить внимание студентов, что множители каждого слагаемого представляют собой одну из степеней числа 10, т.е. можно записать:

2*103 + 3*102 + 5*101 + 9*100 + 4*10-1 + 0*10-2 + 7*10-3.

Подчеркнем при этом, что положение (позиция) цифры определяет ее значение. Двойка, стоящая на первом месте, означает количество тысяч в этом числе, а четверка, стоящая после запятой, - количество десятых долей.

Системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число, принято называть позиционными.

В непозиционных системах значение цифры не зависит от ее позиции. Общеизвестным примером непозиционной системы является римская система счисления. Так, в числе МСХХХII (1132) значение цифры Х не изменяется и всегда равно десяти.

      1. Двоичная система счисления


Двоичная система счисления – основание этой системы S=2, в ней используют лишь две цифры: 0 и 1. Ее используют в ЭВМ для представления чисел и выполнения над ними различных арифметических и логических операций. Поскольку в ней используют лишь две цифры: 0 и 1, она легко может быть реализована на элементах, обладающих двумя устойчивыми состояниями.


А2= ап * 2п + ап-1 * 2п-1 +… + а0 * 20 + …

Пример:

1010110112 = 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23+ 1*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2-1 + 1*2-2=

= 64 + 16 + 4 + 2+ 0,5 + 0,25=86,7510.

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную нужно записать его в виде многочлена, где коэффициенты числа будут умножаться на степени двойки и найти сумму слагаемых.

  1. 10 СС
  1. 2 СС

0

0000

2

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

10

1010


А2 = А*23 + А2*22 + А*21+А*20.













Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в двоичную нужно разделить его на два до тех пор пока последнее частное будет меньше 2. Остатки будут являться коэффициентами числа.

                  1. Восьмеричная система счисления


А8п*8п+…+ап*80+…

    1. 10 СС
    1. 2 СС
    1. 8 СС

0

000

0

1

001

1

2

010

2

3

011

3

4

100

4

5

101

5

6

110

6

7

111

7


            1. Восьмеричную систему счисления применяют в ЭВМ как вспомогательную при подготовке задачи к решению (в процессе программирования), при проверке работы машины и отладке программы. Эта система дает более короткую запись числа по сравнению с двоичной системой счисления. В восьмеричной системе счисления используют восемь цифр от 0 до 7, а любое число в этой системе представляют самой суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты


Пример:

173,28 – Х10

173,28=1*82+7*81+3*80+2*8-1=64+56+3+2/8=123,2510


Чтобы перевести число из 2 СС в 8 СС нужно разбить его от запятой вправо и влево на триады цифр. Недостающие цифры до 3 записать нулями, и записать эти триады в 8 СС.

Пример:

10101100,101112 – Х8


010 101 100 , 101 110

2 5 4 , 5 6 Ответ: 254,568


Чтобы перевести число из 8 СС в 2 СС нужно записать каждую цифру числа в виде триады цифр в 2 СС.

Пример:

1360,758 – Х2


1 3 6 0 , 7 5

001 011 110 000 , 111 101 Ответ: 1011110000,1111012

Для перевода целого числа из одной позиционной системы с основанием 10 в другую с основанием 8 надо это число последовательно делить на основание 8 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньшее 8.

Для перевода восьмеричных чисел в двоичную систему счисления достаточно каждую их цифру заменить соответственно трех- или четырехразрядным двоичным числом.


Пример:

5718 – Х2 –?

5 7 1

101 111 001

Ответ: 1011110012.

Теория

Системы счисления

В этой главе речь пойдет о представлении числовой информации.

Человеку издревле приходилось считать различные предметы, нужно было и записывать их количество. Самой первой, вероятно, возникла унарная2 система записи, при которой числа обозначались соответствующим количеством черточек (или засечек на деревяшке).

Унарная запись получается очень громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились разные условные обозначения для различных чисел. Например, многие народы использовали в качестве цифр буквы, к которым добавляли специальные значки. На Руси таким знаком было титло

Но, все равно, число получалось сложением цифр, поэтому система оставалась сложной. Представьте: чтобы пользоваться древнерусской системой счисления, нужно было знать числовое значение 30 букв, а еще -- несколько особых символов, увеличивавших это значение ("тысяча", "тьма", "легион", "леодр"... -- все они получались при приписывании к "единице" -- букве "аз" разных значков). Вычисления же в таких системах были вообще чрезвычайно затруднены.

В римской системе счисления появилась одна новая идея: хотя там тоже для обозначения чисел использовали буквы (1 -- I, 5 -- V, 10 -- X, 50 -- L, 100 -- C, 500 -- D, 1000 -- M), но роль их зависела от порядка записи (значение могло не только прибавляться, но и вычитаться). Развитие этой идеи привело к появлению современных позиционных систем счисления.

Мы настолько привыкли к нашей обычной -- десятеричной -- системе, что даже не задумываемся, насколько гениальной была идея, положенная в ее основу3: в позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Например, число 444 записано тремя одинаковыми цифрами, но каждая из них имеет свое значение: четыре сотни, четыре десятка и четыре единицы. То есть его можно записать вот так:

444 = 4.100 + 4.10 + 4.1.

или

444 = 4.102 + 4.101 + 4.100.

Нетрудно заметить, что если обозначить цифры числа как a2, a1 и a0, то любое трехзначное число может быть представлено в виде:

N = a2.102 + a1.101 + a0.100.

Число 10, степени которого используются в этой формуле (и именно столько разных цифр есть в десятичной системе), называют основанием системы счисления, а степени десятки -- весами разрядов.

Вообще, выбор в качестве основания позиционной системы именно числа 10 объясняется традицией, а не какими-то особыми свойствами этого числа. С не меньшим успехом можно использовать и любое другое. В общем случае, если основание системы счисления равно p, число, записанное в этой системе, можно представить в виде:

N = aipi + ... + a2p2 + a1p1 + a0p0, [1]

причем каждый из коэффициентов-цифр должен быть меньше p.

Пользуясь этой формулой можно легко перевести число из системы счисления с любым основанием в десятеричную.

Пример:

325426 = 3.64 +2.63 + 5.62 + 4.61 + 2.60 = 3.1296 + 2.216 + 5.36 + 4.6 + 2 = 3888 + 432 + 180 + 24 + 2 = 4526

А как выполнить обратный перевод? Для этого нам нужно будет последовательно делить нацело наше число на основание новой системы счисления, запоминая остатки. Пусть нужно перевести число 2000 в восьмеричную систему счисления.

Действуем так:

2000:8=250(ост.0)
250:8=31(ост.2)
31:8=3(ост.7)
3 : 8 = 0 (ост. 3)

Теперь запишем все остатки, не забывая о нулевых, с последнего до первого4:

3720

Это и будет искомое представление.

200010 = 37208.

Контрольные вопросы

  1. Что такое система счисления?

  2. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?

  3. Переведите в десятеричную систему счисления:
    а) 47619; б) 33425; в) 221234; г) 110101002.

  4. Переведите число 199810 в системы счисления с основаниями 2, 3, 8.

Примечания

  1. От лат. Unus -- один

  2. Мы обычно называем такую запись чисел арабской. На самом деле, изобретена она в Индии, но европейцы впервые узнали о ней от арабов

  3. Этим мы, фактически, определили, что 2000 = ((3.8 + 7).8 + 2).8 + 0 или, раскрывая скобки, 3.83 + 7.82 + 2.8 + 0. Сравните этот результат с формулой [1]

6



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Информатика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Двоичная и восьмеричная системы счисления.

Автор: Титкина Елена Александровна

Дата: 21.10.2014

Номер свидетельства: 121006

Похожие файлы

object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(136) "Конспект урока на тему "Перевод чисел из одной системы счисления в другую" "
    ["seo_title"] => string(84) "konspiekt-uroka-na-tiemu-pierievod-chisiel-iz-odnoi-sistiemy-schislieniia-v-drughuiu"
    ["file_id"] => string(6) "141480"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1418131024"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(74) "презентация на тему: "Системы счисления" "
    ["seo_title"] => string(46) "priezientatsiia-na-tiemu-sistiemy-schislieniia"
    ["file_id"] => string(6) "112486"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1408691928"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(243) "Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Перевод  целых чисел из одной системы счисления в другую "."
    ["seo_title"] => string(156) "sistiemy-schislieniia-dvoichnaia-vos-mierichnaia-diesiatichnaia-shiestnadtsatierichnaia-pierievod-tsielykh-chisiel-iz-odnoi-sistiemy-schislieniia-v-drughuiu"
    ["file_id"] => string(6) "269098"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1450767077"
  }
}
object(ArrayObject)#886 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(63) "История чисел и системы счисления "
    ["seo_title"] => string(40) "istoriia-chisiel-i-sistiemy-schislieniia"
    ["file_id"] => string(6) "172047"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1423754979"
  }
}
object(ArrayObject)#864 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(104) "Переводим числа из любой системы счисления в десятичную "
    ["seo_title"] => string(67) "pierievodim-chisla-iz-liuboi-sistiemy-schislieniia-v-diesiatichnuiu"
    ["file_id"] => string(6) "115576"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1412014328"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства