Презентация для работы по информационным технологиям

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті

СТАЦИОНАР ЖЫЛУӨТКІЗГІШТІК ҮШІН ЖЫЛУ КӨЗІН ҚАЛПЫНА КЕЛТІРУДІҢ ҚИСЫНДЫ ЕМЕС ЕСЕБІ

Магистрант: ММКМ-21 тобы, Манарбек Махпал

Ғылыми жетекшісі: ф-м.ғ.д., профессор Муканова Б. Г.

Астана, 2015 жыл

• Жұмыстың өзектілігі: Қисынды емес және кері есептер табиғи және технологиялық құбылыстарды модельдеу кезінде кеңінен таралған болып есептелінеді Стационар диффузияның үрдістері электр, жылу құбылыстарында жиі кездеседі. Анықталғандық үшін біз жылу диффузиясы үшін есепті құрастырамыз, алайда мұндай есептің математикалық моделі өзінің әмбебаптылығының арқасында басқа да құбылыстарға таралуы әбден мүмкін.

• Жұмыстың мақсаты: Цилиндрлік қабаттың қолжетімді емес шекарасында жылуды қайтадан қалпына келтірудің жаңа әдісін сандық жүзеге асыру және осы есепке сәйкес бағдарламалар пакетін әзірлеу.

• Ғылыми жаңалығы: қойылған кері есепті шешудің жаңа әдісінің сандық жүзеге асырылуы.
• Зерттеу әдістері: регуляризация әдісі, Фурье әдісі, квазишешім әдісі, функционалды минимизациялау әдiсі, қарапайым дифференциал теңдеулерді шешу әдістері.
• Күтілетін нәтиже: Қойылған кері есепті шешу үшін сандық тәжірибелердің әдістері және жиынтығы

Диссертация жоспары:

• Есептің қойылымын әзірлеу;
• Тура есепті шешу;
• Өлшенген деректердің синтезін жасау;
• Кері есепті шусыз шығару;
• Кері есепті шумен шығару;
• Тиімді нұсқаны таңдау

ЕСЕПТІҢ ҚОЙЫЛЫМЫ ЖӘНЕ ЕСЕПТЕУ ФОРМУЛАЛАРЫ

• Бұл есеп стационар жылуөткізгіштік үшін белгісіз шарттарды қайта қалпына келтіру есебі болып табылады.

• Бізге бірнеше қабатталған (қабат саны – 1, 2, ..., n) материалдардан тұратын, цилиндр пішінді, радиустары R 1 , R 2 , R 3 , ..., R n әр қабаттың жылуөткізгіштік коэффициенттері сәйкесінше а 1 , а 2 , ..., а n болатын нысан берілсін

Өлшей аламыз:

• Цилиндрдің сыртындағы жылуды u және жылу ағымын u r

Анықтау қажет:

• цилиндрдің ішкі шекарасындағы температураны

q(ϕ)=u(R2,ϕ)

Қабаттың ішіндегі стационар жылуөткізгіштік Лаплас теңдеуімен сипатталады:

Қосымша мәліметтер ретінде сыртқы шекараның жылу ағымы өлшенеді:

Есеп қисынды емес болып саналады

1 Есептің математикалық формулировакасы

• Цилиндрлік қабатта температураның стационарлы таралуы келесі түрдегі теңдеумен сипатталады:

Бастапқы шекаралық шарттары:

Қабаттардың түйіскен жерлерінде жылу ағымдарының физикалық шартын талап етеміз:

Есеп квазишешім әдісі арқылы, дәлірек айтқанда келесі түрдегі үйлесімсіздік функционалының минимизациясы көмегімен шешіледі :

2 Есепті шешу алгоритмі

Цилиндрлік координаталар жүйесінде стационар екі өлшемді жылуөткізгіштік үшін кері есеп функционалының экстремумының қажетті шарттарын қорытып шығарайық.

Вариациялық әдістерге сүйене отырып, үйлесімсіздік функционалы экстремум шарттарын аламыз. Осы есепті шығаруда Лагранж функциясын енгізген тиімді

Лагранжиан вариациясы үшін өрнекті жазайық және түрлендірейік:

Лагранжиан вариациясы үшін өрнек аламыз:  

Тәуелсіз вариацияларды нөлге теңестіре

отырып, функционал мен лагранжиан

бірінші вариацияларының нөлге теңдігінен

келесі теңдікті аламыз

Жоғарыдағы шарттарды біріктіре отырып, тиімділіктің қажетті шарттарын сипаттайтын және үйлесімсіздік функционалының минимумдау есебінің шешімін бере алатын теңдеулер жүйесін аламыз:

Біз жүйе сызықты екендігін көріп отырмыз, сондықтан оны шешу үшін айнымалыларды бөлшектеу әдісін қолданамыз. Ыңғайлы болу үшін Лаплас операторының өздік функциясының ортогональ жүйесі бойынша синустардан тұратын φ айнымалысы арқылы жіктейміз.

p(φ) және Q (φ) функциялары келесі

түрдегі Фурье қатарына жіктелсін:

Жүйенің шешімін келесі тізбектер арқылы іздейміз:  

Жоғарыдағы тізбектерді жүйеге сала отырып, біз функциялары [R 1 ,R 2 ] кесіндісіндегі келесі қарапайым дифференциал теңдеуінің шешімі болуы тиіс

Шекаралық шарттары:

Есепті шешу үшін біріншіден әрбір k үшін Коши есебінің келесі екі есебін U(r), V(r), W(r) қосымша функциялары үшін шешеміз :

Сонда келесі теңдеулер жүйесі шығады:

Анықталмаған коэффициенттердің мәндерін келесі түрде іздейміз

Ыңғайлылық үшін U,V,W функцияларындағы белгілеулерде k индексін алып тастап отырамыз және шекаралық шарттарға қоямыз.

Келесі формула арқылы А және В коэффициенттері оңай анықталады

Яғни цилиндрлік координаталар жүйесіндегі стационар жылуөткізгіштік үшін қарастырылған екі өлшемді кері есепті шешуге мүмкіндік беретін әдіс құрастырылды .

Біз жоғарыда келесі теңдеулер жүйесін келтіргенбіз:

Бастапқы шарттары:

U, V, W мәндерін табамыз

Кері есепті шешу үшін мәліметтерді синтезі

• Диффузия коэффициенті барлық қабаттарда тұрақты болғандағы шешімді қүрастырамыз. Мұндай жағдайда есеп айнымалыларды бөлшектеу әдісімен шығарылады. Ол үшін келесі болжамды енгізу арқылы радиалды құрамдас үшін теңдеуді аламыз:

Сыртқы және іщкі қабатты Фурье қатарына жіктейміз:

Осыдан келесі шекаралық шарттар шығады:

және жылу үздіксіздігі бойынша:

Сонда келесі теңдеулер жүйесі шығады:

Нәтижесінде тізбек суммасы ретінде есептің жуықталған шешімін ала аламыз:

Температуралардың өрісі келесідей болады:

Есептің әр түрлі нұсқасын қарастырамыз. Екінші жағдайда біз цилиндрлік қабаттың радиустарын келесідей өзгертеміз: R 1 =10, R 2 =5, R 3 =1, ал басқа параметрлерін алдыңғы нұсқадағыдай қалдырамыз .

Сыртқы ортаның жылуөткізгіштігі ішкі ортаның жылу өткізгіштігінен жоғары болсын. Нәтижесі:

Сыртқы ортаның температурасын нөлден өзгеше етіп қарастырамыз :

Функциялардың әр түрлі нұсқаларын қарастырамыз.

Кері есепті шешу үшін жасанды (синтетикалық) деректерді есептеу

Жалпы формуласы :

Цилиндр сыртындағы жылу ағымын өлшеу нәтижелері

ЦИЛИНДРЛІК КООРДИНАТАЛАРДА КЕРІ ЕСЕПТІ САНДЫҚ ШЕШУ

Бірінші қабаттағы жылу көзін қалпына келтіру:

Екінші қабаттағы жылу көзін қалпына келтіру:

Әр түрлі регуляризация параметрлері β үшін келтіреміз

Шу және оның әсері

Кері есепті шумен қоса шығару әдісі

•  
• Есептің қойылымы келесідей болсын: цилиндрлік қабаттың радиустары сәйкесінше R 1 =5, R 2 =3, R 3 =2 , ал жылуөткізгіштік коэффициенттері a 1 =2, a 2 =1,5 болсын. Сыртқы ортадағы температура Q(φ) , жылу ағымы p(φ) . Шудың мөлшерін γ=1-50% аралығында береміз.
• Бірінші және екінші қабаттардағы жылуды қалпына келтіру келесідей жүзеге асырылады

• β=1·10 -15 , γ=5% болғандағы әр түрлі функцияларды қалпына келтіру түрлерін ұсынамыз. Мысал ретінде q(φ)=sin2φ, q(φ)=cos(3φ+4), q(φ)=5sin(4/3cosφ), q(φ)=7cos(5/2sin2φ) қарастырайық.

• β=1·10 -15 , γ=5% болғандағы әр түрлі функцияларды қалпына келтіру түрлерін ұсынамыз. Мысал ретінде q(φ)=sin2φ, q(φ)=cos(3φ+4), q(φ)=5sin(4/3cosφ), q(φ)=7cos(5/2sin2φ) қарастырайық.

ҚОРЫТЫНДЫ

• Ұсынылып отырылған диссертациялық жұмыста цилиндрлік қабаттың қолжетімді емес шекарасында жылу ағымын қайтадан қалпына келтірудің жаңа әдісін сандық жүзеге асырлуын бейнеледік және есепке сәйкес бағдарламалар пакетін әзірледік.

ЕСЕПТЕУ НӘТИЖЕЛЕРІ

• Сандық есептеулердің көрсетілуі бойынша регуляризация параметрі аз болған сайын функцияны қалпына келтіру жоғары дәлдікте орындалады. β=0 болғандағыға қарағанда, β=10 -10 …10 -15 мәндерінде функция жақсы қалпына келтіріледі. Ал ең тиімді регуляризация параметрі β=10 -15 кезінде байқалды Сонымен бірге, есептің сәтті шешілуі функцияның өзіне де байланысты .

ЕСЕПТЕУ НӘТИЖЕЛЕРІ

• Қарапайым, біртекті, үздіксіз периодты функциялар үздікті, осциллирденетін функцияларға қарағанда қалпына келтіру жоғары дәлдікпен орындалады. Сонымен қатар, қабаттардың радиустары, жылуөткізгіштік қасиеттері де есептің шешуіне көп әсер етеді. Мұнда ескеретін бір жайт, радиустар және жылуөткізгіштік коэффициенттер арасындағы айырмашылық көп болмау керек.

ЕСЕПТЕУ НӘТИЖЕЛЕРІ

• Шу да есептің шешуіне көп әсер етеді. Кері және қисынды есептерде қосымша мәлімет ретінде өлшенген деректер жүреді. Әрине, шу болмаған жағдайда функция идеалды қалпына келтірілсе, ал шудың 20%-дан артық мөлшерінде функцияны нақты қалпына келтіру сапасы бірнеше есеге төмендейді. Сандық есептеулердің нәтижесі бойынша, шу мөлшері 5% құрағанда бастапқы функция жақсы қалпына келтіріледі.

НАЗАРЛАРЫҢЫЗҒА РАХМЕТ!!!