Основы логики и логические основы компьютера

Основы логики и логические основы компьютера

Содержание

• 1 урок
• 2 урок
• 3 урок
• 4 урок

Логика —древняя наука. Ее название происходит от древнегреческого многозначного слова «логос» — мысль, речь, слово, понятие, разум.

Древние философы пытались найти ответ на вопрос, как и по каким законам мыслит человек, какими путями мышления можно прийти к истине в рассуждениях о событиях и явлениях окружающего мира.

По дошедшим до нас рукописям Аристотеля считают, что именно он явился основоположником логики как науки. В логике Аристотеля сформированы логические категории «понятие», «суждение», «умозаключение», законы логики, метод дедукции, понятие гипотезы. Логика Аристотеля — это так называемая классическая, формальная логика.

Логика - наука, изучающая законы и формы мышления , способы рассуждений и доказательства

Аристотель

1 урок

Логика – это наука о формах и способах мышления

Основные формы мышления

понятие

высказывание

умозаключение

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Понятие имеет две стороны

содержание

объем

Совокупность существенных признаков объекта

Совокупность предметов, на которую понятие распространяется

Понятие – Персональный компьютер

Содержание понятия:

Персональный компьютер – это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для пользователя.

Объем понятия:

Персональный компьютер выражает всю совокупность существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров

Высказывание

Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением.

Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается.

Высказывание может быть истинным или ложным

Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности.

Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна.

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

1; Н 2 О + S Оз = H 2 SO 4 . Здесь используются языки математических символов и химических формул." width="640"

Вопросительные и побудительные предложения не являются высказываниями, так как в них ничего не утверждается и не отрицается.

Примеры предложений, не являющихся высказываниями:

«Кто не хочет быть счастливым?»;

«Не пейте сырую воду!»;

«Мой друг! Отчизне посвятим души прекрасные порывы!».

Высказывания могут быть и такими:

2 1;

Н 2 О + S Оз = H 2 SO 4 .

Здесь используются языки математических символов и химических формул.

Из простых высказываний можно получить сложное высказывание , объединив их с помощью логических связок .

Логические связки — это слова, которые подразумевают определенные логические связи между высказываниями.

Для связок введена специальная терминология:

Логические связки и кванторы

Название логических связок и кванторов

...и...

Конъюнкция

...или...

Дизъюнкция

...либо... либо...

Если..., то...

Строгая дизъюнкция

Импликация

Неверно, что...; не

Отрицание

Тогда и только тогда, когда...

Эквиваленция

Все; всякий; каждый

Квантор общности

Некоторые...; существуют...

Квантор существования

Конъюнкция

Пример высказывания:

«Закончились лекции, и студенты пошли домой».

Здесь союз «и» является конъюнктивной связкой двух простых высказываний, при этом сложное высказывание истинно, только если одновременно истинны оба входящие в него простые высказывания.

Дизъюнкция

Пример высказывания:

«В природе бывает, что солнце при дожде светит или прячется в тучах».

В этом высказывании связка «или» реализует дизъюнкцию, при этом сложное высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний, в том числе если истинны сразу оба высказывания.

Строгая дизъюнкция

Пример высказывания:

«В этом году летом мы либо поедем к морю, либо будем жить на даче».

Связка «либо ... либо» реализует строгую дизъюнкцию, при этом сложное высказывание истинно, только если одно из простых высказываний истинно, но не оба сразу.

Менее явно строгая дизъюнкция может быть выражена связкой «или», например: «Сейчас Сергей находится в институте или дома».

Импликация

Пример высказывания:

«Если будет хорошая погода, то мы пойдем в лес».

Здесь связка «если...то» реализует импликацию, при этом первую часть высказывания — «Если будет хорошая погода» — называют условием, а вторую — «мы пойдем в лес» — заключением.

Высказывание такого типа ложно только в одном случае — если истинно условие и ложно заключение.

Отрицание (инверсия).

Примеры высказываний:

«Неверно, что 2-2 = 5»;

«Завтра мы не пойдем на улицу».

В этих примерах отрицание высказываний реализуется связками «неверно, что..» и «не».

Данное высказывание истинно, когда его отрицание ложно и наоборот.

Эквиваленция

Пример высказывания:

«Я куплю радиоприемник тогда и только тогда, когда получу премию».

В этом примере связка «...тогда и только тогда... когда...» помогает выразить взаим­ную обусловленность событий.

Данное сложное высказывание будет истинным, когда простые высказывания либо оба истинны, либо оба ложны.

Квантор общности

Пример высказывания:

«Все красные мухоморы ядовиты».

Здесь «все» — кванторное слово.

Квантор существования

Примеры высказываний:

«Некоторые люди имеют высшее образование»;

«Существуют люди с голубыми глазами».

В этих примерах кванторные слова — «некоторые», «существуют».

Умозаключение

это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение)

1 THEN Y=0" width="640"

Задание 1.

В правый столбец таблицы впишите слово «да», если это высказывание, и «нет» — в противном случае:

Предложение

Ответ на вопрос «Это

высказывание?»

Луна — спутник Земли.

Все ученики нашей школы любят математику.

Принеси мне книгу.

Некоторые люди имеют голубые глаза.

Вы были в театре?

Завтра я не пойду на каток.

Мойте руки перед едой.

Если будет дождь, то мы поедем за грибами.

Завтра я либо сдам экзамен, либо останусь на второй год.

Существуют такие люди, которые не любят животных.

Если я поеду туда, то смогу ли вернуться?

IF X1 THEN Y=0

1 THEN Y=0 Да" width="640"

Проверим

Предложение

Ответ на вопрос «Это

высказывание?»

Луна — спутник Земли.

Да

Все ученики нашей школы любят математику.

Да

Принеси мне книгу.

Нет

Некоторые люди имеют голубые глаза.

Да

Вы были в театре?

Завтра я не пойду на каток.

Нет

Да

Мойте руки перед едой.

Нет

Если будет дождь, то мы поедем за грибами.

Да

Завтра я либо сдам экзамен, либо останусь на второй год.

Существуют такие люди, которые не любят животных.

Да

Если я поеду туда, то смогу ли вернуться?

Да

Нет

IF X1 THEN Y=0

Да

х + с + 0,1а Число 3 больше числа 2. Тогда и только тогда, когда я вижу вас, у меня нет слов, чтобы высказать вам все. Завтра премьера в нашем театре. Это число не простое. Когда горит свет — это означает надежду. Если смешать эти растворы, то получится токсичное вещество. Сегодня, завтра и каждый день я буду учиться. Вчера или сегодня или через три дня он позвонит." width="640"

Задание 2.

Укажите для нижеприведенных высказываний, сложные они или простые:

Высказывание

Тип высказывания

Если две прямые параллельны, то они пересекаются.

Идет дождь.

Все мышки серые, кошки тоже бывают серые.

На следующем уроке будет либо контрольная, либо свободный урок.

Завтра или сегодня брат приедет к нам в гости.

Треугольники с равными сторонами не равнобедренны.

7+хх + с + 0,1а

Число 3 больше числа 2.

Тогда и только тогда, когда я вижу вас, у меня нет слов, чтобы высказать вам все.

Завтра премьера в нашем театре.

Это число не простое.

Когда горит свет — это означает надежду.

Если смешать эти растворы, то получится токсичное вещество.

Сегодня, завтра и каждый день я буду учиться.

Вчера или сегодня или через три дня он позвонит.

х + с + 0,1а Число 3 больше числа 2. Сложное Тогда и только тогда, когда я вижу вас, у меня нет слов, чтобы высказать вам все. Простое Сложное Завтра премьера в нашем театре. Простое Это число не простое. Сложное Когда горит свет — это означает надежду. Сложное Если смешать эти растворы, то получится токсичное вещество. Сложное Сегодня, завтра и каждый день я буду учиться. Сложное Вчера или сегодня или через три дня он позвонит. Сложное" width="640"

Проверим:

Высказывание

Если две прямые параллельны, то они пересекаются.

Тип высказывания

Идет дождь.

Сложное

Простое

Все мышки серые, кошки тоже бывают серые.

Простое

На следующем уроке будет либо контрольная, либо свободный урок.

Сложное

Завтра или сегодня брат приедет к нам в гости.

Сложное

Треугольники с равными сторонами не равнобедренны.

Сложное

7+хх + с + 0,1а

Число 3 больше числа 2.

Сложное

Тогда и только тогда, когда я вижу вас, у меня нет слов, чтобы высказать вам все.

Простое

Сложное

Завтра премьера в нашем театре.

Простое

Это число не простое.

Сложное

Когда горит свет — это означает надежду.

Сложное

Если смешать эти растворы, то получится токсичное вещество.

Сложное

Сегодня, завтра и каждый день я буду учиться.

Сложное

Вчера или сегодня или через три дня он позвонит.

Сложное

Задание 3.

Укажите в нижеприведенных сложных высказываниях связующие слова или союзы и наименование связки:

Высказывание

Связка

Если свет горит, то электроэнергия поступает.

Всякий прямоугольник имеет прямые углы и параллельные друг другу стороны.

Если будет хорошая погода, то вы поедете туда.

Треугольники с равными сторонами не являются равнобедренными.

На следующем уроке будет либо история, либо химия.

Завтра я пойду в школу и в библиотеку.

Либо он заболел, либо забыл о нашей договоренности.

Я поеду в горы тогда и только тогда, когда куплю горные лыжи и ботинки.

Неверно, что Саша приходил вчера ко мне.

Зимой мы обычно ходим на лыжах или катаемся на коньках на нашем пруду.

Треугольник считают равносторонним тогда и только тогда, когда все его стороны равны.

Высказывание

Связка

Если свет горит, то электроэнергия поступает.

Если... то... (импликация)

Всякий прямоугольник имеет прямые углы и параллельные друг другу стороны.

...и... (конъюнкция)

Если будет хорошая погода, то вы поедете туда.

Если... то... (импликация)

Треугольники с равными сторонами не являются равнобедренными.

...не... (отрицание)

На следующем уроке будет либо история, либо химия.

Завтра я пойду в школу и в библиотеку.

Либо... либо... (строгая дизъюнкция)

...и... (конъюнкция)

Либо он заболел, либо забыл о нашей договоренности.

Я поеду в горы тогда и только тогда, когда куплю горные лыжи и ботинки.

Либо... либо... (строгая дизъюнкция)

Неверно, что Саша приходил вчера ко мне.

Тогда и только тогда... когда... (эквиваленция)

Неверно, что... (отрицание)

Зимой мы обычно ходим на лыжах или катаемся на коньках на нашем пруду.

Треугольник считают равносторонним тогда и только тогда, ког­да все его стороны равны.

...или... (дизъюнкция)

Тогда и только тогда... когда... (эквиваленция)

Задание 4.

Составьте несколько сложных высказываний, используя нижеприведенные простые высказывания и логические связки.

Завтра будет хорошая погода.

Мы хотим пойти за грибами.

Сергей приглашает нас на рыбалку.

Сергей приглашает нас купаться.

2-2 = 5.

Н 2 О = водород + кислород.

Я видел Мишу в школе.

Он скоро окончит институт.

Он будет учиться в аспирантуре.

Завтра будет холодно.

Завтра будет снег.

Завтра будет тепло.

2 урок

Алгебра высказываний

Логические величины, операции, выражения.

Логические величины: понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ ( true, false).

Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины.

Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ

Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина

Логическое выражение – простое или сложное высказывание.

Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).

Логические операции

1. Конъюнкция (логическое умножение).

В русском языке выражается союзом И . В математической логике используются знаки & или ^ .

Конъюнкция – двухместная операция; записывается в виде: A ^ B .

Значение такого выражения будет ЛОЖЬ , если хотя бы значение одного из операндов ложно.

Число 6 делится на 2 , и число 6 делится на 3 .

Суффикс есть часть слова , и он стоит после корня.

2. Дизъюнкция (логическое сложение).

В русском языке она выражается союзом или .

В математической логике она обозначается знаком V .

Дизъюнкция – двухместная операция; записывается в виде A v B .

Значение такого выражения будет ИСТИНА , если значение хотя бы одного из операндов истинно.

Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку.

По информатике у меня выходит оценка 4 или выходит оценка 5.

3. Отрицание ( инверсия).

В русском языке этой связке соответствует частица НЕ.

Отрицание – одноместная (унарная) операция, записывается в виде: ¬ А или Ā

Неверно, что 4 делится на 3.

Не все книги содержат полезную информацию.

Импликация

Условное высказывание.

В русском языке: если … , то; когда … , тогда;

Коль скоро … , то

Выражение, начинающееся после союзов если, когда, коль скоро , называется основанием условного высказывания.

Выражение, стоящее после слов то, тогда , называется следствием.

В логических формулах операция импликации обозначается знаком

Импликация – двухместная операция, записывается так:

А В

Эквивалентность

В русском языке – союзы если и только если; тогда и только тогда, когда

Эквивалентность обозначается знаком

или

Логическая формула (логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций.

Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ .

• Для определения истинности и ложности составного высказывания (логического выражения) при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных) можно построить таблицу истинности.

Таблицы истинности

1. Таблица истинности функции логического умножения (конъюнкция)

А

В

0

F=A & B

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

Значение сложного высказывания будет ЛОЖЬ (0) , если хотя бы значение одного из высказываний ложно.

2. Таблица истинности функции логического сложения (дизъюнкция)

A

B

0

0

F=A v B

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

Значение сложного высказывания будет ИСТИНА , если значение хотя бы одного из высказываний истинно.

3. Таблица истинности функции логического отрицания

A

F = Ā

0

1

1

0

Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным, а ложное высказывание – истинным.

Таблица истинности 4. Импликация

А

В

1

А В

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

Таблица истинности 5. Эквивалентность

А

В

1

А Ξ В

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

3 урок Логические схемы и логические выражения

Рассмотрим логические схемы для трех основных логических операций: конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

Логические основы устройства компьютера

1. Конъюнкция.

1

И

0

0

1. Конъюнкция.

0

И

0

1

1. Конъюнкция.

1

И

1

1

1. Конъюнкция.

0

И

0

0

2. Дизъюнкция

1

ИЛИ

1

0

2. Дизъюнкция

0

ИЛИ

1

1

2. Дизъюнкция

1

ИЛИ

1

1

2. Дизъюнкция

0

ИЛИ

0

0

3. Отрицание

не

0

1

3. Отрицание

не

0

1

Составить логическую схему для логического выражения

1 или 0 и 1

0

0

И

ИЛИ

1

1

1

не (1 и (0 или 1) и 1)

1

0

или

и

1

и

1

1

0

не

1

1

Импликация и эквивалентность

4 урок

Практическая работа

Используя связку «Если…, то…», измените высказывание:

• Закончил дело – гуляй смело.
• Знакомая дорога – самая короткая.
• Тише едешь – дальше будешь.
• Переходи улицу только на зеленый свет.
• При встрече люди приветствуют друг друга.
• В високосном году 366 дней.
• Когда темнеет, зажигают фонари.
• По стройке необходимо ходить в каске.

Порядок логических операций по убыванию старшинства

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность