Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления (речи ) от его содержания.
Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Мышление всегда осуществляется в каких-то формах.
Основными формами мышления являются :
ПОНЯТИЕ
ВЫСКАЗЫВАНИЕ
УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
Например, понятие «компьютер»объединяет множество электронных устройств, которые предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой. Даже по этому короткому описанию компьютер трудно спутать с другими объектами, например механизмами, служащими для перемещения по дорогам и хранящимися в гаражах, которые объединяютсяпонятием «автомобиль».
содержание
Объем
высказывание на естественном языкевысказывание на формальном языке.
истинное высказывание- ложное высказывание
Например, если мы имеем суждение « Все углы треугольника равны», то мы можем путем умозаключения доказать, что в этом случае справедливо суждение «Этот треугольник равносторонний ». Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения.
Какие существуют основные формы мышления?
В чем состоит разница между содержанием и объемом понятия?
Может ли высказывание выражено в форме вопросительного предложения?
Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита.
Рассмотрим два простых высказывания.
Высказывания могут быть истинными или ложными. Истинному высказыванию соответствует значение логической переменной 1, а ложному – значение 0.
ДИЗЪЮНКЦИЯ
КОНЪЮНКЦИЯ
ИНВЕРСИЯ
ИМПЛИКАЦИЯ
ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
· в естественном языке соответствует союзу и ;
· в алгебре высказываний обозначение & ;
· в языках программирования обозначение And .
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
А&В
В
А
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств , т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
ИСТИНА» ? «ЛОЖЬ»?
Фигура желтого цвета –истина
Фигура зеленого цвета – ложь.
в естественном языке соответствует союзу или ;
обозначение ;
в языках программирования обозначение Or .
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.
Таблица истинности
Диаграмма Эйлера-Венна
А В
В
А
В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств , т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А , либо множеству В .
«ИСТИНА» ? «ЛОЖЬ»?
Фигура желтого цвета –истина
Фигура зеленого цвета – ложь.
в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не ;
обозначение Ā ;
в языках программирования обозначение Not ;
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное –истинным.
Диаграмма Эйлера-Венна
Таблица истинности
В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества , т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество , дополняющее его до универсального множества.
A
Ā
в естественном языке соответствует обороту если ..., то ... ;
· обозначение .
Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
«Если выглядит солнце, то станет тепло»
АВ
А В
В
А
· в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда;в том и только в том случае ;
· обозначения , ~ .
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Таблица истинности эквиваленции:
Пример :«Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел».
А В
А
В
А В
Пример№ 1
Высказывание : С= «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку».
А =«летом я поеду в деревню»
В = «летом я поеду в туристическую поездку»
Тогда С = А V В.
Пример № 2
С =«Неверно,что 4 делится на 3»
А= «4 делится на 3»
С =Ā
Пример №3.
Вычислить значение логической формулы:
К =ĀиВилиАиС ,
где А=ложь, В = истина, С=истина
К = Ā&ВvА&С= 1 & 1 v 0 & 1 = 1 (истина).
логических выражений
Запишите высказывания с помощью символов логики высказываний, обозначив простые высказывания P, Q , M , N , L , S , T
Водород бесцветен и не имеет запаха, тогда и только тогда, когда 7х7 = 49 и яблоко – фрукт.
Прозрачный лес один чернеет, И ель сквозь иней зеленеет, И речка подо льдом блестит.
(А.С.Пушкин)
3. В свободное время я люблю играть в волейбол или в шахматы.
Определение: Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности составного высказывания.
Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.
Алгоритм построения таблицы истинности:
1) подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2) определить число строк в таблице, которое равно m = 2 n ;
3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;
4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
