Двоичная система счисления. Двоичная арифметика

Двоичная система счисления 10 класс Автор: Муханова Л.А.

Двоичная

арифметика

Вспомним известное…

Система счисления – это правила записи чисел с помощью специальных знаков – цифр , а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.

Позиционная система : значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Алфавит системы счисления – это используемый в ней набор цифр.

Основание системы счисления – это количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Непозиционные системы счисления

Непозиционная система счисления — это такая система, в которой значение цифры не зависит от её места (позиции) в записи числа.

Примеры:

• унарная
• римская
• славянская
• и другие…

Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

• только натуральные числа
• запись больших чисел –

длинная (1 000 000?)

Римская система счисления

Правила:

• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)
• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
• если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)

Примеры:

MC X L I V = 1000 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1144

MC X L I V =

I – 1

V – 5

X – 10

L – 50

C – 100

D – 500

M – 1000

2279 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CC

IX

LXX

2389 = M M C C L X X I X

Римская система счисления

MCDLXVII =

3768 =

MMDCXLIV =

2983 =

MMMCCLXXII =

1452 =

CMXXVIII =

1999 =

Двоичная система счисления

Основание (количество цифр): 2

Алфавит: 0, 1

Вся информация в компьютере представлена в виде двоичного кода .

Компьютер переводит информацию (числовую, текстовую, графическую, звуковую, видео) в последовательность нулей и единиц.

То есть в компьютерах используется двоичная система счисления (СС).

Перевод из десятичной в двоичную

1-ый способ (путём деления десятичного числа на 2)

• Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.
• Записать полученные остатки в обратной последовательности.

Перевод из десятичной в двоичную

2-ой способ (с использованием степенного ряда числа 2)

• Число разбивается на составные числа, взятые из степенного ряда двойки.

55

1024

2 10

512

2 9

256

128

2 8

2 7

64

2 6

32

2 5

16

2 4

8

2 3

4

2 2

2

1

2 1

2 0

2 . Присутствие числа записывается 1, отсутствие – 0

73 10 = 64 + 8 + 1 = 1001001 2

Определения

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией

в записи числа .

развёрнутая форма записи числа

тысячи сотни десятки единицы

разряды

3 2 1 0

6 3 7 5

= 6 · 10 3 + 3· 10 2 + 7· 10 1 + 5· 10 0

основание

6000

300

5

70

Схема Горнера: 6 3 7 5 = ((6  10 + 3)  10 + 7)  10 + 5

Плюсы схемы:

• для вычислений не нужно использовать возведение в степень; удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой.
• для вычислений не нужно использовать возведение в степень;
• удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой.

Перевод в десятичную систему

Через развёрнутую запись:

=1

разряды : 3 2 1 0

1234 5 = 1  5 3 + 2  5 2 + 3  5 1 + 4  5 0 = 194

основание системы счисления

разряды : 3 2 1 0

a 3 a 2 a 1 a 0 = a 3  p 3 + a 2  p 2 + a 1  p 1 + a 0  p 0

Через схему Горнера:

1234 5 = ((1  5 + 2)  5 + 3)  5 + 4 = 194

a 3 a 2 a 1 a 0 = (( a 3  p + a 2 )  p + a 1 )  p + a 0

Перевод в десятичную систему

В двоичной СС основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1 .

=1

1011 2 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Вернемся к нашему примеру и запишем число 110111

через развернутую форму :

разряды 6 5 4 3 2 1 0

1001001 2 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 +

+ 1 * 2 0 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 64 + 8 + 1 = 73 10

Дробные числа

0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 + 7·0,001 + 5·0,0001

Развёрнутая форма записи :

разряды : -1 -2 -3 -4

0, 6 3 7 5 = 6·10 -1 + 3·10 -2 + 7·10 -3 + 5·10 -4

0, 1 2 3 4 5 = 1· 5 -1 + 2· 5 -2 + 3· 5 -3 + 4· 5 -4

перевод в десятичную систему

Схема Горнера :

0, 6375 = 10 -1 ·(6 + 10 -1 ·(3 + 10 -1 ·(7 + 10 -1 ·5)))

0,1234 5 = 5 -1 ·(1 + 5 -1 ·(2 + 5 -1 ·(3 + 5 -1 ·4)))

перевод в десятичную систему

Примеры для самостоятельного решения и закрепления изученного материала .

Перевести числа из десятичной СС в двоичную

50 10 → ? 2

85 10 → ? 2

174 10 → ? 2

Перевести числа из двоичной СС в десятичную

101110 2 → ? 10

1010101 2 → ? 10

11100011 2 → ? 10

Арифметические операции

сложение

вычитание

0-0=0 1-1=0

1-0=1 1 0 2 -1=1

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1= 1 0 2

1 + 1 + 1 = 1 1 2

перенос

заём





1

1

1

1

1

0 1 1 10 2

0 10 2

1 0 1 1 0 2

+ 1 1 1 0 1 1 2

1 0 0 0 1 0 1 2

– 1 1 0 1 1 2

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

2

2

Арифметические операции

101101 2

10111 2

+ 11111 2

+101110 2

101101 2

110101 2

– 11011 2

– 11111 2

14

Арифметические операции

умножение

деление

1 0 1 0 1 2

 1 0 1 2

1 1 1 2

1 0 1 0 1 2

– 1 1 1 2

1

1

2

1 0 1 0 1 2

+ 1 0 1 0 1 2

1 1 1 2

– 1 1 1 2

0

1 1 0 1 0 0 1 2

16