kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

"Теорема Пифагора"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Конспект урока по теме "Теорема Пифагора". Данный конспект состоит из конспектов 3 уроков

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«"Теорема Пифагора"»

Урок №________ Дата___________

Класс: 8

Предмет: Геометрия

Общая тема: Теорема Пифагора

Автор учебника и УМК: Л.С. Атанасян и др.

Тема урока: Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора. Решение задач по теме «Теорема Пифагора»(3ч).

Цели и задачи 1 урока.

Обучающие: создать условия для усвоения теоремы Пифагора, привить навыки вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум известным, научить применять теорему Пифагора к решению простейших задач.

Развивающие: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, расширение кругозора.

Воспитательные: воспитывать умение работать самостоятельно.

Тип урока: изучение нового материала.

Педагогическая технология: элементы ТИО (технология индивидуального обучения).

Форма организации урока: самостоятельная работа учащихся.

Проект 1 урока

Этап урока

время

Деятельность учителя

Деятельность учащихся


1

Оргмомент.


1мин

Знакомит с девизом урока, создает доброжелательную атмосферу в классе

Приветствуют учителя, проверяют готовность к уроку

2

Повторение основных понятий

5мин

Предлагает ответить на вопросы, проверить и оценить ответы

Отвечают на вопросы, проверяют, оценивают

3

Введение в тему

1мин

Объявляет тему и цели урока

Ставят перед собой цель: достичь той оценки, какую желают получить

4

Самостоятельная работа с разноуровневыми заданиями и карточками

35мин

Раздает карточки,

консультирует учащихся, проверяет задания, оказывает индивидуальную помощь

Выполняют индивидуальные задания по карточкам, отмечают свои достижения на «карте успеха»

5

Итоги урока. Рефлексия.

2мин

Подводит итоги, анализирует таблицу

Оценивают свои собственные достижения, сравнивают результат таблицы с предполагаемым результатом

7

Домашнее задание

1мин

Дает задание

Записывают домашнее задание по желанию



Ход 1 урока

  1. Целеполагание.

— Ребята, урок я начну с высказывания:

Геометрия обладает двумя великими сокровищами. 
Первое - это теорема Пифагора, которую можно
сравнить с мерой золота… Кеплер.

  1. Повторение основных понятий.

  1. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов____________

  2. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна______

  3. Стороны, образующие прямой угол, называются_____________

  4. Сторона, лежащая против прямого угла, называется_______________

  5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза_________катета

  6. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен___________________________________________

  7. Площадь прямоугольного треугольника равна:______________________(формула)

(Учащиеся проверяют друг у друга, оценивают)

  1. Введение в тему «Теорема Пифагора» (презентация).

— Сегодня на уроке мы приступаем к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем.

Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором (IV в. до н. э.)- но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

  1. Самостоятельная работа (с разноуровневыми заданиями и карточками).

— А сейчас работаем по карточкам (приложение). Первая карточка – ответить на вопросы, ответы можно найти в памятке и учебнике на стр.130.

  1. Итоги урока. Рефлексия.

— Подведем итоги, выведем оценки по результатам таблицы. Сравните ваши результаты с предполагаемой оценкой.

  1. Домашнее задание.

—По желанию учащихся - доказать теорему Пифагора (смотри учебник стр.130), приготовить сообщение о Пифагоре и его теореме.

Дидактические материалы к уроку:

Приложение (распечатано на карточках)

Задания на «3»:

  1. Работа с учебником:

  • Начертите прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С.

  • Запишите словесную формулировку теоремы.

  • Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами AC , BC и гипотенузой AB?

  • Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами а, b и гипотенузой с?

  • Почему теорема называется теоремой Пифагора?

  • Кто такой Пифагор?

  1. Перескажите учителю формулировку теоремы.

Задания на «4»:

Вариант 1


Вариант 2

a

b

c


a

b

c

6

8

?

5

12

?

1

1

?

3

3

?

?

12

15

8

?

17

12

?

20

?

7

9


Вариант 3

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

а = 7см; b = 3 см. Найдите длину гипотенузы с.

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

а = 5 см; b = 9 см. Найдите длину гипотенузы с.

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

а = 10см; с = 17 см. Найдите длину катета b.

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

с = 60 см; b = 30 см. Найдите длину катета а.

Вариант 4

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

а = 4 см; b = 1 см. Найдите длину гипотенузы с.

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

а = 5 см; b = 8 см. Найдите длину гипотенузы с.

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

а = 8 см; с = 18 см. Найдите длину катета b.

  1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом С:

с = 70 см; b = 20 см. Найдите длину катета а.


Задания на «5»

Вариант 5

  1. В прямоугольном треугольнике MON с прямым углом O:

MO = 20 см; NO = 30 см. Найдите длину MN.

  1. Найдите длину диагонали прямоугольника со сторонами 16 см и 9 см.

  2. Найдите длину стороны ромба с диагоналями 14 см и 28 см.

  3. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника с основанием 20 см и высотой к этому основанию 7 см.

Вариант 6

  1. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С:

АС = 16 см; ВС = 18 см. Найдите длину АВ.

  1. Найдите длину диагонали прямоугольника со сторонами 15 см и 8 см.

  2. Найдите длину стороны ромба с диагоналями 16 см и 30 см.

  3. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника с основанием 22 см и высотой к этому основанию 6 см.



Цели и задачи 2 урока.

Обучающие: рассмотреть теорему, обратную теореме Пифагора и показать ее применение в процессе решения задач; закрепить теорему Пифагора и совершенствовать навыки решения задач на ее применение.

Развивающие: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, расширение кругозора. Воспитательные: воспитывать умение работать самостоятельно.

Тип урока: изучение нового материала.

Педагогическая технология: элементы ТИО (технология индивидуального обучения).

Форма организации урока: самостоятельная работа учащихся.

Ход 2 урока

  1. Целеполагание.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим

И таким простым путем

К результату мы придём.

— О каком треугольнике говорится в стихотворении? Как связаны между собой стороны этого треугольника?

  1. Математический диктант.

Сформулируйте утверждения, обратные данным и выясните верны ли они:

  1. Сумма смежных углов равна 180°. Обратное утверждение: Если сумма двух углов равна 180°, то это…____

  2. Вертикальные углы равны. Обратное утверждение: Если два угла равны, то это…

  3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Обратное утверждение: Если диагонали четырехугольника равны, то этот четырехугольник…

  4. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обратное утверждение: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник…

  5. Будет ли верным утверждение обратное теореме Пифагора?

(Учащиеся проверяют друг у друга, оценивают).

  1. Введение в тему « Теорема, обратная теореме Пифагора».

— Причина популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

— Мы переходим к уроку, на котором познакомимся с теоремой, обратной теореме Пифагора и ее применением при решении задач.

  1. Самостоятельная работа (с разноуровневыми заданиями и карточками).

— А сейчас работаем по карточкам (приложение).

Первая карточка – ответить на вопросы, используя памятку и учебник на стр.131.

  1. Итоги урока. Рефлексия.

— Подведем итоги, выведем оценки по результатам таблицы. Сравните ваши результаты с предполагаемой оценкой.

  1. Домашнее задание.

—По желанию учащихся - карточки или задания в рабочей тетради.

Дидактические материалы к уроку:

Приложение (распечатано на карточках)

Задания на «3»:

  1. Работа с учебником:

    • Запишите утверждение, которое называют теоремой, обратной теореме Пифагора.

    • Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите пример.

    • Какой треугольник называется египетским?

  1. Практическая часть:

ПРИМЕР 1. Дано:  АВС, АВ = 5; АС = 4; ВС = 3. Выяснить, является ли он прямоугольным?

РЕШЕНИЕ: Гипотенуза больше любого из катетов, значит, в данном примере – гипотенузой может быть AB = 5. Тогда, по теореме Пифагора: AB² = АС² + BC². Подставим, проверим: 5² = 4² + 3², 25 = 25. Вывод:  АВС – прямоугольный.

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами а) 8, 15, 17? б) 5; 12; 13? в) 7; 24; 25?

Задания на «4»:

Карточка 1.

  1. Выяснить является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 11, 9, 13.

  2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 7 см, а гипотенуза 9 см. Найти другой катет.

Карточка 2.

1. Выяснить является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 10, 24, 26.

2. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5м и 6м.

Задания на «5»:

Карточка 3.

  1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.

  2. Является ли треугольник прямоугольным, если длины его сторон равны 9, 12 и 15.

Карточка 4.

  1. Найти высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6м.

  2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны 7, 14, 15.


Цели и задачи 3 урока.

Обучающие: закрепить теорему Пифагора и теорему обратную теореме Пифагора; совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы Пифагора и теоремы обратной теореме Пифагора.

Развивающие: способствовать развитию способности к сопоставлению, наблюдательности, внимания, расширение кругозора.

Воспитательные: воспитывать умение работать самостоятельно.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Педагогическая технология: элементы ТИО (технология индивидуального обучения).

Форма организации урока: самостоятельная работа учащихся.

Ход 3 урока

  1. Целеполагание.

— Дорогие ребята! Девиз нашего урока - одна из заповедей Пифагора: «Никогда не делай того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь». — Сегодня на уроке будем учиться применять теорему Пифагора и обратную ей теорему при решении геометрических задач.

  1. Устная разминка «вопрос – ответ» (презентация).

  1. Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (угол)

  2. Угол, градусная мера которого равна 90° (прямой)

  3. Треугольник, один из углов которого равен 90° (прямоугольный)

  4. Сторона, лежащая напротив прямого угла треугольника (гипотенуза)

  5. Меньшая сторона прямоугольного треугольника (катет)

  6. Отрезок перпендикуляра, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону (высота)

  7. Треугольник, у которого две стороны равны (равнобедренный)

  8. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (египетский).

  9. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен…(сумме квадратов катетов).

  10. Решите устно задачу по рисунку 1.

(Учащиеся проверяют друг у друга, оценивают).

  1. Самостоятельная работа (с разноуровневыми заданиями и карточками).

— А сейчас продолжаем работать по карточкам (приложение 1).

  1. Итоги урока. Рефлексия.

— Подведем итоги, выведем оценки по результатам таблицы. Сравните ваши результаты с предполагаемой оценкой.

  1. Домашнее задание.

—По желанию учащихся - карточки или задания в рабочей тетради.

Дидактические материалы к уроку:

Приложение 1 (распечатано на карточках)

Задания на «3»:

Вариант 1.

A B





D C

  1. Найдите длину диагонали AC прямоугольника ABCD со сторонами

AB =17см и BC =11см.

  1. Найдите длину стороны AB прямоугольника ABCD со стороной

BC =17см и диагональю AC =23см. Вычислите периметр прямоугольника.

  1. Н айдите длины CD и CA. С



5




В 3 D 2 A

Вариант 2.

A B







D C

  1. Найдите длину диагонали AC прямоугольника ABCD со сторонами

AB =18см и BC =10см.

  1. Найдите длину стороны AB прямоугольника ABCD со стороной

BC =18см и диагональю AC =26см. Вычислите периметр прямоугольника.

  1. Н айдите длины CD и CA. С



20


В 12 Д 10 A


Задания на «4»:

Вариант 3.

  1. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника с основанием 24 см и высотой к этому основанию 4 см.

  2. Найдите длину основания равнобедренного треугольника с боковой стороной 16 см и высотой 9 см.

  3. Найдите длину высоты равнобедренного треугольника с боковой стороной 22 см и основанием 10 см.

Вариант 4.

  1. Найдите длину боковой стороны равнобедренного треугольника с основанием 26 см и высотой к этому основанию 10 см.

  2. Найдите длину основания равнобедренного треугольника с боковой стороной 17 см и высотой 10 см.

  3. Найдите длину высоты равнобедренного треугольника с боковой стороной 24 см и основанием 20 см.

Задания на «5»:

Вариант 5.

  1. Найдите длину гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом 5 см.

  2. Найдите длину катетов прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой 16 см.

  3. Найдите длину диагонали квадрата со стороной 5 см.

  4. Найдите длину высоты равностороннего треугольника со стороной 40 см.

Вариант 6.

  1. Найдите длину гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом 6 см.

  2. Найдите длину катетов прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой 14 см.

  3. Найдите длину диагонали квадрата со стороной 6 см.

  4. Найдите длину высоты равностороннего треугольника со стороной 70 см.

Памятка

Теорема Пифагора

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется ГИПОТЕНУЗОЙ (AB или c).

Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются КАТЕТАМИ (AC , BC или a , b).

ТЕОРЕМА (Пифагора): В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = a² + b² , где a и b – катеты, с – гипотенуза

AB² = АС² + BC² , где АС и BC – катеты, AB – гипотенуза

ТЕОРЕМА (обратная теореме Пифагора): Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником.

ПРИМЕР 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 10см. Найдите гипотенузу. Дано: РЕШЕНИЕ: a = 7 см c² = a² + b² b = 10см c² = 7² + 10² = 49 + 100; c² = 149 Найти с. с = √149 и с = -√149 Второй ответ не подходит, так как длина не может быть отрицательной. ОТВЕТ: с = √149 см.

ПРИМЕР 2. В прямоугольном треугольнике катет равен 12см, а гипотенуза равна 20см. Найдите другой катет. Дано: РЕШЕНИЕ: a = 12 см c² = a² + b² , b² = c² - a² с = 20см b² = 20² - 12² = 400 - 144; b² = 256 Найти b. b = √256 = 16 и b = -√256 = -16 Второй ответ не подходит, так как длина не может быть отрицательной. ОТВЕТ: b = 16 см.

Теорема Пифагора

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется ГИПОТЕНУЗОЙ (AB или c).

Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются КАТЕТАМИ (AC , BC или a , b).

ТЕОРЕМА (Пифагора): В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = a² + b² , где a и b – катеты, с – гипотенуза

AB² = АС² + BC² , где АС и BC – катеты, AB – гипотенуза

ТЕОРЕМА (обратная теореме Пифагора): Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником.

ПРИМЕР 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 10см. Найдите гипотенузу. Дано: РЕШЕНИЕ: a = 7 см c² = a² + b² b = 10см c² = 7² + 10² = 49 + 100; c² = 149 Найти с. с = √149 и с = -√149 Второй ответ не подходит, так как длина не может быть отрицательной. ОТВЕТ: с = √149 см.

ПРИМЕР 2. В прямоугольном треугольнике катет равен 12см, а гипотенуза равна 20см. Найдите другой катет. Дано: РЕШЕНИЕ: a = 12 см c² = a² + b² , b² = c² - a² с = 20см b² = 20² - 12² = 400 - 144; b² = 256 Найти b. b = √256 и b = -√256 Второй ответ не подходит, так как длина не может быть отрицательной. ОТВЕТ: b = √256 см.

  • Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».

Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».

  • Пифагор Самосский — философ, математик, религиозный и политический деятель, родился в VI веке до н.э. в г. Регия на острове Самос (остров в Эгейском море — территория Греции).

Пифагор — это не имя, а прозвище («Пифагор» значит «убеждающий речью»).

Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.

Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца". Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд.

Пифагору приписывают еще ряд важных в то время открытий, а именно: теорему о сумме внутренних углов треугольника; задачу о делении плоскости на правильные многоугольники (треугольники, квадраты и шестиугольники). Есть сведения, что Пифагор построил "космические" фигуры, т. е. пять правильных многогранников. Но вероятнее, что он знал только три простейших правильных многогранника: куб, четырехгранник, восьмигранник. 

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

  • Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста.

  • В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. При строительстве пирамид в Египте именно так изготавливали прямоугольные треугольники. Наверно поэтому прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 и назвали египетским треугольником.




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Геометрия

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 8 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
"Теорема Пифагора"

Автор: Сланова Светлана Руслановна

Дата: 31.03.2022

Номер свидетельства: 603942

Похожие файлы

object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(56) "урок по теме "Теорема Пифагора""
    ["seo_title"] => string(30) "urokpotiemietieoriemapifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "296372"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1455985691"
  }
}
object(ArrayObject)#897 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(110) "Презентация для урока математики по теме "Теорема Пифагора" "
    ["seo_title"] => string(68) "priezientatsiia-dlia-uroka-matiematiki-po-tiemie-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "209005"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1430995750"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(81) "Урок геометрии в 8 классе. "Теорема Пифагора" "
    ["seo_title"] => string(49) "urok-ghieomietrii-v-8-klassie-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "160650"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1422097978"
  }
}
object(ArrayObject)#897 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(74) "Теорема Пифагора вне школьной программы"
    ["seo_title"] => string(45) "tieoriema-pifaghora-vnie-shkol-noi-proghrammy"
    ["file_id"] => string(6) "143414"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1418542894"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "Конспект урока математики "Теорема Пифагора" "
    ["seo_title"] => string(47) "konspiekt-uroka-matiematiki-tieoriema-pifaghora"
    ["file_id"] => string(6) "138707"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417594919"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства