Конспект урока геометрии

Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0°до 180°

Цель урока: формирование понятий синуса, косинуса, тангенса углов от 0° до 180°. Формирование умений находить тригонометрические функции тупых углов.

Ход урока

1. Организационный этап

Вступительное слово учителя. Мы продолжаем изучение геометрии. В девятом классе вы ознакомитесь с новыми разделами геометрии: решения произвольных треугольников; правильные многоугольники; декартовы координаты на плоскости; геометрические преобразования; векторы на плоскости; начальные сведения из стереометрии. Впереди вас ждут новые теоремы о свойствах геометрических фигур, интересные задачи.

Желаю вам преодолеть препятствия, которые встанут на вашем пути лабиринтами геометрии. Пусть изучение геометрии принесет вам радость от полученных побед.

II. Актуализация опорных знаний

Фронтальная беседа

Для повторения сведений о тригонометрические функции острых углов прямоугольного треугольника можно использовать таблицу из пособия [13].

1. Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Найдите по рис. 1 sinα, cosα, tgα, cosβ, sinβ, tgβ.

3. Как связаны sinα и cosα, если α - острый угол прямоугольного треугольника?

4. Упростите выражение:

а) 1 – sin² a;

б) tg a * cos a.

5. Какой зависимостью связаны sinα, cosα, tgα?

6. Найдите tgα, если:

а) sinα = , cosα = ;

б) sinα = , cosα = .

7. Укажите значение выражений:

а) sin 30°, cos 30°, tg 30°;

б) sin 45°, cos 45°, tg 45°;

в) sin 60°, cos 60°, tg 60°.

III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Определение синуса, косинуса и тангенса углов от 0° до 180°

Изучение нового материала можно провести так. Построим окружность с центром в начале координат и радиусом 1 (рис. 2). Такой круг называется единичным. Построим острый угол а, который образует радиус ОА этого круга с положительным направлением оси Ох. Пусть точка А имеет координаты (х; у). Тогда для прямоугольного треугольника АОВ имеем:

sinα = = = в;

cosα = = = x;

tgα = = .

Таким образом: синусом угла α есть ордината точки единичной окружности, причем радиус ОА образует с положительным направлением оси Ох угол α. Косинусом угла α является абсцисса точки единичной окружности, причем радиус ОА образует с положительным направлением оси Ох угол α. Тангенсом угла α есть отношение ординаты точки А до абсциссы этой точки, причем радиус ОАутворює с положительным направлением оси Ох угол α.

Нахождение значений синуса, косинуса и тангенса тупых углов

Пользуясь предоставленными определениями, дадим определение для любого угла α, 0° α 180°. Тогда sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0; sin 180° = 0, cos 180° = -l, tg 180° = 0.

Если угол α - тупой (0° α 90°), то ордината точки А (рис. 3) положительная (т.е. sin α 0), абсцисса - отрицательная (то есть cosα 0), и отношение ординаты к абсциссы - отрицательное (т.е. tgα 0).

Следовательно, косинус, тангенс тупого угла отрицательные.

Если α - тупой угол (рис. 4), то cos α = ОС = - OD = -cos (180°- α),

sinα = AC = AD = sin (180° - α), тогда tg α = = - = -tg(180° - α).

Итак, чтобы найти синус тупого угла, достаточно найти синус смежного угла; чтобы найти косинус, тангенс тупого угла, надо найти число, противоположное косинуса, тангенса смежного угла.

Например, sin 120° = sin (180° - 120°) = sin 60° = ,

cos 150o = - cos (180° - 150°) = - cos 30° = - ,

tg 135° = -tg (180° - 135°) = - tg 45° = - 1.

Если учащиеся класса имеют недостаточную математическую подготовку, то можно упростить объяснение. Достаточно сказать, что синус тупого угла равна синуса смежного угла, а косинус и тангенс тупого угла равны числу, противоположном косинуса и тангенса смежного угла.

Синус 0° равна 0, синус 180° равен 0, синус 90 градусов равен 1, а косинус 0° равна 1, косинус 180° равен -1, косинус 90 градусов равен 0; тогда тангенс 0° и 180° равны 0, а тангенс 90° не существует.

IV. Закрепление и осмысление нового материала

Выполнение упражнений

1. Вычислите синус, косинус и тангенс угла:

а) 120°; б) 135°; в) 150°.

2. Пользуясь таблицами, найдите:

a) sin 100°, sin 132°, sin 175°;

б) cos 95°, cos 127°, cos l70°;

в) tg 93°, tg 129°, tg 172°.

V. Домашнее задание

1. Изучить определение синуса, косинуса, тангенса углов от 0° до 180°.

2. Пользуясь калькулятором (таблицами), вычислить:

a) sin 105°, sin 140°, sin 165°;

б) cos 100°, cos 130°, cos 160°;

в) tg 103°, tg 131°, tg 163°.

VI. Подведение итогов урока

Задача класса

1. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса углов от 0° до 180°.

2. Пользуясь рис. 5, найдите:

а) sin α; б) cos α; в) tg α.

1. Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Найдите по рис. 1 sinα, cosα, tgα, cosβ, sinβ, tgβ.

3. Как связаны sinА и cosВ, если А и В - острые уголы прямоугольного треугольника?

4. Упростите выражение:

а) 1 – sin² a;

б) tg a * cos a.

5. Какой зависимостью связаны sinα, cosα, tgα?

6. Найдите tgα, если:

а) sinα = , cosα = ;

б) sinα = , cosα = .

7. Укажите значение выражений:

а) sin 30°, cos 30°, tg 30°;

б) sin 45°, cos 45°, tg 45°;

в) sin 60°, cos 60°, tg 60°.

Самостоятельная работа

1. Вычислите синус, косинус и тангенс угла:

а) 120°; б) 135°; в) 150°.

2. Пользуясь таблицами, найдите:

a) sin 100°, sin 132°, sin 175°;

б) cos 95°, cos 127°, cos l70°;

в) tg 93°, tg 129°, tg 172°.