Пособие в виде презентации содержит все темы по геометрии 7-го класса. Удобна для использования на уроках повторении.
Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Учебное пособие за курс геометрии (7класс)
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.
Просмотр содержимого документа
«Учебное пособие за курс геометрии (7класс)»
Геометрия 7 класс
Геометрические фигуры Ю.М. и Е.П.Капанские
Содержание:
- Геометрические фигуры: точка, прямая , отрезок.
- Полуплоскость, луч и угол. Аксиомы и теоремы.
- Треугольники. Параллельные прямые.
- Смежные и вертикальные углы.
- Перпендикулярные прямые.
- Биссектриса угла.
- 1-ый и 2-ой признаки равенства треугольников .
- Высота, медиана и биссектриса треугольника.
- Равнобедренный треугольник .
- 3-ий признак равенства треугольников .
- Признаки параллельности прямых.
- Сумма углов треугольника.
- Внешний угол .
- Признаки равенства прямоугольных треугольников.
- Расстояние от точки до прямой
- Соотношения между сторонами и углами треугольника
- Неравенство треугольника.
- Окружность.
- Касательная к окружности
- Построение касательной
- Касание окружностей (внутреннее) (внешнее)
- Описанная окружность . Вписанная окружность
- Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла
- Деление отрезка пополам. Построение прямой, перпендикулярной данной
- Построение треугольника: по двум сторонам и углу , по трём сторонам .
- Справка
Основные свойства простейших геометрических фигур
Геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок.
Точка и прямая
Точка А
Прямая АВ
Прямая а
a
Точка и прямая
a
Какова бы ни была прямая, существуют точки ей принадлежащие, и точки, не принадлежащие ей.
a
a
a
a
Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
a
a
D
A
E
C
b
K
a
Перечерти рисунок в тетрадь и ответь на вопросы:
1. Какие точки принадлежат прямой а?
2.Какие точки не принадлежат прямой b ?
3.Какие точки не принадлежат прямой а?
4.Какие точки принадлежат прямой b ?
Подсказка
Пересечение прямых
а b = A
А
Прямые а и b пересекаются в точке А
а
b
Из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими
Точка В лежит между А и С
Точки А и С лежат по разные стороны от В
Точки В и С лежат по одну сторону от А
Отрезок
Точки А и В - концы отрезка АВ.
Точка С – внутренняя точка отрезка АВ
АС + СВ = АВ
Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Геометрические фигуры Ю.М. и Е.П.Капанские
Пересечение отрезков
AD DB = D
RC DB = L
AD RC =
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Точки А,В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ=6см, АС=9см, ВС=3 см. Какая из этих точек лежит между двумя другими?
Дано: А,В,С а. АВ=6см, АС=9см, ВС=3 см.
Решение:
АВ+АС=ВС (аксиома 3). 6+9 3 А не лежит между В и С
АС+ВС=АВ (аксиома 3). 9+3 6 С не лежит между В и А
АВ+ВС=АС (аксиома 3). 6+ 3 = 9 В лежит между А и С
Ответ: В лежит между А и С
Полуплоскость, луч, угол.
Прямая разбивает
плоскость на две полуплоскости.
а
С
А
В
а
Точки А и В лежат в разных полуплоскостях
Точки B и C лежат в одной полуплоскости
С
А
В
а
Точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.
Отрезок АВ пересекает прямую а.
Точки В и С лежат по одну сторону от прямой а.
Отрезок ВС не пересекает прямую а.
Пересекает ли отрезок АС прямую а. Почему? Ответ обоснуй письменно в тетради.
Луч
А
С
В
Луч АВ-
А- начало луча
Луч АС-
А- начало луча
Точка разбивает прямую на две части-
каждая из которых называется лучом.
Лучи
В
С
А
D
Луч CD
F
Луч АВ
K
M
Луч FN
Луч KM
N
Назови изображенные лучи
О
С
А
F
D
T
E
K
Сделай в тетради такой же рисунок и запиши названия лучей в тетрадь
Угол
Фигура, состоящая из двух лучей с общим началом, называется углом.
С
К
А
В
N
ВАС
М
KMN
Вершина угла
Запиши в тетрадь углы, изображенные на рисунке:
К
С
А
Е
М
P
О
R
X
Т
Z
S
Виды углов
Прямой угол
Развёрнутый угол
А
А=180 °
В
В=90 °
Острый угол
Тупой угол
С
Е
С
90°
Сделай в тетради такой же рисунок:
E
К
N
A
O
М
B
T
P
S
C
Запиши названия углов и подпиши какого они вида.
D
Основные свойства измерения углов
Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180 ° .
Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
а
c
b
Луч с проходит между сторонами угла ( ab ).
(а b ) = (ас) + ( bc ).
Теоремы и аксиомы.
Аксиомой называется утверждение, не требующее доказательства.
Теоремой называется утверждение, которое необходимо доказывать.
(bc) в 4 раза. c Найти: (ac) , (bc) . b Решение: (ac) + (bc) = (а b ); (bc)=x, (ac)=4x; х + 4х = 80 ° 5x = 80° x = 80°:5 = 16° bc = 16°; ac = 4∙16° = 64° Ответ: 16 ° и 64 ° ." width="640"
Задача
Между сторонами угла (а b ), равного 80 ° , проходит луч с. Найти углы (ас) и ( bc ), если угол (ас) в 4 раза больше угла ( bc ).
а
Дано: (ac) (bc) в 4 раза.
c
Найти: (ac) , (bc) .
b
Решение: (ac) + (bc) = (а b );
(bc)=x, (ac)=4x;
х + 4х = 80 ° 5x = 80° x = 80°:5 = 16°
bc = 16°; ac = 4∙16° = 64°
Ответ: 16 ° и 64 ° .
Треугольники
А
В
АВС :
Точки А, В и С – вершины, а отрезки АВ, АС и ВС – стороны треугольника.
С
Отметим три точки, не лежащие на одной прямой.
Соединим их отрезками.
Получим фигуру, которая называется треугольником.
Периметр треугольника
А
В
С
Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.
Р = АВ + АС + ВС
Равенство треугольников
С
Q
В
R
Р
А
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
АВС = PRQ AB=PR, BC=RQ, AC=PQ; A= P, B= R, C= Q.
1. АВС = NMK , АВ=3; ВС=6; АС=8. Найдите стороны NMK .
2. АВС = DFE ,
Найдите остальные углы.
1 NM =3; MK =6; NK =8
Параллельные прямые
а
b
Две прямые называются параллельными , если они не пересекаются.
а║ b
Аксиома параллельных прямых
А
Через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Задача
а
b
c
d
Выбери пары параллельных прямых и запиши их в тетрадь.
e
m
Проверь: правильно ли записаны пары параллельных прямых.
а ║ b ;
c ║ d ;
e ║ m .
Смежные и вертикальные углы
С
2
1
2
3
1
В
4
D
А
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а две другие – дополнительные полупрямые.
Два угла называются вертикальными , если их стороны – дополнительные полупрямые.
Углы 1 и 2 – смежные.
Углы 1 и 3; 2 и 4 - вертикальные
АС – общая сторона,
АВ и А D -дополнительные лучи.
Стороны углов –дополнительные лучи
Свойство смежных углов
2
1
Сумма смежных углов равна 180 ° .
1 + 2 = 180 ° ,
1 = 180 ° - 2,
2 = 180 ° - 1.
Свойство вертикальных углов
2
3
1
4
Вертикальные углы равны
1= 3
2= 4
1
2
4
2
3
1
Сделай в тетради такой же рисунок.
Сделай в тетради такой же рисунок.
Запиши как называются углы 1 и 3.
Запиши как называются углы 1 и 2.
Запиши их свойство
Запиши их свойство
Подсказка
Задачи
1.Один из смежных углов равен 58 ° . Найти второй угол.
58 ° меньше 90 ° , поэтому на рисунке таким углом может быть угол 1.
2
1
Дано: 1, 2-смежные, 1=58 °
Найти: 2.
Решение:
1+ 2=180 ° (смеж.углы) 2 = 180 ° - 1.
Значит, 2 = 180 ° - 58 ° = 122 ° .
Ответ:
2 = 122 ° .
1. Найти: 1, 2. Решение: 1+ 2=180 ° (смеж.углы). Пусть 1 = х, тогда 2 = х + 20 ° . х + х + 20 ° = 180 ° 2х + 20 ° = 180 ° 2х = 180 ° - 20 ° 2х = 160 ° х = 160 °:2 = 80 °. 1=80°, 2=80° + 2 0 °=1 0 0°. Ответ: 80 ° и 100 ° ." width="640"
Задачи
2.Один из смежных углов на 20 ° больше другого. Найти эти углы.
Дано: 1, 2-смежные.
2
1
2 на 20 ° 1.
Найти: 1, 2.
Решение:
1+ 2=180 ° (смеж.углы).
Пусть 1 = х, тогда 2 = х + 20 ° .
х + х + 20 ° = 180 ° 2х + 20 ° = 180 ° 2х = 180 ° - 20 °
2х = 160 ° х = 160 °:2 = 80 °.
1=80°, 2=80° + 2 0 °=1 0 0°.
Ответ:
80 ° и 100 ° .
Задачи
3.Найти смежные углы, если известно, что они относятся как 2 : 3.
Дано: 1, 2-смежные.
2
1
1 : 2 = 2 : 3.
Найти: 1, 2.
1+ 2=180 ° (смеж.углы).
Решение:
Пусть 1 =2 х, тогда 2 =3 х .
2х +3х = 180 ° 5х = 180 ° х = 180 ° : 5 = 36 °
1= 2 · 36 ° = 72 °, 2= 3 · 36 ° = 108 °.
Ответ:
36 ° и 108 ° .
Задачи
4.Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 125 градусам. Найти остальные углы.
2
Дано: 2 = 125 ° .
3
1
4
Найти: 1, 3, 4.
1+ 2=180 ° (смеж.углы).
Решение:
1=180°- 2=180°-125°=55°.
3= 1, 4= 2( вертикальные )
3 =55°, 4=125°.
Ответ:
1= 3=55°, 4=125°.
Перпендикулярные прямые
а
b
A = 90 °
A
а b
Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом .
Перпендикуляр
В
а
С
Перпендикуляром называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов точку пересечения прямых.
Отрезок ВС – перпендикуляр .
Точка С – основание перпендикуляра.
Найди перпендикулярные прямые и запиши их в тетрадь:
c
b
d
а
m
n
k
p
Биссектриса угла
В
А D - биссектриса
ВА D = СА D
D
А
BAC=2 · BAD
CAD= ½ BAC
С
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
1-ый и 2-ой признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников (По двум сторонам и углу между ними):
С 1
С
=
В 1
А
В
А 1
Если две стороны и угол между ними одного треугольника
равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.
АВ=А 1 В 1 , АС= А 1 С 1 , А= А 1 АВС = А 1 В 1 С 1
1-ый и 2-ой признаки равенства треугольников
Второй признак равенства треугольников (По стороне и двум прилежащим к ней углам):
С 1
С
=
А 1
А
В 1
В
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника,
то такие треугольники равны.
АВ=А 1 В 1 , А= А 1 , В= В 1 АВС = А 1 В 1 С 1
Задачи
В
К
М
А
D
1
О
2
Н
Р
С
Почему равны треугольники ОМК и ОРН?
Почему равны треугольники А DB и ADC ?
Какой признак равенства треугольников здесь используется?
Сделай соответствующие записи в тетрадь.
Подсказка
Высота, медиана и биссектриса треугольника
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из данной вершины к прямой, проходящей через противоположную сторону.
М
С
В
N
S
А
К
MS – высота треугольника РМ N
СК – высота треугольника АВС
У любого треугольника – три высоты:
В
С 1
А 1
О
А
С
В 1
Высоты перпендикулярны прямым, содержащим противоположные стороны.
Три высоты треугольника пересекаются в одной точке – в точке О.
Сделай в тетради такой же рисунок, запиши высоты треугольника АВС. Укажи прямые углы.
Высота, медиана и биссектриса треугольника
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
М
С
S
N
В
P
А
К
MS – биссектриса треугольника РМ N
СК – биссектриса треугольника АВС
У любого треугольника – три биссектрисы:
В
А 1
С 1
О
С
А
В 1
Биссектрисы делят углы треугольника пополам .
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – в точке О.
Сделай в тетради такой же рисунок, запиши биссектрисы треугольника АВС. Укажи равные углы.
Высота, медиана и биссектриса треугольника
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
М
С
S
N
В
P
К
А
MS – медиана треугольника РМ N
СК – медиана треугольника АВС
У любого треугольника – три медианы:
В
С 1
А 1
О
А
В 1
С
Медианы делят противоположные стороны треугольника пополам .
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке – в точке О.
Сделай в тетради такой же рисунок, запиши медианы треугольника АВС. Укажи равные отрезки.
Равнобедренный треугольник
В
АВ=ВС
АВ и ВС – боковые стороны.
АС – основание.
С
А
Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны.
Равные стороны называются боковыми , а третья сторона – основанием .
Равносторонний треугольник
С
АВ=ВС=АС
60 °
Треугольник АВС - равносторонний
Все углы равностороннего треугольника равны 60 ° .
60 °
60 °
В
А
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним .
Свойство углов равнобедренного треугольника
В
Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника называется углом при вершине .
В - угол при вершине.
Углы А и С называются углами при основании.
А
С
Углы при основании равнобедренного треугольника равны:
АВС - равнобедренный
А = С.
Обратно:
Если в треугольнике два угла равны,
то такой треугольник равнобедренный.
АВС - равнобедренный.
А = С
Сделай в тетради такой же рисунок и ответь письменно на вопросы:
Р
S
К
М
R
N
Если в KRS S= R , то
Если в М NP MN=NP , то
что можно сказать про его стороны ?
что можно сказать про углы М и Р ?
Почему?
Почему?
Подсказка
Свойство медианы равнобедренного треугольника
В
В равнобедренном треугольнике медиана , проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой .
С
А
D
АВС – равнобедренный(АВ=ВС), А D = С D (В D - медиана)
АВ D = CBD ,
В D А C.
Образец решения задачи
1.Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см. Найти боковые стороны, если основание равно 6 см.
С
Дано:
АВС – равнобедр., АС=ВС, Р=26 см, АВ=6см.
АС, ВС.
Найти:
Решение:
Р=АВ+АС+ВС,
А
В
АС=ВС
Р=АВ+2АС,
2АС=Р – АВ = 26 – 6 = 20,
АС = 20 : 2 = 10.
Ответ: АС=ВС=10 см.
АВ на 3 см. Найти: АВ, АС, ВС. А В Решение: Р=АВ+АС+ВС, Пусть АВ=х, тогда АС=ВС=х+3. Составим уравнение: х+х+3+х+3=27 3х+6=27 3х=27 – 6=21 х=21 : 3 = 7 АВ= 7 см, АС=ВС= 7+3=10 см. Ответ: АВ= 7 см, АС=ВС=10 м." width="640"
Образец решения задачи
2.В равнобедренном треугольнике боковая сторона на 3 см больше основания, а периметр равен 27 см. Найти стороны треугольника.
С
Дано:
АВС – равнобедр., АС=ВС, Р=27 см, АС АВ на 3 см.
Найти:
АВ, АС, ВС.
А
В
Решение:
Р=АВ+АС+ВС,
Пусть АВ=х,
тогда АС=ВС=х+3.
Составим уравнение:
х+х+3+х+3=27
3х+6=27 3х=27 – 6=21
х=21 : 3 = 7
АВ= 7 см, АС=ВС= 7+3=10 см.
Ответ: АВ= 7 см, АС=ВС=10 м.
3-ий признак равенства треугольников
С 1
С
А 1
=
В
В 1
А
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны .
АВ=А 1 В 1 ,
ВС=В 1 С 1
АВС= А 1 В 1 С 1 .
АС=А 1 С 1 ,
Признаки параллельности прямых
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
2 и 5 – внутренние односторонние.
1
4
2
3
b
5
3 и 8 – внутренние односторонние.
6
8
7
c
а
Признаки параллельности прямых
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
2 и 8 – внутренние накрест лежащие.
1
4
2
3
b
5
3 и 5 – внутренние накрест лежащие.
6
8
7
c
а
Признаки параллельности прямых
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
1 и 5 – соответственные углы.
1
2 и 6 – соответственные углы.
4
2
3
b
5
8
6
4 и 8, 3 и 7 – соответственные углы.
7
c
а
Признаки параллельности прямых
c
1 = 3 а ║ b
b
1
2
2 = 4 а ║ b
а
4
3
1 признак: Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
Признаки параллельности прямых
c
1 + 4 =180 ° а ║ b
b
1
2
2 + 3 =180 ° а ║ b
а
4
3
2 признак: Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° , то эти прямые параллельны.
Признаки параллельности прямых
c
1 = 3 а ║ b
1
b
2
2 = 4 а ║ b
а
3
4
3 признак: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то эти прямые параллельны.
Образец решения задачи
1.Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 50 ° . Найти остальные углы .
c
2 = 50 ° .
Дано:
а ║ b , с-секущая,
b
Найти:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
5
6
2
1
Решение:
4= 2(вн.накр.леж.)
4=50 ° .
а
4
3
2+ 3=180 °
7
8
3=180 ° - 2=180 ° - 50 ° =130 ° .
1= 3(вн.накр.леж.) 1 = 130 °
5= 3, 7= 1(соответств.углы) 5= 7=130 ° .
8= 2, 6= 4(соответств.углы) 8= 4=50 ° .
Ответ: 1= 3= 5= 7=130 ° , 4= 6= 8=50 ° .
Образец решения задачи
2.Разность двух внутренних односторонних углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 40 ° . Найти эти углы .
c
1 - 4= 40 ° .
а ║ b , с-секущая,
Дано:
Найти:
1, 4.
b
2
1
Решение:
1+ 4=180 ° (вн.накр.леж.)
а
3
4
Пусть 4=х
1 – х = 40 ° (по условию), тогда 1 = х + 40 ° ,
Составим уравнение: х + 40 ° + х = 180 ° ,
2х + 40 ° = 180 ° 2х=180 ° - 40 ° , 2х = 140 ° ,
х = 140 ° : 2 = 70 ° . 4 = 70 ° , 1=70 ° +40 ° =110 ° .
Ответ: 1=110 ° , 4=70 ° .
Образец решения задачи
3.Сумма внутренних накрест лежащих углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 130 ° . Найти эти углы .
c
2+ 4 =130 ° .
а ║ b , с-секущая,
Дано:
( 1 и 3 - тупые углы, поэтому их сумма не может равняться 130 ° )
b
2
1
а
3
2, 4.
Найти:
4
Решение:
2 = 4(вн.накр.леж.)
2 + 2 =130 ° ,
2 = 130 ° : 2 = 65 ° .
Ответ: 2= 4=65 ° .
Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника
С
А+ В+ С=180 °
А
В
Сумма внутренних углов треугольника равна 180 ° .
Сумма углов треугольника=180 ° .
Через точку С проведем прямую а ║АВ
С
D
К
а
2
1
А= 1 (внутр.накрест леж)
В= 2 (внутр.накрест леж)
В
А
А+ В+ С=
1+
DCK
2+
С=
=180 °( развёрнутый)
У равностороннего треугольника все углы равны 60 ° .
С
АВС- равносторонний
А+ В+ С=180 °
В
А= В= С
А
А= В= С=180 ° :3=60 °
Задачи для устного решения:
- В треугольнике АВС один угол равен 50 º , второй 70 º . Найти третий угол.
С
А
В
Подсказка
Задачи для устного решения:
- Существует ли треугольник, у которого углы равны 80 º , 30 º и 60 º ?
Подсказка
Задачи для устного решения:
- Существует ли треугольник, у которого два угла тупые?
Подсказка
Задачи для устного решения:
- Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым?
Подсказка
Опорные задачи
- Найти углы треугольника, если известно, что второй угол больше первого на 20 º , а третий угол больше первого на 40 º .
- Найти углы при основании равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 30 º .
- Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 7 0 º .
Найди неизвестные углы:
?
1)
35 º
1)
1 вариант
2 вариант
45 º
65 º
75 º
?
2)
70 º
2)
?
?
50 º
?
3)
80 º
3)
75 º
?
Внешний угол треугольника.
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с его внутренним углом при этой вершине.
М
D А B – внешний угол
С
АСМ - внешний угол
В
К
А
СВК – внешний угол
D
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
D А B = В+ С
D А B + А=180 ° (смежные углы)
D А B = 180 ° - А
С
А+ В+ С=180 °
В+ С=180 ° - А
В
А
D А B = В+ С
D
Гипотенуза
катет
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Определение прямоугольного треугольника
А
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.
С - прямой, ∆АВС- прямоугольный
Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла- гипотенуза
Две другие стороны - катеты
С
В
катет
катет
катет
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Первый признак
Если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие прямоугольные треугольники равны.
АС=А 1 С 1 ,
∆ АВС=∆ А 1 В 1 С 1
ВС=В 1 С 1
А 1
А
С 1
В 1
С
В
катет
катет
катет
катет
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Второй признак
Если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие прямоугольные треугольники равны.
АС=А 1 С 1 ,
∆ АВС=∆ А 1 В 1 С 1
А= А 1
А 1
А
С 1
В 1
С
В
катет
катет
катет
катет
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Третий признак
Если гипотенуза и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие прямоугольные треугольники равны.
АВ=А 1 В 1 ,
∆ АВС=∆ А 1 В 1 С 1
А= А 1
А 1
А
С 1
В 1
С
В
катет
катет
катет
катет
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Четвертый признак
Если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие прямоугольные треугольники равны.
АС=А 1 С 1 ,
∆ АВС=∆ А 1 В 1 С 1
АВ= А 1 В 1
А 1
А
С 1
В 1
С
В
катет
катет
Расстояние от точки до прямой
ВС называется перпендикуляром
АВ называется наклонной
B
АС называется проекцией наклонной
Перпендикуляр и проекция наклонной всегда меньше наклонной
АС
C
A
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую
АВ, то B C . В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В С Если B C , то АС АВ." width="640"
Соотношения между сторонами и углами треугольника
В треугольнике против большей
стороны лежит больший угол.
А
Если АС АВ, то B C .
В треугольнике против
большего угла лежит
большая сторона.
В
С
Если B C , то АС АВ.
1= 2 AB CD=BC AB С D А 2" width="640"
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
AB
В
∆ BCD : 1= 2
1
∆ А BD : А BD 1= 2
AB
CD=BC
AB
С
D
А
2
Неравенство треугольника
C
AB
AC
BC
B
A
Задача: Существует ли треугольник с данными сторонами и почему?
8 см, 10 см, 17см
5 см, 7 см, 13см
Подсказка
Задачи для устного решения:
1.Могут ли стороны треугольника относиться как 5:2:4?
2.Могут ли стороны треугольника относиться как 6:9:16?
3.Могут ли стороны треугольника относиться как 5:11:6?
Ответ
радиус
хорда
диаметр
Окружность.
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки
D
С
Точка О- центр окружности
N
ОА- радиус окружности
O
С D - хорда окружности
М
А
MN - диаметр окружности
Касательная к окружности
Прямая может не пересекать окружность
а
а
Прямая может пересекать окружность в двух точках
а
O
Прямая может иметь с окружностью одну общую точку
Прямая а – касательная к окружности
Касательная перпендикулярна радиусу
Построение касательной
1.В точку касания проводим радиус
а
2.Через точку касания проводим прямую перпендикулярную радиусу
O
Касание двух окружностей (внутреннее)
Если две окружности имеют общую касательную и центры окружностей лежат по одну сторону от касательной, то касание окружностей - внутреннее
O 1
O
А
ОО 1 =АО 1 – АО = R-r
Касание двух окружностей (внешнее)
Если две окружности имеют общую касательную и центры окружностей лежат по разные стороны от касательной, то касание окружностей - внешнее
А
O
O 1
ОО 1 =АО 1 + АО = R + r
Окружность, описанная около треугольника
Центр окружности, описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
С
1.Через середины сторон проводим перпендикуляры
2.Точка пересечения серединных перпендикуляров (точка О)- центр окружности
О
А
3.Проводим окружность с центром в точке О и радиусом ОА
В
Окружность, вписанная в треугольник
Центр окружности, вписанной в треугольник лежит в точке пересечения его биссектрис
1.Проводим биссектрисы углов
С
2.Точка пересечения биссектрис (точка О)- центр окружности
М
О
3.Опускаем перпендикуляр ОМ на сторону треугольника
А
4.Проводим окружность с центром в точке О и радиусом ОМ
В
Построение угла, равного данному
С
К
а
Р
А
В
О
1.Проводим окружность с центром в т.О произвольным радиусом
2.Точки пересечения окружности со сторонами угла- Р , К
3.Проводим произвольный луч а с началом в точке А
4.Проводим окружность радиусом ОР и с центром в точке А, получим точку В.
4.Проводим окружность радиусом РК и с центром в точке В, получим точку С.
5.Проводим луч ОС, получим угол САВ, равный данному углу.
Построение биссектрисы угла
К
Е
Р
О
1.Проводим окружность с центром в т.О произвольным радиусом
2.Точки пересечения окружности со сторонами угла- Р , К
3.Проводим две окружности с центрами в точках Р и К одинаковым радиусом РК, получим точку Е
4.Проводим луч ОЕ- биссектрису угла
половины АВ 2.Проводим окружность с центром в т.В таким же радиусом 3.Получим точки С и D 4.Проводим прямую С D , п олучим точку О – середину АВ" width="640"
Деление отрезка пополам
С
О
В
А
D
1.Проводим окружность с центром в т.А и радиусом половины АВ
2.Проводим окружность с центром в т.В таким же радиусом
3.Получим точки С и D
4.Проводим прямую С D , п олучим точку О – середину АВ
Построение прямой перпендикулярной данной (точка лежит на прямой)
С
ОС а
а
О
В
А
D
1.Проводим окружность с центром в т.О, получим две точки: А и В
2.Проводим две окружности с центрами в точках А и В, одинаковыми радиусами большими АО
3.Получим точки С и D
4.Проводим прямую ОС.
Построение прямой перпендикулярной данной (точка лежит вне прямой)
О
ОС а
а
А
В
С
1.Проводим окружность с центром в т.О, получим две точки: А и В
2.Проводим две окружности с центрами в точках А и В, одинаковыми радиусами большими половины АВ
3.Получим точку С
4.Проводим прямую ОС.
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
N
М
K
С
P
а
О
В
А
1.Проводим прямую а
2 .На прямой а циркулем откладываем отрезок АВ=М N
3.Строим угол САВ= О
4.На луче АС циркулем откладываем отрезок АС= РК.
5.Соединяем точки В и С.
Построение треугольника по трём сторонам
М
N
С
K
P
Е
D
а
В
А
1.Проводим прямую а
С 1
2 .На прямой а циркулем откладываем отрезок АВ=М N
3.Строим окружность с центром в точке В и радиусом = РК
4.Строим окружность с ц. в т.А и радиусом = Е D .Получим точки С и С 1
5.Соединяем точки А и С, В и С.
D
A
E
C
b
K
a
1. K а, E a.
2. K b , E b, C b.
3. A a , D a, C b.
4. A b , D b.
Назад
Ответы:
Р
S
К
М
R
N
Если в KRS S= R , то
Если в М NP MN=NP , то
М = Р,
KS=KR ,
как углы при основании равнобедренного М NP .
как боковые стороны равнобедренного М NP .
Назад
1
2
4
2
3
1
Углы 1 и 3 называются вертикальными.
Углы 1 и 2 называются смежными.
Их свойство: 1= 3.
Их свойство: 1+ 2=180 ° .
Назад
Шпаргалка для решения задач на равенство треугольников
В
К
М
А
D
1
О
2
Н
Р
С
Почему равны треугольники ОМК и ОРН?
Почему равны треугольники DB А и DCA ?
DB = DC (по условию), А D - общая сторона, 1= 2(по условию) (по 1-му признаку) DBA= DCA .
ОМ=(по условию), М= Р(по условию), 1= 2(вертикальные) (по 2-му признаку) ОМК = ОРН.
Назад
- В треугольнике АВС один угол равен 50 º , второй 70 º . Найти третий угол.
С
Пусть В=50 º , А=70 º , тогда
С=180 º -(50 º +70 º )=60 º
Ответ: 60 º .
А
В
Назад
Не существует!
Так как величина тупого угла больше 90 º , а сумма двух таких углов будет больше 180 º .
Назад
Не существует!
Так как 80 º +30 º +60 º =170 º≠ 180 º
Назад
Два тупых угла в треугольнике!?
Как такое может быть?
Мы не можем быть тупыми одновременно!
Назад
5+7 Назад" width="640"
Задача: Существует ли треугольник с данными сторонами и почему?
8 см, 10 см, 17см
5 см, 7 см, 13см
Ответ: Да, существует, так как
Ответ: Нет, не существует, так как
17
13 5+7
Назад
6+9 Назад" width="640"
Задачи для устного решения:
1.Могут ли стороны треугольника относиться как 5:2:4?
2.Могут ли стороны треугольника относиться как 6:9:16?
3.Могут ли стороны треугольника относиться как 5:11:6?
Ответ: 1. Да
2. Нет
3. Нет
Почему?
5
11=5+6
166+9
Назад
Справка
Данная программа представляет собой пособие для учителя и предназначена для использования учителем при объяснении нового материала с использованием демонстрационного экрана или интерактивной доски. Может использоваться учащимися для самостоятельной подготовки по курсу Геометрии 7 класса на домашнем ПК.
Слайд с содержанием позволяет с помощью гиперссылок перейти на слайды с соответствующей темой. Некоторые строчки содержат более одной ссылки. Назначение кнопок:
- Переход на 1 слайд назад
- Переход на 1 слайд вперёд
- Информация на слайде закончилась Переход на слайд «Содержание»
Назад
Подсказка
Ответ
- Переход на слайд с ответом, или подсказкой, возврат в текущий слайд
Похожие файлы
Полезное для учителя
Распродажа видеоуроков!
1550 руб.
2220 руб.
1670 руб.
2380 руб.
1830 руб.
2620 руб.
1580 руб.
2260 руб.
Курсы ПК и ППК для учителей!
800 руб.
4000 руб.
600 руб.
3000 руб.
800 руб.
4000 руб.
800 руб.
4000 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО
* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт
Удобный поиск материалов для учителей
Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства