Решение геометрических задач на построение различными способами

Решение геометрических задач на построение различными способами

Из опыта работы учителя математики Сазоновой О.А.,

МБОУ – СОШ № 15 МО город Армавир

Из истории мы знаем, что геометрия возникла из практической деятельности человека. В настоящее время ученики не видят где конкретно можно применить эту науку. Поэтому задачи на построение различным способом, использование одной задачи для решения других типичных или комбинированных задач помогает развивать универсальные учебные достижения ученика, формировать метапредметные результаты, применять предметные результаты на практике.

Практические работы по геометрии, прежде всего, направлены на формирование и развитие у обучающихся конструктивных действий. Каждая работа тесно связана с проблемным материалом и направлено на формирование компетенций по математике.

Чтобы выполнить практическую работу учащимся приходится пользоваться дополнительной информацией из различных источников: учебник, справочник, таблицы, Интернет.

По учебной направленности работы можно разбить на виды: установочные, иллюстративные, тренировочные, исследовательские, творческие, обобщающие.

Остановимся на некоторых из них, и покажем где и как их можно проводить.

К иллюстративному виду относятся работы, связанные с ознакомлением различных свойств геометрических фигур. К примеру такой работы, можно отнести различные способы решения одной и той же задачи, что дает возможность повысить интерес учащихся к математике. Большую роль в этом играет геометрия. С первых уроков изучения геометрии можно школьникам показать различные способы доказательства одной и той же теоремы, решения одной и той же задачи. Иногда это можно сделать, когда решается задача с использованием новых теорем, чтобы применить новые знания к старой задаче.

Наиболее удобно это делать на обобщающих уроках или уроках повторения.

Например, при изучении теоремы косинусов можно учащимся предложить доказать теорему координатным способом, затем с помощью векторов, далее на основе теоремы синусов, и другие способы. После этого ученики сравнивают способы доказательства и выбирают наиболее понравившийся, более краткий, с неожиданным подходом, наглядный и тд.

Возможность решения одной и той же задачи различными способами позволяет повысить интерес учащихся к математике, активизировать их познавательную деятельность, выработать у них умения и навыки решения задач, при этом показывать и подчеркивать красоту содержания учебного предмета.

Приведу несколько примеров решения задач на построение разными способами.

Задача. С помощью линейки и циркуля постройте угол 90⁰ , 45 ⁰ .

Способ 1. Строим прямой угол, используя известный способ построения перпендикулярных прямых с помощью циркуля и линейки, Этот способ рассмотрен в учебнике. Затем построение биссектрисы этого угла поможет нам получить угол в 45 ⁰ .

Способ 2. Эту задачу можно предложить учащимся после изучения свойств равнобедренного треугольника и прямоугольного треугольника, также теоремы о свойстве углов треугольника. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, тогда получим в нем один угол прямой, а два других по 45 ⁰ .

Способ 3. К этой задаче можно вернуть при изучении темы «Центральные и вписанные углы». С целью закрепления свойства вписанного угла, опирающегося на диаметр, можно построить окружность, потом провести ее диаметр и далее уже не трудно построить угол, опирающийся на полуокружность. По определению центрального угла мы можем в окружности построить прямой центральный угол. Это можно сделать так: построить прямой угол, а затем окружность любого радиуса с центром в вершине этого угла. И на конец, используя связь центрального и вписанного углов, строим вписанный угол, опирающийся на данную дугу.

По аналогии этих задач на дом учащимся можно давать построение углов в 60⁰ и 30⁰.

Все это способствует развитию ассоциативного и абстрактного мышления, активизации познавательной деятельности учащихся, формированию качеств личности.

Для более подготовленных и сообразительных учащихся можно предложить обобщённую задачу.

Задача. Постройте угол в два раза меньше данного. И предложить обратную задачу: постройте угол в два раза больше данного.

Эти задачи решаются с помощью центрального и вписанного углов в одной и той же окружности.

Установочную практическую работу можно провести по теме «Площади». Учащиеся знакомы с принципом вычисления площади прямоугольника, квадрата, а как найти площадь абстрактной фигуры. Учитель долен подвести их к тому, что фигуру можно разбить на квадраты и применить свойство площади. То есть фактически дети сами для себя открывают палетку, и знакомятся с порядком измерения площади фигуры с ее помощью.

К тренировочным практическим работам отнесем те из них, которые предназначены на закрепление изученных свойств, соотношений, и направлены они на овладение способом построения, анализа, доказательства.

Приведенные ниже задачи готовят учащихся к самостоятельному выполнению творческих работ, которые основаны на решении более сложных задач.

Задача 1. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Задача 2. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Эти задачи имеют единственное решение и затруднений у обучающихся не вызывают.

На основе этих задач можно предложить другие. Например, построить треугольник, если даны: 1) два угла и радиус вписанной (описанной) окружности. Также могут быть варианты комбинаций со сторонами треугольника.

Решение таких задач дает возможность применить знания учащихся на практике, что вызывает интерес к уроку, и тем самым повышает его эффективность. Всем известно, что когда что-то делаешь своими руками, запоминается на более длинный срок. Поэтому исключается формализм в получении знаний.

Рассмотрение задач на построение удобнее всего проводить на уроках практикумах. Основная цель таких уроков заключается в том, чтобы сформировать личностные, метапредметные и предметные результаты в овладении новыми математическими методами.

Приведу еще пример задач, которые можно решить различными способами.

Задача. В равнобедренном треугольнике основание равно 32 см, боковая сторона - 20 см. Вычислите радиус вписанной и описанной окружности.

Можно подвести обучающихся к основной идеи задачи, и помочь им найти разные способы.

Для определения радиуса вписанной окружности можно использовать следующие способы.

Способ 1. Основывается на использование свойств радиуса окружности, проведенного в точку касания, на признаках подобия треугольников.

Способ 2. Использование формулы площади многоугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности.

Способ 3. Учитывая свойство биссектрисы угла и подобие треугольников, можно составить отношение сторон и найти необходимый отрезок на основании свойств пропорции.

Для определения радиуса описанной окружности можно использовать следующие способы.

Способ 1. Используется первый признак подобия треугольника, составляется отношение сторон и находится нужный отрезок.

Способ 2. Решение основано на свойстве отрезков хорд окружности, проходящих через одну точку, составляется равенство и определяется нужный отрезок.

Способ 3. Используется условие, что центр описанной окружности треугольника равноудалён от всех его вершин.

Способ 4..

Использование формулы R=abc/4/

Из опыта работы можно сказать, что уроки посвященные рассмотрению различных способов решения одной и той же задачи, очень полезны. Так как решая одну задачу можно повторить большой объем теории. Не приходится жалеть о том, что за урок решена только одна задача. Такие уроки создают в классе сферу соревнования, соперничества, уважения к мнению других, интерес к новой информации.

В заключении можно сказать, что практические работы, помимо решения своей специальной задачи – усиление практической направленности обучения, помогает развивать вычислительные навыки и способствует прочному усвоению программного материал.