Методическая разработка «Как решать задачу на доказательство» (7 класс)

Методическая разработка «Как решать задачу на доказательство»

Прямой метод

Существует шесть базовых геометрических методов решения задач на доказательство:

• Метод от противного;

• Метод совпадения;

• Метод достраивания;

• Прямой метод;

• Координатный метод;

• Векторный метод.

Другие методы являются комбинацией базовых. Ход доказательства задачи зависит от выбранного метода решения.

Примерный план для прямого метода:

1) Записать «дано», причём так, чтобы факт, заложенный в вопросе задачи, мог быть отображён в ходе рассуждений на рисунке правдоподобно.

2) Раскрыть условие задачи из «дано» так, чтобы понять, с элементами каких(-ой) фигур(-ы) оно соотносится.

3) Получить с помощью теорем из выявленных свойств элементов фигур(-ы) новые(-ое) свойства(-о), оформить их (его) символически.

4) Расписать в деталях определения(-е) объектов(-а) в символическом виде, взять для дальнейших рассуждений лишь необходимые нам соотношения для будущих фигур.

5) Найти на рисунке неиспользованные фигуры с полученными на 3) и 4) шагах свойствами или ввести в рассмотрение, если нужно, другие фигуры с выбранными свойствами.

6) Повторить шаги (3)—(5) до тех пор, пока не будет разрешён вопрос задачи.

7) В конце задачи на доказательство пишется «ч.т.д.» или латинская аббревиатура «QED» (что и требовалось доказать), наподобие подписи.

Метод от противного

Метод доказательства от противного или приведения к противоречию — это способ рассуждения, при котором утверждение вопроса задачи заменяется отрицательным высказыванием, которое используется как одно из условий «дано», с целью выведения двух взаимоисключающих друг друга утверждений.

По сути, это логический трюк, с помощью которого к «дано» добавляется ещё одно требование, которое наперекор утверждению вопроса задачи считают истинным, впоследствии приводящее к абсурду в ходе обычного рассуждения. Из полученного абсурда делают вывод, что отрицающее высказывание является ложным, а так как других альтернатив не остаётся, то этим обосновывается истинность утверждения вопроса задачи.

То есть мы вместо прямого хода рассуждений выбираем «обходной» путь. И поэтому этот метод называют ещё косвенным.

Когда его можно применить:

а) если вопрос задачи имеет отрицательную или модальную формулировку: «нельзя...», «можно...», «хотя бы...», «только...»;

б) вопрос задачи содержит соотношения больше или меньше;

в) вопрос задачи подразумевает выбор из двух альтернатив или является утверждением всеобщности.

Основное неудобство метода состоит в том, что новое требование (противное предположение) нельзя адекватно отобразить на рисунке, так как набор этих условий задаёт невозможную геометрическую конфигурацию. Это чисто умозрительный метод.

Метод достраивания в задачах на доказательство

Суть метода достраивания состоит в том, что мы усложняем геометрическую конструкцию задачи, строя дополнительные фигуры к данному рисунку, и связываем свойства новой конфигурации с элементами исходной. Эта конструкция всегда искусственна, поскольку она вводится не на «бум», а с тем логическим расчётом, что она создаст нужные для нас выводы, исходя из доступных знаний. Соотношения, возникающие в новой конфигурации, выполняют роль посредников и в конце концов превращаются в соотношения, состоящие из элементов исходной. Если в задаче были проведены прямые линии или дуги окружностей через данные в условии точки, а также введены фигуры, порождающие заявленные в условии геометрические величины, то это не считается применением метода достраивания.

Метод совпадения в задачах на доказательство

Метод совпадения состоит в том, что мы задаём геометрическую конструкцию с выбранными нами свойствами, которые отвлечены от условий задачи, а затем устанавливаем совпадение её элементов с данными условия путём вывода второстепенных свойств и соотношений. Она вводится не на «бум», а с тем логическим расчётом, что заданная конфигурация породит нужные для нас соотношения и свойства, исходя из доступных нам знаний. Очень важно, чтобы введённая конструкция была легко исследуемой и однозначно налагалась на фигуры из «дано».