Теорема Пифагора

Найти площадь треугольника

В

12

30

С

А

8

Какого условия не хватает, для нахождения площади?

25

15

Теорема

Пифагора

Пифагор Самосский

о. Самос

Пифагор Самосский

• Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии.

Вопросы

Что изображено?

Как называются стороны АС и ВС?

Чему равна площадь этого треугольника?

Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?

A

с

b

 А +  В = 90°

B

a

C

Докажите, что треугольники равны.

B

A 1

C 1

A

C

B 1

Задача

Найти угол 









Что изображено?

Решите устно

Из чего он состоит?

b

a

Докажите, что треугольник

KВМ равен треугольнику MСN.

C

В

M

3

2

a

Что можно сказать о площадях этих треугольников?

c

4

b

c

1

N

Доказать: KMNP - квадрат

c

K

Доказательство

b

c

В четырехугольнике KMNP все стороны равны с .

a

Найдем величину угла KMN.

 1 +  2 = 90° и  1 =  3    2 +  3 =90°   KМN=90°.

b

a

P

A

D

Аналогично можно доказать, что все углы в четырехугольнике KMNP прямые, а это и означает, что KMNP - квадрат .

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

с

а

b

c ²=a²+b²

Доказательство

Выполним

дополнительные

построения

c

a

b

c

a

b

b

a

c

c

a

c

b

b

a

c

a

b

b

Это квадрат

Его площадь равна

(a+b) ²

a

c

c

a

c

b

a

b

c

a

b

b

Это тоже

КВАДРАТ

Его площадь равна

c ²

a

c

c

a

c

b

b

a

c

a

b

b

Площадь этого треугольника

a

c

c

a

c

b

b

a

c

a

b

сумме площадей

маленького квадрата

Площадь большого квадрата равна

и площадей четырёх

треугольников.

b

a

c

Отсюда следует

c

a

c

b

a

b

Теорема доказана!

Теорема Пифагора

Итак,

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

История теоремы Пифагора

Пифагор Самосский

ок. 580 – ок. 500 до н.э.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому:

«Площадь квадрата,

построенного на

гипотенузе

прямоугольного

треугольника,

равна сумме

площадей квадратов,

построенных на его

катетах».

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры.

Шаржи из учебника XVI века

Ученический шарж XIX века

«Ослиный мост»

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

№ 483

Дано: ∆АВС,  С=90º, а=6, b=8

Найти: с.

Решение:

∆ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС²

с²=а²+b²

с²=6²+8²

с²=36+64

с²=100

c=10

Ответ: 10

А

?

8

6

В

С

№ 483

с ² = а 2 + b 2

А

b

а

c

6

8

10

5

√ 61

6

с

в

8

с =√ а 2 + b 2

а

В

С

№ 484

с ² = а 2 + b 2

c

b

а

5

12

13

А

13 ² = 12 2 +b 2

4 √3

169 = 144 + b 2

12

2b

b 2 = 25

3b

2

b = 5

с

Запишем формулы для нахождения катетов прямоугольного треугольника:

в

4b ² = 12 2 + b 2

а 2 + b 2 =c ²

3b ² = 144

а 2 =c ²-b²

b ² = 48

а= √c²-b²

а

В

С

b = √ 48

b 2 =c ²-a²

b = 4√3

b = √c²-a²

№ 486

с ² = а 2 + b 2

C

B

AD ²=AC²-CD²

5

AD =12

13

D

A

Итак, для любого прямоугольного треугольника

a

с

а

в

a

Применение теоремы

«Золотые слова» (или мудрые советы) Пифагора

• беги от хитрости;
• не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом;
• сыщи себе верного друга: имея его, ты сможешь обойтись без богов;
• помните, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда изображает изящную душу;
• делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться;
• не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать;
• не пренебрегай здоровьем своего тела;
• приучайся жить просто и без роскоши;
• либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания;
• не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков за прожитый день;
• делай великое, не обещая великого;
• живи с людьми так, чтобы друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.

Домашнее задание:

• п. 54
• № 483 (в); № 484 (б, г); 486(б, в)