Теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми

Предмет: геометрия Тема: признаки параллельности двух прямых, теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми

Подготовила материал: Учитель по математике, МБОУ СШ № 30 города Дзержинск: Кобякова Анна Викторовна

Введение

Прямая «с» называется секущей по отношению к прямым «а» и «b», если она пересекает их в двух точках. При пересечении прямых «a» и «b» секущей «с» образуется восемь углов, некоторые на рисунке 1 обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6

Односторонние углы:4 и 5, 3 и 6

Соответственные углы:1 и 5, 4 и 8, 2 и 6,3 и 7.

Рис.1

Теорема №1

• Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
• Дано: прямые a и b, АВ- секущая угол 1 и угол 2- накрест лежащие, угол 1 = углу 2 (Рис.3)
• Доказать a || b

Теорема №1

• 1 случай

Предположим, что 1 = 2 = 90 градусов, т.е. эти углы прямые, получим «а» перпендикулярно АВ и «b» перпендикулярно АВ (Рис.4), следовательно, a||b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).

Теорема №1

• 2 случай

• Предположим, что угол 1 и угол 2 - не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой «a» и продолжим его до пересечения с прямой «b» , точку пересечения ОН с прямой «b» обозначим Н1 (Рис. 5).

Теорема №1

• Получим ОНА = ОН1В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН1, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. угол 3 =угол 4, АО = ОВ, т.к. О - середина АВ, угол 1 = угол 2 по условию), следовательно, угол 5 =угол 6, значит, угол 6 - прямой, также как и угол 5 (т.к по построению ОН ).

• Получаем, НН1 перпендикулярен «а» как и НН1 к «b», значит a||b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.

Теорема №2

• Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Дано: прямые a и b, АВ - секущая, угол 1 и угол 2 - соответственные, отсюда угол 1 = 2 (Рис.6).

• Доказать: a||b

Теорема №2

• Доказательство:
• По условию угол 1 = угол 2 и угол 2 = угол 3, т.к.они вертикальные, откуда угол 1 = угол 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

Теорема №3

• Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
• Дано: прямые и , АВ - секущая, угол 1 и угол 2 - односторонние,угол 1 + угол 2 = 180 градусом (Рис.7).
• Доказать:a||b

Теорема №3

• Доказательство:
• Углы 3 и угол 2 - смежные, значит по свойству смежных углов угол 3 + угол 2 = 180 градусов, откуда 3 угол = 180 градусов – 2 угол, при этом 1 угол + 2 угол = 180 градусов, откуда угол 1 = 180 градусов – 2 угол, тогда 1 угол = 3 угол, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно a||b, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

Задачи к теме

Введение к теме: «теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми»

• Во всякой теореме различают две части: Условие и Заключение. Условие теоремы-это то, что дано, а заключение-то, что требуется доказать.
• Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак параллельности двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: «при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны» (это дано), а заключением-вторая часть: «прямые параллельны» (это требуется доказать)

Введение к теме: «теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми»

• Теоремой обратной данной называется такая теорма, в которой условием является заключение данной теоремы ,а заключением условием данной теоремы.
• Для этого докажем теоремы обратные трем теоремам

Теоремы

• Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
• Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
• Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство к теоремам

• Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей MN (c). Докажем, что накрест лежащие углы 3 и 6 равны. Допустим, что углы 3 и 6 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 6, так, чтобы угол PMN и угол 6 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР||b. Мы выяснили, что через точку М проходят две прямые (прямые a и МР), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и угол 3 равен углу 6.

Задачи к теме