Решение задач по теме "Четырехугольники"

данная презентация позволит учащимся расссмотреть широкий спектр задач по данной теме

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме "Четырехугольники"»

МБОУ «Многопрофильный лицей № 11 им. В. Г. Мендельсона»

Задачи

по теме

четырехугольники

Учитель математики

и информатики

Умерова Гузель

Рустамовна

Задачи

по теме

четырехугольники

Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником .

Теорема (Признак прямоугольника.) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Признак

AC=BD

Доказательство.

Треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам ( AB=DC, BD=CA, AD – общая сторона). Отсюда следует, что ﮮ А = ﮮ D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ﮮ А = ﮮ С и ﮮ B = ﮮ D. Таким образом, ﮮ А = ﮮ В = ﮮ С = ﮮ D. Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому ﮮ А+ ﮮ B+ ﮮ С+ ﮮ D = 360˚. Следовательно,

ﮮ A= ﮮ B= ﮮ C= ﮮ D=90˚ , то есть параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом .

Можно сказать, что квадратом является ромб, у которого все углы прямые.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойства

Все углы квадрата прямые. (рис.1)

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, делят углы квадрата пополам. (рис.2)

Рис.1

Доказательство.

Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, то есть ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Рис.2

Ромб

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом .

Теорема. (Признак ромба.) Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойства

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

AB=BC=CD=AD

Доказательство.

По определению ромба AB = AD , поэтому треугольник BAD – равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, АО – медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому АС перпендикулярна BD и ﮮ BAC= ﮮ DAC.

Задачи

ABCD – прямоугольник.

55 ˚

Найти: ﮮ COD; ﮮ ACD.

Доказать: BN=CM.

B 1

4 .

3 .

60 ˚

C 1

А 1

C 1

D 1

Доказать: A 1 B 1 C 1 D 1 - ромб .

Дано: ОЕ = 4 .

Найти: АС.

Задачи

ABCD – ромб.

50 ˚

75 ˚

Найти: ﮮ ABC.

Найти: ﮮ BDC.

8 .

55 ˚

20 ˚

Найти: ﮮ B А D.

Задачи

ABCD – ромб.

10 .

Доказать: BM = BN.

Доказать: BE = DF.

12 .

11 .

Доказать: OK = OP.

Доказать: КВ = К D .

ﮮ ABN= ﮮ MCD c )Треугольник ABN = DCM ( AB=CD, ﮮ A= ﮮ B=90˚, ﮮ ABN= ﮮ MCD ); Следовательно, BN=CM. 2. a) ﮮ ACB=180˚-90 ˚ -55 ˚=35 ˚ (ABC – прямоугольный треугольник ); b) ﮮ С OD =180 ˚ -55 ˚ -55 ˚ =70 ˚ ( BOA – равнобедренный треугольник). 3. Из треугольника BOE ( ﮮ E=90 ˚ , ﮮ B=30 ˚ ) OB=2OE=8, BD=2OB=16. AC=BD=16. 4. Прямоугольные треугольники A 1 BB 1 , B 1 CC 1 , C 1 DD 1 ,D 1 AA 1 равны ( A 1 B=CC 1 =C1D=AA 1 , BB 1 =B 1 C=DD 1 =D 1 A ). Следовательно, A 1 B 1 =B 1 C 1 =C 1 D 1 =D 1 A 1 , т.е. A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб. 5. ﮮ BDC=(180 ˚-50 ˚)/2=75 ˚( треугольник BCD равнобедренный ). 6. ﮮ ABC= ﮮ ADC=180 ˚ -75 ˚ =105 ˚ ( т.к. ﮮ ABC и ﮮ ADC противолежащие ). 7. ﮮ BAD=180 ˚-55˚-55˚=70˚ ( равнобедренные треугольники А BD = BCD) 8. ﮮ BDC=180 ˚-90˚-20˚=70˚ ; ﮮ B С D=180˚-70˚-70˚=40˚= ﮮ BAD. Прямоугольные треугольники ABM и NBC равны ( AB=BC, ﮮ A= ﮮ C ) , = BM=BN. 10 . Прямоугольные треугольники ADF и ABE равны ( AB=AD, ﮮ A – общий)= BE=DF. 11 . Прямоугольные треугольники OKC и OPC равны ( OC - общая , ﮮ DCO= ﮮ BCO )= OK=OP. 1 2. Прямоугольные треугольники KBO и KDO равны ( KO - общая , BO=OD ) = KB=KD." width="640"

Ответы

1. a) ﮮ ABN= ﮮ NBC=45˚, т. к. ﮮ ABC =90˚. b) ﮮ ВС M= ﮮ M С D=45˚, т. к. ﮮ BCD =90˚.

= ﮮ ABN= ﮮ MCD

c )Треугольник ABN = DCM ( AB=CD, ﮮ A= ﮮ B=90˚, ﮮ ABN= ﮮ MCD ); Следовательно, BN=CM.

2. a) ﮮ ACB=180˚-90 ˚ -55 ˚=35 ˚ (ABC – прямоугольный треугольник ); b) ﮮ С OD =180 ˚ -55 ˚ -55 ˚ =70 ˚ ( BOA – равнобедренный треугольник).

3. Из треугольника BOE ( ﮮ E=90 ˚ , ﮮ B=30 ˚ ) OB=2OE=8, BD=2OB=16. AC=BD=16.

4. Прямоугольные треугольники A 1 BB 1 , B 1 CC 1 , C 1 DD 1 ,D 1 AA 1 равны ( A 1 B=CC 1 =C1D=AA 1 , BB 1 =B 1 C=DD 1 =D 1 A ). Следовательно, A 1 B 1 =B 1 C 1 =C 1 D 1 =D 1 A 1 , т.е. A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб.

5. ﮮ BDC=(180 ˚-50 ˚)/2=75 ˚( треугольник BCD равнобедренный ).

6. ﮮ ABC= ﮮ ADC=180 ˚ -75 ˚ =105 ˚ ( т.к. ﮮ ABC и ﮮ ADC противолежащие ).

7. ﮮ BAD=180 ˚-55˚-55˚=70˚ ( равнобедренные треугольники А BD = BCD)

8. ﮮ BDC=180 ˚-90˚-20˚=70˚ ; ﮮ B С D=180˚-70˚-70˚=40˚= ﮮ BAD.

Прямоугольные треугольники ABM и NBC равны ( AB=BC, ﮮ A= ﮮ C ) , = BM=BN.

10 . Прямоугольные треугольники ADF и ABE равны ( AB=AD, ﮮ A – общий)= BE=DF.

11 . Прямоугольные треугольники OKC и OPC равны ( OC - общая , ﮮ DCO= ﮮ BCO )= OK=OP.

1 2. Прямоугольные треугольники KBO и KDO равны ( KO - общая , BO=OD ) = KB=KD.

Упражнение 1

Из точки D , принадлежащей гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC , проведены две прямые, параллельные катетам. Сумма периметров получившихся треугольников AKD и DLB равна 10 см. Найдите периметр данного треугольника ABC .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 2

Два равных прямоугольных треугольника приложили один к другому таким образом, что их гипотенузы совпали, а неравные острые углы приложились один к другому. Какой при этом получился четырехугольник?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 3

Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом 60 о . Найдите диагонали прямоугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 4

В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 5 см.Найдите диагонали данного прямоугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 5

Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Какие углы образуют диагонали со сторонами прямоугольника?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 6

Тупой угол между диагоналями прямоугольника равен 120  . Чему при этом будет равно отношение его меньшей стороны к диагонали?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 7

Существует ли четырехугольник, не являющийся прямоугольником, диагонали которого были бы равны?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 8

Верно ли утверждение о том, что если в четырехугольнике один угол прямой, а диагонали равны, то он является прямоугольником?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 9

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH , равная 3 см. Из точки H опущены перпендикуляры HK и HL на катеты треугольника. Найдите расстояние между точками K и L .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 10

Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 11

В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен 50 о . Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 25 о и 65 о .

Упражнение 12

Перпендикуляр BH , опущенный из вершины B прямоугольника ABCD на его диагональ AC , делит угол B в отношении 2:3. Найдите: а) углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами; б) угол между перпендикуляром BH и диагональю BD .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой