Признаки параллелограмма 8 кл

Геометрия 8 класс Признаки параллелограмма

Учитель математики Степанова О.А

Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Дано:

АВСD – четырехугольник

AB l l CD, AB = CD

В

С

4

2

Доказать:

АВСD - параллелограмм

1

Доказательство:

рассмотрим ∆ АВС и ∆ ADC,

3

D

A

AC - общая , AB = CD (по условию)

∆ АВС = ∆ ADC

(по 1-му признаку

1 = 2 (как накрест лежащие углы углы при АВ l lСD сек. АС ), поэтому

),

равенства треуг.)

но

BC l l AD

АВСD - параллелограмм

Решите задачу. В четырехугольнике ABCD  1=  2, ВС = АD. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

B

C

1

2

D

A

Так как по условию, и они накрест лежащие при прямых ВС и АД и секущей ВД, то ВС ll АД. По условию ВС = АД. Значит по первому признаку АВСД параллелограмм

Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

В

С

Дано:

АВСD – четырехугольник

AB = CD, BC = AD

2

Доказать:

АВСD - параллелограмм

1

Доказательство:

Проведем диагональ АС и рассмотрим ∆ АВС и ∆ ADC,

D

А

∆ АВС = ∆ ADC

(по 3-му признаку

равенства треуг.)

AC - общая , AB = CD, BC = AD (по условию)

поэтому

АВСD - параллелограмм

AB l l CD и AB = CD

1 = 2

(по 1-му признаку параллелогр.)

Решите задачу. В четырехугольнике ABCD  1=  2, ВС = АD. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

C

B

1

2

D

A

по первому признаку равенства треугольников (ВД – общая,

ВС = АД по условию). Значит АВ = СД , следовательно АВСД параллелограмм по второму признаку параллелограмма

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Дано: АВСD - четырехугольник

ВD AC = O,

АО = ОС и ВО = ОD

С

В

Доказать:

ABCD - параллелограмм

2

O

4

Доказательство:

рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СОD,

3

1

АО = ОС и ВО = ОD (по условию)

3= 4 (как вертикальные)

D

А

∆ АОВ = ∆СОD

(по 1-му признаку рав. треуг.)

АВ = СD и 1 = 2

АВ l l СD ( по призн. парал. прямых)

ABCD – параллелограмм

(по 1 призн. параллелогр.)

Итак, АВ = СD и АВ l l СD

Решите задачу. В четырехугольнике ABCD  1=  2, ОА =ОС. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

B

C

1

О

2

D

A

по стороне и прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует, что ВО = ОД, значит диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам АВСД – параллелограмм.

Решите задачу. В параллелограмме ABCD точки A₁, B₁, C₁, D₁ - середины отрезков OA, OB, OC, OD

B

C

B₁

C₁

O

A₁

D₁

D

A

Докажите , что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм

Решение

B

C

B₁

C₁

O

A₁

D₁

A

D

Так как АВСД параллелограмм, то ВО=ОД, АО=ОС по 2 свойству параллелограмма (диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). По условию задачи точки А 1 , В 1 , С 1 , Д 1 середины отрезков ОА, ОВ, ОС, ОД, то В 1 О=ОД 1 , А 1 О=О С 1 , а значит диагонали четырёхугольника А 1 В 1 С 1 Д 1 точкой пересечения делятся пополам, следовательно А 1 В 1 С 1 Д 1 - параллелограмм.

Итог

АВ ll СД и ВС ll СД

АВСД - параллелограмм

АВ ll СД и АВ = СД

АВСД - параллелограмм

АВ = СД и АД = ВС

АВСД - параллелограмм

АО = ОС и ВО = ОД

АВСД - параллелограмм

Домашнее задание

Пункт 43 стр. 102, задача 380