Задача о движении заряженных частиц в магнитном поле

Контур с током в магнитном поле. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле.

Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов.

 Закон Ампера: сила   с которой магнитное поле действует на элемент проводника   с током   , находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока   и векторному произведению элемента длины   на магнитную индукцию   :

Если   , 

Направление силы Ампера определяется правилом левой руки.

 Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами   и   , расположенных в вакууме на расстоянии   . Каждый из проводников создает магнитное поле, которое по закону Ампера действует на другой проводник.

Определим силу, с которой магнитное поле тока   , действует на элемент   второго проводника с током 

Рассуждая аналогично, можно показать, что

 .

По III закону Ньютона   т.е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

Аналогично можно доказать, что токи противоположного направления отталкиваются с такой же силой.

Если I₁ = I₂ = 1A, r=1м, l=1м, F₁ = F₂ = 2×10^-7H ® определение 1A.

Контур с током в магнитном поле. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле.

 Магнитный момент контура с током - это векторная физическая величина численно равная произведению силы тока на площадь контура.

1 А×м² - это магнитный момент контура с током силой 1А, площадь которого равна 1м².

 - единичный вектор внешней нормали к поверхности S, ограниченной контуром с током.

 Внешней (положительной) называется нормаль, которая связана с направлением тока в контуре правилом правого винта. Таким образом, направление   определяется правилом правого винта: если рукоятку винта вращать по току в контуре, поступательное движение винта совпадет с направлением   .

Поместим в однородное магнитное поле с индукцией   рамку с током   так, чтобы плоскость рамки была параллельна магнитным силовым линиям. При этом на стороны рамки, перпендикулярные силовым линиям (   и   ) будут действовать силы   и   , создающие вращающий момент сил относительно закрепленной оси вращения 00¢.

где   - площадь рамки,

p_m - магнитный момент рамки с током.

Вращающий момент стремится привести контур в положение устойчивого равновесия, при котором векторы   и   сонаправлены, т.е. ориентированы параллельно друг другу. При этом М=0, силы   действуют в одной плоскости, они лишь деформируют рамку (растягивают).

  Следовательно, действие однородного магнитного поля на рамку (контур) с током сводится к повороту   в направлении, параллельном   (   сонаправлено   ).

Из предыдущей формулы может быть дано определение   : модуль вектора магнитной индукции в данной точке магнитного поля равен максимальному вращающему моменту сил, действующих на рамку с током, обладающую единичным магнитным моментом:

Если поле неоднородно, под действием силы незакрепленный контур с током втягивается в область более сильного магнитного поля.

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна сторона контура изготовлена в виде подвижной перемычки), то под действием силы Ампера он будет перемещаться в магнитном поле, т.е. сила Ампера совершает работу по перемещению проводника с током в магнитном поле. Для ее определения рассмотрим проводник длиной   с током I, который может свободно перемещаться в однородном магнитном поле с индукцией   .

 Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на dx из положения 1 в положение 2 . Работа, совершенная при этом:

 ,

где dS=ldx - площадь, пересекаемая проводником при его движении;

dI_m = BdS - магнитный поток, пронизывающий эту площадь.

Полученная формула справедлива и для произвольного направления

вектора   , т.к.   можно разложить на нормальную B_n и тангенциальную (по отношению к плоскости контура) составляющие.

Поскольку B_t в создании F не участвует, то

dA = I B_nldx = I B_ndS = I dФ_m

Если   =const, A = I Ф_m,

т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

Работа совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего неизменным ток в контуре, или в перемещаемом проводнике.

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле. Для упрощения вычислений рассмотрим контур прямоугольной формы, плоскость которого перпендикулярна   и с которым сцеплен магнитный поток Ф_m1. Поскольку магнитное поле в общем случае может быть неоднородным, при перемещении контура 1234 в плоскости чертежа в новое положение 1¢ 2¢ 3¢ 4¢ с ним будет сцеплен магнитный поток Ф_m2. Магнитный поток сквозь площадку 432¢1¢ обозначим Ф_m.

Полная работа, совершаемая при перемещении контура, равна алгебраической сумме работ, совершаемых при перемещении 4-х сторон:

A = A₁₂ +A₂₃ +A₃₄ +A₄₁

A₂₃ = A₄₁ = 0 (т.к. F₂₃ и F₄₁ перпендикулярны перемещению)

Т.к. сила   составляет с вектором перемещения 180⁰, A₁₂

A₁₂ = - I(Ф_m1 + Ф_m)

Сила   сонаправлена с вектором перемещения, A₃₄0

A₃₄ = I(Ф_m + Ф_m2)

А = I(-Ф_m1-Ф_m+Ф_m +Ф_m2)= I(Ф_m2-Ф_m1) = IDФ_m, (1)

где DФ - изменение магнитного потока через площадку, ограниченную замкнутым контуром.

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении замкнутого контура с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

Соотношение (1), полученное для простейшего случая, справедливо для контура любой конфигурации в произвольном магнитном поле при любых его перемещениях (вращении, сминании и т.п.).

 В частности, при повороте контура в однородном магнитном поле из положения 1, при котором   в положение 2, при котором   над контуром совершается работа:

Если контур неподвижен, а изменяется значение или направление   , работа рассчитывается также по формуле (1).

Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле.

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на заряд q ,движущийся в магнитном поле   со скоростью   , называется силой Лоренца.

 - установлено опытным путем

  Направление силы Лоренца определяется для положительных зарядов правилом левой руки (т.к. направление   и   для   совпадают): если ладонь левой руки расположить так, чтобы вектор   входил в нее, а 4 вытянутых пальца сонаправить с движением положительного заряда, то отогнутый большой палец покажет направление силы Лоренца.

Для отрицательных зарядов берется противоположное направление.

Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости заряда   и сообщает ему нормальное ускорение. Не изменяя модуля скорости, а лишь изменяя ее направление, сила Лоренца не совершает работы и кинетическая энергия заряженной частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля действует и электрическое поле напряженностью   , то результирующая сила

 - формула Лоренца.

1 . Движение заряженной частицы вдоль силовой линии,   .

   ,

магнитное поле не действует на частицу.

Заряженная частица движется по инерции равномерно прямолинейно.  

2. Движение заряженной частицы перпендикулярно силовым линиям,   .

  Пусть в однородное магнитное поле с индукцией   влетела заряженная частица массой m с зарядом q перпендикулярно магнитным силовым линиям со скоростью   .

В каждой точке поля на частицу действует   . Т.к.   , то   . Ускорение   изменяет только направление скорости,   , значит,   . В этих условиях тело (заряженная частица) движется равномерно по окружности.

Согласно II закону Ньютона:

 (1)

Т.к. все величины, входящие в (1), постоянны, радиус кривизны R будет оставаться постоянным. Постоянный радиус кривизны имеет только окружность. Следовательно, движение заряда в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, будет происходить по окружности. Чем больше   , тем меньше R. При   , т.е. заряд движется по прямой.

Важным результатом для приложения является тот факт, что период обращения заряда в однородном магнитном поле не зависит от его скорости. 

 если   . (2)

Частицы, имеющие бóльшую скорость, движутся по окружности бóльшего радиуса, однако время одного полного оборота будет таким же, что и для более медленных частиц, движущихся по окружности меньшего радиуса. Данный результат положен в основу действия циклических ускорителей элементарных частиц.  

 3. Движение заряженной частицы произвольно по отношению к линиям магнитной индукции.

Вектор скорости можно разложить на 2 составляющие:

В направлении   сила Лоренца на заряд не действует, поэтому в этом направлении он движется равномерно, прямолинейно с   . В направлении, перпендикулярном   , он движется по окружности со скоростью   Движение заряда представляет собой суперпозицию этих двух движений и происходит по винтовой линии, ось которой параллельна   .

Радиус витка с учетом (1):

 (3)

Ш аг винтовой линии (расстояние между соседними витками)

с учетом (2):

   .

Если движение происходит в неоднородном магнитном поле, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то R уменьшается с ростом В согласно (3). На этом основана фокусировка пучка заряженных частиц в магнитном поле. Таким образом, с помощью неоднородного магнитного поля можно управлять пучками заряженных частиц, собирать их или рассеивать подобно тому, как управляют поведением пучков световых лучей с помощью оптических линз.

Рассмотренный принцип положен в основу действия электронных микроскопов.

Ускорители заряженных частиц.

Свойство независимости периода от скорости обращения используют для того, чтобы превратить траекторию ускоряемой частицы в спираль и уменьшить размеры ускорителя. Такой принцип положен в основу работы циклотрона - родоначальника целого семейства ускорителей с магнитным полем: синхротрона, синхрофазотрона и т.д.

Ускорительная камера циклотрона представляет собой вакуумную цилиндрическую коробку, помещенную между полюсами сильного электромагнита. Камера состоит из двух металлических половинок - дуантов, между которыми создается с помощью генератора переменное электрическое напряжение с амплитудой порядка   (поле только в зазоре). Частицы вводятся внутрь камера с помощью специального впускного устройства (А).

При каждом пересечении зазора частица приобретает энергию DE₁ = qU. За N оборотов DE = qUN, DE_max~10⁷эВ.

Большая энергия в циклотроне не может быть достигнута: как следует из теории относительности: m = f(V), а при росте массы уменьшается частота обращения.

В синхроциклотронах (фазотронах) медленно уменьшается частота подаваемого напряжения.

Фазотрон - изменяется n.

В синхротронах меняется индукция магнитного поля   .

Синхротрон - изменяется 

В синхрофазотронах - изменяется n и B.

DE~10⁹ - 10¹⁰ эВ.

Ускорители заряженных частиц - устройства, в которых создаются и управляются пучки высокоэнергетических заряженных частиц под действием электрических и магнитных полей.

Принцип автофазировки предложены советским физиком Векслером (1944 г.) и американским Мак-Милланом (1945 г.). 

Магнитогидродинамический (МГД) генератор - установка для непосредственного преобразования тепловой энергии в электрическую (создан в 50-х годах).

Это источник тока, принцип действия которого основан на действии магнитного поля на заряженные частицы плазмы электролитов и жидких металлов. Плазма представляет собой поток раскаленного газа, все молекулы которого ионизированы высокой температурой (~2000K).

 Поток плазмы, проходя через расширяющееся сопло, ускоряется до 2000-2500 м/с и попадает в сильное магнитное поле, разделяющее положительные и отрицательные заряды, отбрасывая их на электроды. При этом во внешней цепи возникает электрический ток.

 т.к. T_пл Т_{вн.среды}, h - велико.

Применение:

1) в ускорителях;

2) в НГД - генераторах;

3) датчиках Холла;

4) для осуществления управляемых термоядерных реакций;

5) при регистрации и исследовании заряженных частиц;

6) в магнетронах.