Геометрическое моделирование при решении задач по физике

1.Введение

Методологическая основа моделирования заключается в следующем. Исследование объектов и систем объектов окружающего мира зачастую начинается с построения гипотезы об их устройстве, функционировании и динамике развития. Гипотезы строятся на основании опытных данных, догадок или наблюдений. Любая гипотеза должна быть проверена в ходе эксперимента. Когда мы начинаем строить гипотезу, то, как правило, основываемся на каких-то проверенных опытным путём аналогиях. Что есть аналогия? Это некоторое суждение о частичном сходстве двух объектов. Именно на аналогии строятся современные научные гипотезы, которые сводятся, например, к упрощённым и удобным для исследования логическим схемам рассуждений. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения, построения, сам эксперимент, и называются моделями.

Таким образом, модель — это некий заместитель объекта-оригинала, обладающий существенными для исследователя свойствами оригинала.

Соответственно, моделирование — это замещение одного объекта другим с целью получения информации о свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели. Физическое моделирование предусматривает воссоздание в физической модели тех же самых или аналогичных физических полей, что действуют и в объекте натуры, лишь измененных по своим абсолютным значениям в соответствии с масштабом моделирования. Одним из основных преимуществ физического моделирования является возможность осуществления прямых наблюдений за моделируемыми процессами и явлениями, иногда это преимущество является решающим.

В физическом моделировании выделяется аналоговое моделирование, которое предусматривает замену в модели по сравнению с натурой одних физических полей другими, например замену натурного поля механических напряжений электрическим полем в модели или замену поля механических напряжений картиной оптической анизотропии в оптически чувствительных прозрачных материалах. Таким образом, на аналоговых моделях изучают закономерности явлений и процессов, протекающих в натурных объектах, используя математическую аналогию различных по физической природе процессов, т. е. математическую тождественность основных законов, совпадение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы.

Жизнь, особенно техника, а также очень многие науки, ставят перед физикой всё новые и новые задачи. Физикам приходиться создавать методы, обеспечивающие решения возникающих в различных науках и практике задачах. Решение всякой задачи – это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми часто приходиться пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются рассуждениями. Наблюдения показывают, что основная причина всех допускаемых детьми ошибок кроется в неправильной организации первичного восприятия задачи и её анализа без должного уяснения жизненной ситуации, отраженной в задаче, и без её графического моделирования. Каждый ученик должен уметь не только записывать кратко условие задачи, но и проиллюстрировать условие с помощью рисунка, схемы или чертежа.

Чтобы каждый ученик понял задачу, уяснил, о чём эта задача, что в ней известно, что надо узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми и так далее, необходимо везде, где только можно использовать моделирование ситуации, отраженной в задаче.

Что же понимается под моделированием задачи? Моделирование в широком смысле слова - это замена действий с обычными предметами действиями с их уменьшенными образцами, моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими изображениями: условными знаками, рисунками, схемами, чертежами. Наглядность, особенно графическая, нужна на всём протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления, побуждает активно мыслить, рассуждать, искать другие пути решения.

Под «моделированием» будем понимать инвариантные изменения схемы задачи, которые приводят к существенному упрощению ее решения. При этом «модельные изменения» не должны изменять основную схему задачи. Искусству моделирования нельзя научиться теоретически. Нет и общих алгоритмов моделирования. Рассматриваемые ниже примеры должны составить суть метода моделирования и его возможности.

2.Цель моделирования

Наверное, самым важным этапом моделирования является определение цели моделирования на этапе постановки задачи. Вполне естественно, что именно цель позволяет определить, какие характеристики объекта-оригинала считать существенными, а какими можно пренебречь. Цель определяет, каковы будут методы решения поставленной задачи, какие средства, например, программная среда, будут выбраны, и каким образом будут отображены результаты исследования. Если биолог постарается рассмотреть, например, полено с точки зрения биологии и определит возраст срубленного дерева, то художник увидит некое творческое применение красиво искривлённому сучку, то есть модель отображает не объект-оригинал, а то, что в нём интересует и соответствует выбранной цели моделирования.

В основном модели строятся для познания окружающего мира, и моделирование процессов, явлений, объектов позволяет делать предположения о природе вещей и исследовать построенные с определённой целью модели.

Целями моделирования являются:

• Понимание того, как устроен объект, каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающей средой. Такие модели помогают понять, как устроен конкретный объект, узнать его основные свойства, установить законы его развития и взаимодействия с окружающим миром. В этом случае целью построения модели является познание окружающего мира.

• Управление объектом или процессом и определение наилучших способов управления при заданных целях.

• Создание объектов с заданными свойствами.

• Прогнозирование последствий воздействия на объект.

Например, целью моделирования является конструирование «неваляшки», совершающей интересные движения в зависимости от положения центра тяжести. И учащийся, основываясь на знании законов физики, может сделать самостоятельные предположения о характере движения неваляшки, а в будущем — сконструировать свою собственную, оригинально движущуюся неваляшку.

3. Практическое использование геометрического моделирования при решении физических задач.

Пример 1.а) Как изменится уровень воды в сосуде, если плавающая в нем льдинка растает? б) Как изменится ответ в задаче, если принять во внимание действие атмосферного давления?

Решение: а) Будем постепенно увеличивать плотность льдинки, сжимая ее в вертикальном направлении. Для упрощения принимаем , что льдинка имеет форму правильного параллелепипеда. Очевидно, что при сжатии объем погруженной части льдинки не будет изменяться, так как не должна измениться сила Архимеда (льдинка остается на плаву).Когда верхняя грань льдинки будет на уровне поверхности воды, плотность «сжатого» льда сравняется с плотностью воды. Теперь лед можно растопить и, понятно, что при этом уровень воды в сосуде не изменится.

б) Первоначально докажем, что атмосферное давление уменьшает «осадку» льдины. Для этого «разделим» плавающую льдинку на две части (погруженную в воду и «сухую»). Это разделение представлено на рисунке. Между верхней и погруженной частью мы поместим очень короткие стержни. Эта эквивалентная схема делает очевидным следующее: на погруженную часть действует сила Архимеда со стороны жидкости, а на «сухую» часть действует сила Архимеда со стороны воздуха; дополнительная сила Архимеда уменьшает глубину погружения льдины. При таянии верхняя часть льдины уходит под воду и дополнительная часть силы Архимеда исчезает. Далее, отвечая на поставленный в задаче вопрос , проводим «моделирование» следующим образом. Пусть льдина плавает при наличии атмосферного давления. Льдина погружается глубже, так как уже нет дополнительной силы Архимеда. Уровень воды повышается. Дальнейшее таяние льда уже не меняет этот уровень.

Ответ. При наличии атмосферного давления уровень воды в сосуде после таяния льда должен повысится.

Пример 2. Сообщающиеся сосуды одинакового сечения заполнены водой. В правый сосуд опускают кубик, плотность материала которого в 2 раза меньше плотности воды. Определите величину повышения уровня воды в сосудах. Ребро кубика равно a. Площадь сечения сосудов:

.

Решение. Величина изменения уровня воды не изменится, если мы изменим форму плавающего тела. Превратим кубик в «таблетку» (цилиндрик) с площадью сечения, равной площади сечения сосуда. Высота цилиндрика:

.

Опускаем цилиндрик в правый сосуд. По условию задачи цилиндрик должен плавать, погружаясь на половину своей высоты. Удалим из правого сосуда соответствующую часть воды (столбик высотой ). Кубик плавает, и уровень воды в сосудах не изменился. Делим удаленный объем воды на две равные части и добавляем в оба сосуда. Высота одной части воды и составит искомое изменение уровня воды в сосудах:

.

Стандартное решение не сложнее решения с использованием моделирования. Объем погруженной части:

Этот объем воды и определяет изменение уровня воды в сосудах:

Пример 3. Однородная цепь (нить) висит на двух гвоздях, вбитых в стену на разной высоте. Определите разность модулей сил натяжения в точках подвеса. Масса цепочки m, длина l, разность высот точек подвеса h.

Решение. Изменим схему подвеса цепочки так, как это показано на втором рисунке. Цепочку нужно сделать кольцевой и повесить ее на прямоугольный «гладкий» треугольник.

Форма нижней части цепочки при таком изменении не меняется, и, следовательно, не изменяются и силы в точках 1 и 2. Далее. Силы натяжения в точках 2 и 3 равны (участок цепи 2-3 горизонтален). Отсюда следует очевидный результат:

Где линейная плотность цепи.

Разница сил уравновешивает вертикальный кусок цепи. Интересно отметить, что полученная формула совпадает с формулой гидростатического давления в жидкости.

Пример 4. Определите координату центра масс однородного диска с отверстием .Радиус отверстия в два раза меньше радиуса диска. Отверстие «касается» края диска.

Решение. Эта известная задача решается с использованием метода «отрицательной» массы. Отверстие в диске моделируется наложением на целый «положительный» диск малого диска с отрицательной массой. Этим задача сводится к определению центра масс двух дисков с известными координатами их центров масс. В нашем случае:

Подстановка значений в общую формулу координаты центра масс приводит к следующему результату:

Пример 5. Пусть стеклянная бутылка плавает в цилиндрическом сосуде с водой. Внутренняя площадь дна сосуда S = 250 см2. Из чайника в бутылку медленно наливают воду и, когда масса воды достигнет m = 300 г, бутылка начинает тонуть. Оказалось, что когда весь воздух из бутылки вышел, уровень воды в сосуде изменился на h = 0,60 см по сравнению с тем моментом, когда в бутылку начали наливать воду. Вычислите вместимость бутылки.

Решение.

Пример 6. Цилиндрический сосуд заполнен водой. В него опускают льдинку, внутри которой находится золотое украшение. Льдинка тонет, и уровень воды в сосуде повышается на величину h. После того, как лед растаял, уровень воды в сосуде изменился на величину h.

Определите:

знак изменения уровня воды в сосуде после таяния льда;

объем золотого украшения;

силу давления льдинки на дно сосуда в начале опыта.

Считать известными следующие величины: (площадь сечения сосуда, первое изменение уровня, второе изменение уровня, плотность воды, плотность льда, плотность золота, ускорение свободного падения).

Решение.

Пример 7. Объясните, почему сосиска при варке лопается «вдоль», а не «поперёк»?

Решение.

4.Заключение.

Итак, хотелось бы подвести итог. Я считаю, что выбранная мной тема для написания курсовой работы в настоящее время очень актуальна. Решение задач по физике в школе у большинства детей вызывает затруднение. Поэтому я предлагаю учителям, школьникам, студентам при решении задач по физике использовать геометрическое моделирование.Этот метод позволяет учащимся максимально понять условие данной задачи, представить себе ту физическую картину, о которой говорится в задачи. Это помогает учащимся правильно выбрать тот или иной ход решения задачи, объяснить происходящие физические явления, в том числе и в быту.

В работе я продемонстрировала использование геометрического моделирования на различных типах задач. Геометрическое моделирование находит применение в различных областях. И выбор в его пользу не случаен. Помимо понимания и представления физических явлений и процессов, этот метод осуществляет прогнозирование последствий воздействия на объект, и, вследствие, этого позволяет улучшить его управление.

8