Свойства логарифмов.

Открытый урок по теме «Свойства логарифмов» в 11 классе

Е.В. Конышева, учитель математики МАОУ СОШ №33

Цели урока:

• закрепить и обобщить определение логарифма, свойств логарифма;

• исследовать влияние преобразований логарифмических выражений на их область допустимых значений.

I Устная работа.

1. Определение логарифма.

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получилось число b. Вычислить:

1. Свойства логарифмов для положительных чисел и положительного основания, причем еще, основание не равно единице.

На доске:

11 ) свойство перехода к новому основанию

II Тест с самопроверкой.

Задание: Вычислите и укажите номер свойства логарифмов, которым вы
воспользовались в ходе решения.

Оценка: «3» – 5-6 заданий;

«4» – 7-8 заданий;

«5» – 9 заданий.

Вопросы по тесту: Кто выполнил задание? Где ошиблись? В чем ошиблись? В чем испытывали затруднения?

III Способы решения логарифмических уравнений.

Теоретическая часть.

Задание: Назовите известные вам способы решения логарифмических уравнений.

Ответ:

1. По определению логарифма.

2. Метод логарифмирования.

3. Метод замены переменной.

4. Преобразование суммы в произведение.

5. Метод потенцирования.

6. Функционально – графический метод.

Практическая часть.

Задание: Укажите, каким способом можно решить уравнения:

IV Исследовательская работа.

«Исследование влияния преобразований логарифмических выражений на их область допустимых значений»

Теоретическая часть.

Вопросы:

1. Что происходит с ОДЗ при замене log₂(x(x+3)) на log₂x + log₂(x +3)?

2. Что происходит с ОДЗ при обратной замене?

3. В каком случае могут потеряться корни?

4. В каком случае могут образоваться посторонние корни?

Учащиеся высказывают свою гипотезу.

Ответы:

1) ОДЗ сужается. 2) ОДЗ расширяется. 3) При сужении ОДЗ. 4) При расширении ОДЗ.

Практическая часть. Работа в парах.

1 этап.

1 вариант.

1. Найдите ОДЗ уравнения log₅(3x – 2) + log₅(x – 7) = 2 + log₅2.

2. Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов.

3. Найдите ОДЗ полученного уравнения и сравните её с исходной. Как изменилась ОДЗ (расширилась или сузилась)?

4. Решите уравнение.

5. Выполните проверку. Дайте ответ.

6. Появились ли в ходе решения посторонние корни? Объясните причину их появления.

2 вариант.

1. Найдите ОДЗ уравнения log₃(x – 2)⁶ = 17 – log₂32.

2. Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов.

3. Найдите ОДЗ полученного уравнения и сравните её с исходной. Как изменилась ОДЗ (расширилась или сузилась)?

4. Решите уравнение.

5. Выполните проверку. Дайте ответ.

6. Появились ли в ходе решения посторонние корни? Объясните причину их появления.

2 этап.

Коллективное обсуждение полученных результатов. Формулировка выводов.

Вывод: Некоторые формулы действий с логарифмами обладают тем свойством, что при их использовании ОДЗ уравнения либо расширяется, либо – сужается. И если первую ситуацию легко исправить проверкой их выполнения для найденных решений, то вторая ситуация совершенно недопустима, так как может привести к потере решений.

Решение 1 варианта.

1. Проверкой убеждаемся, что х = 9 – корень, х = посторонний корень.

Ответ: 9

1. Посторонний корень появился в результате расширения ОДЗ.

Решение 2 варианта

1. ОДЗ: x ≠ 2

2. log₃(x – 2)⁶ = 17 – log₂32,

3. 6log│x – 2│= 17 – 5,

6log₃│x – 2│= 12,

log₃│x – 2│= 2,

1. ОДЗ: х ≠ 2

Вывод: ОДЗ не изменилась

1. │x – 2│= 9,

x – 2 = 9 или x – 2 = – 9

х = 11 х = – 7

1. Проверкой убеждаемся, что х =11 – корень, х = – 7 – корень.

Ответ: - 7; 11

V Итог урока.

VI Домашнее задание: 43.3(в,г), 43.12(в,г), 43.27