Решение однородных тригонометрических уравнений.

Урок алгебры и начал анализа, 10-й класс, "Методы решения однородных тригонометрических уравнений" Цели и задачи урока.   Образовательные: 1. сформировать у учащихся умений решать однородные тригонометрические уравнения; 2. отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений.   Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации; 2.развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.   Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.    Оборудование урока:   1.   Компьютер, проектор, экран, тетради; 2.   чистые листы для самостоятельной работы; 3.   таблицы по тригонометрии: а) значения тригонометрических функций; б) решение тригонометрических уравнений  (частные случаи); в) основные формулы тригонометрии.   Литература:   1.   Мордкович. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс; 2.   Крамор В.С. Повторяем курс алгебры.

Содержание урока.

 

I. Организационный момент.

 

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.

 Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделала неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по - другому? А что будет, если… А быть может, вот так…  А нельзя ли этот способ, метод решения применить в других обстоятельствах?

II. Устный опрос

Решите уравнение

sinx= -1

cos x= 1/2

tg x= -1

sin 2x= -1/2

cos x= - 1/2

tg 2x= 4

sin x= -2

 

2.      Проверка домашнего задания.

3.      Актуализация знаний.

√3tg2x + 1 = 0

    √3tg2x  = – 1

    tg2x = – 1/√3

    2x = arctg (– 1/√3) + πn, n € Z

    2x = – π/6 + πn, n € Z

     x = – π/12 + πn/2, n € Z

 

III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений

 

2sinx – 3cosx = 0

3sin²x – 4sinx cosx + cos²x = 0

 

IV. Усвоение новых знаний

Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, разобрать способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на доске:

 «Это однородные тригонометрические уравнения», и предлагает учащимся записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».

Учитель вывешивает плакат, на котором написано определение однородных тригонометрических уравнений вида:

а sin x + b cos x = 0,  a, b ≠ 0 и

a sin²x + b sin x cos x +  kcos²x = 0,  a,b,k ≠ 0

Учитель: Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cosx = 0 , то получим, что sinx = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).

Итак, рассмотрим решение уравнения:

 а) 2sinx – 3cosx = 0, cosx  ≠ 0

2sinx	–	3cosx	=	0
cosx		cosx		cosx

 2tgx – 3 = 0

2tgx = 3

tgx = 1,5

Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z

                                     

б) 3sin²x – 4sinxcosx + cos²x = 0

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

Вопрос учителя: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

Ответ: Да, каждый.

Вопрос учителя: Какой мы можем сделать вывод?

Ответ: Это уравнение однородное.

Вопрос учителя: Как мы решаем такое уравнение?

Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos²x ≠ 0, т.к. sinx и cosxодновременно нулю равняться не могут.

3sin2x	–	4sinxcosx	+	cos2x	= 0
cos2x		cos2x		cos2x

                                               3tg²x – 4tgx + 1 = 0

Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях.

Решение: пусть  tgx = y

                     3y² – 4y + 1 = 0

                     D = 16 – 4·3·1 = 4

                     y_1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3

tgx = 1                                  или                tgx = 1/3              

x = π/4 + πn, n € Z                                      x = arctg(1/3) + πk, k € Z

 

V. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений нового вида.

На доске записаны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1.      sinx = 2cosx – однородное

2.      √3sin3x – cos3x = 0 – однородное

3.      sin²x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное

4.      2cos²x + 3sin²x + 2cosx = 0 – квадратное

5.      6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0 – однородное

Учащиеся должны назвать вид уравнения и объяснить, как его можно решить.

 

VI. Закрепление нового материала.

Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся решить на доске уравнения под цифрами 2 и 5. по вызову учителя двое учащихся выходят к доске.

 

2) √3sin3x – cos3x = 0,

    cosx ≠ 0

    √3tg3x – 1 = 0

    √3tg3x = 1

    tg3x = 1/√3

    3x = arctg(1/√3) + πn, n € Z

    3x = π/6 + πn, n € Z

     x = π/18 + πn/3, n € Z

 

5) 6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0

     cos²x ≠ 0

     6tg²x – 1 – 5tgx = 0

     Пусть tg x = y

     6y² – 1 – y = 0

     D = 25 – 4·6· (–1) = 49

     y_1,2 = (5 ± 7)/12 = 1; –1/6

                       tgx = 1                              или                     tgx = –1/6

             x = π/4 + πn, n € Z                                      x = arctg(–1/6) + πk, k € Z

Ответ: π/4 + πn; arctg(–1/6) + πk, n,k € Z

Решить по учебнику №18.11(а), в

                                    №18.12    в 

VII. Проверка усвоения нового материала.

 

Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю

 

Самостоятельная работа

 

Вариант 1	Вариант 2
√3cos2x + sin2x = 0 cos2x ≠ 0 √3  + tg2x = 0 tg2x = – √3 2x = – π/3 + πn, n € Z x = – π/6 + πn/2, n € Z	√3 sin5x + cos5x = 0 cos5x ≠ 0 √3tg5x + 1 = 0 tg5x = – 1/√3 5x = arctg(– 1/√3) + πn, n € Z 5x =– π/6 + πn, n € Z x =– π/30 + πn/5, n € Z

 

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их, записать на листках фамилию проверяющего.

Домашнее задание №18.11 б,г; 18.12 (а)

К сожалению, нельзя указать общего метода решения  тригонометрических  уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

И да поможет вам Математика!

 

 

IX. Итог урока:

Вопрос учителя: С каким видом уравнений познакомились?

Ответ: С однородными.

Вопрос учителя: Как решаются эти уравнения?

Ответ: Делением на cosx ≠ 0 или sinx ≠ 0

Вопрос учителя: Что имеем после деления?

Ответ: Уравнение первой или второй степени, которые мы умеем решать.