Разработка урока "Решение тригонометрических уравнений"

Автор: Вовденко Ольга Леонидовна, учитель математики

Место работы: МБОУ СОШ № 61 имени М.И. Неделина г. Липецк

Решение тригонометрических уравнений

Цели урока: – повторить, обобщить, систематизировать материал по теме «Решение тригонометрических уравнений»;

- отработать и закрепить навыки решения различных видов тригонометрических уравнений.

Оборудование: мультимедийное устройство, компьютер, карточки для учащихся с уравнениями, карточки с буквами.

Ход урока

1. Организационный момент

Класс разбивается на 4 группы (можно по желанию детей, можно по жребию, используя разрезанные на части (по количеству членов групп) 4 открытки).

Сегодня у нас урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Решение упражнений (соревнование)

Задание 1. «Составить фразу».

Каждому учащемуся предлагается карточка (с простейшим тригонометрическим уравнением). Ученик решает, подходит к учителю для проверки; если решил верно, то получает карточку с буквами, которую вешает на доску на соответствующий номер (номер карточки) и 2 очка.

Французский писатель Анатоль Франс ( 1844 – 1924 ) однажды заметил: «Учиться можно только весело… что бы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Задание 2. «Найди ошибку». За каждую найденную ошибку – 1 очко.

а) sin (x/3 + π/4 ) = 1/2, б) cos 2x = 0.

х/3 + π/4 = arcsin 1/2 + πk, kz 2x = π/2 + 2πk, kz

х/3 + π/4 = π/4 + πk, x = π + 2πk

х/3 = π/4 + π/4 + πk, Ответ: π + 2πk, kz .

х/3 = π/2 + πk,

х = 3π/2 + πk.

Ответ: 3π/2 + πk, kz .

Задание 3. “Экспресс – опрос”. Каждой группе поочередно показывают уравнение, которое необходимо решить устно (уравнения записаны на карточках).

sin² x = 0 (x = πn); sin² x = 1 (x = π/2 + πn);

cos² x = 0 (x = π/2 + πn); cos² x = 1 (x = πn);

tg² x = 0 (x = πn); tg² x = 1 (x = π/4 + πn);

ctg² x = 0 (x = π/2 + πn); ctg² x = 1 (x = π/4 + πn, 3π/4 + πn).

За полный правильный ответ – 2 очка. Если группа не отвечает (или дает неправильный ответ), то право ответа переходит к другой группе.

Задание 4 . «Мозговая атака». К доске вызывают по 1 ученику от группы. Задания записаны на карточках. Учитель показывает их вначале соревнующимся, а после классу. Оценивается первый правильный ответ – 3 очка.

Решить уравнения: sin² x + cos² x = 1 sin² x + cos² x = 3 cos² x = – 1 sin² x = 2 tg x ∙ ctg x = 1

Задание 5. «Объясни ход решения». Группы поочередно объясняют переход от одной строчки к другой. За правильное объяснение – 1 очко.

sin⁶ x – sin⁴ x = cos⁴ x – cos⁶ x,

sin⁶ x – sin⁴ x – cos⁴ x + cos⁶ x = 0,

(sin⁶ x + cos⁶ x) – sin⁴ x – cos⁴ x = 0,

((sin² x)³ + (cos² x)³) – sin⁴ x – cos⁴ x = 0,

(sin² x + cos² x) (sin⁴ x – sin² x ∙cos² x + cos⁴ x) – sin⁴ x – cos⁴ x = 0,

sin⁴ x – sin² x ∙ cos² x + cos⁴ x – sin⁴ x – cos⁴ x = 0,

– sin² x ∙ cos² x = 0,

1. sin² x = 0,

x = πk, kz

1. cos² x = 0,

x₁ = π/2 + πn, nz

x₂ = πm/2, mz .

Задание 6. «Классификация тригонометрических уравнений»

• Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете, каковы методы их решения?

а) Уравнения квадратные относительно тригонометрической функции, или сводимые к ним (метод замены переменной);

б) уравнения, решаемые разложением левой части на множители; в) однородные уравнения первой степени (деление на cos x  0);

г) однородные уравнения второй степени и сводящиеся к ним (деление на cos² x  0).

• Определите, к какому типу относится каждое уравнение:

1) 3sin² x – sin x ∙cos x – 2cos² x = 0;

2) cos² x – 9cos x + 8 = 0;

3) 4cos 2x + sin 2x = 0;

4) 2sin² 2x + 5sin 2x ∙ cos 2x – 3 = 0;

5) 2cos² x + 3sin x = 0;

6) (sin x – 1/2 ) ∙ (sin x + 1 ) = 0;

7) √3cos x + sin x = 0;

8) 4sin x ∙ cos x + sin x = 0;

9) 2cos² x – 11sin (π/2 – x) + 5 = 0;

10) cos 3x + √3sin 3x = 0;

11) 11sin² 3x – 5sin 3x ∙ cos 3x + 4cos² 3x = 0;

12) 3cos x + sin x = 0;

13) ctg x/4 ∙ ctg x – ctg x = 0;

14) tg² x + 3 = 4tg x;

15) 6sin² x + 4 sin x • cos x = 1;

16) (2 – sin x) • (tg² x – 3) = 0.

Решите данные уравнения (самостоятельная работа по группам): 1 группа: уравнения № 1; 2; 6; 10. 2 группа: уравнения № 5; 8; 11; 12. 3 группа: уравнения № 3; 9; 15; 16. 4 группа: уравнения № 4; 7; 13; 14. Верное решение каждого уравнения – 3 очка.

Задание 7*. «Кто быстрее решит?» (дополнительное: в классе, если есть время, или на дом). Решите уравнение: 2 ^{cos² x} = 8 ^{3sin² x}

Верный ответ – 5 очков.

Итог урока. Подсчитывается предварительное количество очков, полученное каждой группой (окончательный итог – после проверки самостоятельной работы). Рейтинг каждого ученика определяется суммой очков, набранных группой, и его баллами за самостоятельную работу. «5» – наибольшее количество очков.

Домашнее задание: № 18.18, № 18.25

Литература:

Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 1999, № 25.

5