Правила дифференцирования

11 класс

Тема Правила дифференцирования (2 урок темы)

Цели урока:

образовательные: повторить основные формулы и правила дифференцирования, закрепить знания на практике; проверить знания, умения, навыки учащихся по данной теме;

развивающие: содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение; формированию умений самооценки и самоанализа;

воспитательные: содействовать формированию творческой деятельности учащихся, воспитывать у учащихся интерес к предмету.

Тип урока: комбинированный

Оборудование: учебник, тетрадь, ручка, раздаточный материал, мобильный телефон для считывания QR-кода.

Ход урока

1. Орг. момент.

– Я рада приветствовать вас на уроке. Мы с вами начали изучать большую тему «Производная». Научились находить производные степенной функции и на прошлом уроке познакомились с правилами дифференцирования и попробовали их применять на практике. Сегодня на уроке мы продолжим закреплять навыки нахождения производной.

1. Мотивация изучения темы

- Вы постоянно задаёте вопрос: “А зачем нам это надо? Где мы встречаемся с производной и используем её?”. Поэтому я попросила учащихся нашего класса поискать ответы на этот вопрос. И они сделали небольшие сообщения. Пока вы слушаете ребят, откройте тетради и покажите выполнение дом. работы.

Зачем нужна производная

(1 ученик) Смысл производной — это быстрота изменения чего-либо. Например, скорость — это быстрота изменения проеханного расстояния, с течением времени. А может быть «быстрота изменения температуры с изменением долготы в сторону севера». Или «быстрота исчезания конфет из вазы на кухне».

В математике Производная —характеризует скорость изменения функции в некоторой точке.

Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим прикладным применением производной является вычисление скорости.

Начиная с 15 века, нам знакома формула производной. В своих трудах её применяет выдающийся итальянский математик Тартальи, рассматривая вопрос о зависимости дальности полёта снаряда от наклона орудия.

Это понятие также часто встречается в работах других известных гениев в области математики 17 века. Им пользуются Ньютон и Лейбниц. В 1666 г. независимо друг от друга Ньютон и несколько позднее Лейбниц построили теорию дифференциального исчисления. Решая задачи о мгновенной скорости, Ньютон пришел к понятию производной, а Лейбниц, - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой.

(2 ученик) Производную функции можно применить там, где есть неравномерное протекание процесса:

Например: в физике - это переменный ток, радиоактивный распад, неравномерное механическое движение, задачи на скорость движения материальной точки в некоторый момент времени.

- в химии: Производную в химии используют для определения скорости химической реакции.

- в географии: Производная помогает рассчитать некоторые значения в сейсмографии, радиоактивность ядерно-геофизических показателей, многие значения в экономической географии, например, вывести формулу для вычисления численности населения на территории в заданный момент времени

– в экономике: для нахождения производительности труда, максимального выпуска продукции и прибыли при минимальных издержках.

- Ну что, убедили мы вас, что производную надо изучать. А чтобы научиться использовать производную функции в различных областях, необходимо элементарно научиться её находить.

- Какую цель сегодня мы поставим перед собой на уроке? (Научиться находить производные функций, используя правила и формулы дифференцирования.)

Откройте тетради и запишите число, классная работа, тема урока

«Правила дифференцирования»

1. Актуализация опорных знаний

Итак, давайте повторим основные понятия:

- Какая операция называется дифференцированием? (Дифференцирование – это операция нахождения производной).

- Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость)

- Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (к доске приглашаются желающие учащиеся, все остальные записывают примеры в тетрадях):

а) производная суммы ( приводит свой пример f (x) = 4х² + 5х + 8, ответ f ^/ (x) = 8х + 5 )

б) производная произведения (f (x) = (x + 1) · x² , ответ: f ^/(x) =  1 · x² +(х+1)^. 2х = х² +2х² +2х = 3х²+2х)

в) производная, содержащая постоянный множитель (f (x) = -5x⁴ , ответ: f ^/(x) =  -20х³ )

г) производная частного (f (x) = x²/ x-1, f ^/(x) =  2х ^. (х-1) – х² )

(х-1)²

Мы повторили правила, значит можно приступать к решению задач.

1. Решение задач

- Откройте форзац учебника, где приведены все правила дифференцирования, пожалуйста можете ими пользоваться.

- Сегодня я предложу вам примеры, которые я подобрала из другого учебника, в том числе и для домашнего задания, чтобы попытаться исключить списывание из ГДЗ. Начинаем с простых примеров.

№1 Найти производную степенной функции

а) f (x) =  х⁵ (ответ f ^/(x) =  5х⁴)

б) f (x) =  х ^-5 (ответ f ^/(x) =  -5х ^-6 )

в) f (x) =  (х +2)⁵ (ответ f ^/(x) =  5 (2х+2)⁴)

г) f (x) =  (2х +2)⁵ (ответ f ^/(x) =  5*2 (2х+2)⁴= 10(2х+2)⁴ )

№ 2

Найти f ^/(3) и f ^/(0), если f (x) = - х² +2х - 1

Ответ:

f ^/ (x) =  -2х +2

f ^/ (3) = -2*3 + 2 = -4 

f ^/ (0) = -2*0 + 2 = -2 

№ 3

Найти производную функции

а) f (x) =  -х² +3х+1 f ^/(x) = -3х² + 3

б) f (x) =  2,5х ^{– 4} f ^/(x) = -10х ^-5

в) f (x) =  х³(х-2) f ^/(x) = 3х² (х-2) + х³

г) f (x) =   х⁴ f ^/(x) = 4х³ (3х-2) – х⁴ *3 = 12х⁴ – 8х³ -3х⁴ = 9х⁴ -8х³

3х-2 (3х-2)² (3х-2)² (3х-2)²

№4 Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону S(t) = -t² +8t + 1.

а) Выведите формулу для вычисления скорости движения точки в любой момент времени;

б) найдите скорость в момент t=3c;

в) через сколько секунд после начала движения точка остановится.

Решение: Скорость v(t) есть производная пути, тогда

1. v(t) = S^/(t)

v(t) = -2t + 8

б) v(3) = 7 м/с

в) v(t) = 0 (скорость равна 0, значит точка остановится)

-2t+8=0

t = 4c

- Сегодня на уроке мы с вами хорошо поработали и закрепили правила дифференцирования, что позволит нам с вами уверенно двигаться дальше в изучении производной тригонометрической и показательной функций. Домой я вам предлагаю следующее задание:

1. Домашнее задание: Найти примеры задач из других предметных областей, где применяется производная (оформить в виде реферата), дом. задание - примеры приведены на листиках, кладем их себе в дневники

Найти производную

f (x) = х³ + 3х² + х -1

f (x) =

f (x) = (х+1)²(х-4)³

f (x) =

6. Самостоятельная работа с самоанализом

Вы уже все считаете себя выпускниками, готовитесь к экзаменам, видите себя абитуриентами колледжа, института. Как будущие студенты, вы должны уметь анализировать свою работу, искать ошибки, давать оценку проделанной работе. Поэтому я вам предлагаю выполнить самостоятельно работу по правилам дифференцирования. По окончанию, вы поднимаете руку, я смотрю, что работа готова к проверке, вы кладете ручку, берете карандаш, сканируете QR-код и проверяете свою работу. Успехов вам.

Вариант 1

№1 Найти производную степенной функции

а) х⁶ б) х ^-10 в) (3х – 1)⁴

№ 2

Найти f ^/(3), если f(x) = x ⁴

№ 3

Найти производную функции

а) f(x) = х² + х -1

б) f(x) = -0,5 х¹²

в) f(x) = (х+7) х²

г)

Вариант 2

№1 Найти производную степенной функции

а) х⁹ б) х ^-12 в) (7х – 1) ^{- 4}

№ 2

Найти f ^/(2), если f(x) = x ⁵

№ 3

Найти производную функции

а) f(x) = х² - х + 3

б) f(x) = -0,2 х¹⁰

в) f(x) = (х - 6) х³

г)

1 вариант Ответ:

№1

а) (х⁶) ^/ = 6х⁵

б) (х ^-10) ^/ = -10 х ^-11

в) ((3х – 1)⁴) ^/ = 12(3х-1) ³

№ 2

f ^/(x)= 4х³, f ^/(3) = 4*3³=108

№ 3

а) f ^/( х)= 2х + 1

б) f ^/(х) = - 0,5*12х¹¹ = - 6х¹¹

в) f ^/(х) = (х+7)^/ х² + (х+7) (х²) ^/ =1*х² + (х+7)_*2х = х² +2х² +14х = 3х²+ 14х

г)f ^/(x) =

2 вариант Ответ:

№1

а) (х⁹) ^/ = 9х⁸

б) (х ^-12) ^/ = -12 х ^-13

в) ((7х – 1) ^{- 4}) ^/ = - 28 (7х-1) ^-5

№ 2

f ^/(x)= 5х⁴ , f ^/(2) = 5*2⁴ = 80

№ 3

а)f ^/( х)= 2х - 1

б) f ^/(х) = - 0,2*10х⁹ = -2х⁹

в) f ^/(х) = (х-6)^/ х³ + (х-6) (х³) ^/ =1*х³ +3х² (х-6) = х³ +3х³ - 18х² = 4х³ - 18х²

г) f ^/(x) =