Конспект урока по алгебре в 9 классе "Решение квадратных неравенств"

Я не зря здесь связала уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства – это решение уравнения, из которого это неравенство сделано. Поэтому если ты не умеешь решать квадратные уравнения – это автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Итак, вспомним, как решать квадратные уравнения.

Найдите корни квадратных уравнений:

1) х²-8х +12=0 х₁=2; х₂=6

2)-х² +3х=0 х₁=0; х₂=3

3) х² =4 х₁=-2; х₂=2

4) 8х² -6х +1=0 х₁= ; х₂=

5)-х² +2х =-3 х₁=-1; х₂=3

6)х² =16 х₁=-4; х₂=4

7).х² +3х+8 =0 Ø

8) х² +7х+10 =0 х₁=-5; х₂=-2

9)х² -4х+4=0 х=2

10) х² +(х+1)² =0 Ø

Вспомнили. А сегодня на уроке мы займемся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид : слева ах² + bx + c , справа -0.Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера уже готовы к решению. Третий надо еще подготовить Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств.

Квадратные неравенства можно решать двумя способами. Один способ – это метод интервалов. Великий и могучий! Годится для любых неравенств вообще. Ему будет посвящен отдельный урок. Сегодня мы разберем более простой способ с использованием парабол. Зачем из пушки по воробьям палить? Способ годится только для решения квадратных неравенств, но прост, очень нагляден и не требует особых расчетов. Что, между прочим, резко уменьшает количество ошибок.

Разберем решение на конкретном примере. Обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как мы решим это неравенство. Любое решение состоит из трех шагов. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.

1.Решить неравенство) х²-8х +12≥0

Оно уже готово для решения. Слева – квадратный трехчлен, справа – ноль.

Первый шаг всегда одинаков и прост. Делаем из неравенства уравнение х²-8х +12 =0 и решаем его ( мы его уже решили) корни х₁=2; х₂=6

Второй шаг. На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать. Слово «парабола» вам знакомо? Вам повезло. В этом случае специально запоминать ничего не придется. Один раз разобраться и все. Вспомним алгоритм построения параболы у= х²-8х +12:

1. Координаты вершины (4;-4)

2. Точки пересечения с осью ОХ : х₁ =2; х₂=6

3. Точки пересечения с осью ОУ (0;12)

4. Т.к. а0, ветви параболы направлены вверх

Н арисуем эту параболу

у

12

0 2 4 6

-4

Точки 2 и 6 – это корни уравнения х²-8х +12=0 . Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так ? А как же!? Сравните уравнение и параболу:

х²-8х +12=0

у= х²-8х +12

Нулевой у – это как раз ось Х и есть.

Фиксируем в голове : корни уравнения (2 и6) – это значение икса, при которых выражение х²-8х +12 равно нулю. Это важно!

А теперь прикинем, при каких иксах выражение х²-8х +12 больше нуля? Как раз для этого нам и нужна парабола. Выражение х²-8х +12 это же и есть наш игрек. На графике четко видно, где игрек больше нуля.

Третий шаг. На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение», НЕ сказано было «строить график»… Это , всего лишь , наши подручные средства.

Нам было сказано:решать квадратное неравенство!

Знак неравенства на этом этапе ИГРАЕТ ГЛАВНУЮ РОЛЬ.

Смотрим на исходное неравенство

х²-8х +12≥0

Это условие выполняется в областях, где стоит знак «+» и в точках х=2 и х=6.

Остается записать ответ:

Собственно это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства

Ответ: х Є (-∞;2] U[6;∞)

Отмечу один полезный момент в графическом методе. На втором шаге мы определили все области для всех знаков. Что это значит? А то, что если бы у нас были неравенства

1)х²-8х +12≤0

2)х²-8х +120

3) х²-8х +12

4) х²-8х +12#0

То, первые два шага были бы те же самые. Отличие прорезалось бы только на третьем, последнем , шаге. Этот шаг, если кратко - просто выбор и запись ответа.

Учитель: Пусть у нас построен график функции у= – х² +  8x – 12

Задания: Для каких неравенств записаны ответы?

1) – х² + 8х – 12 ? 0.    Ответ: [2;6].
2) – х² + 8х – 12 ? 0.  Ответ: (–  ; 2)  (6;  +  ).
3) – х² + 8х – 12 ? 0.   Ответ: (–  ; 2]  [6;  +  ).
4) x² – 8x + 12 ? 0.     Ответ: (2;6) 
5) x² – 8x + 12 ? 0.      Ответ: (–  ; 2)  (2;6) (6;  +  ).

Еще раз: Все квадратные неравенства решаются в ТРИ ШАГА. Что, долго? График строить…

Спокойно! Обещанный бонус резко упростит жизнь!

Смотрим на график и соображаем: без чего нам на этой картинке можно обойтись?

Нужна ли нам ось ОУ? Если мы и так знаем, что часть параболы выше оси ОХ дает положительные значения выражения, а ниже – отрицательные. Т.О. – ось ОУ не нужна. Нужна ли нам математически точная форма параболы?

Не нужна

Что важно?

1. От иксов требуется -корни квадратного уравнения.

2. От параболы – направление ветвей: вверх или вниз.

Итак: рисуется за несколько секунд:

1. Ось ОХ. На оси ОХ корни соответствующего квадратного уравнения

2. Парабола ( в зависимости от направления ветвей) .Знаки «+»( выше оси ОХ) и «-« (ниже оси ОХ).

3. Выбрать нужные области по исходному неравенству и записать ответ.

Таким образом

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.

2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

3. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки - черные (закрашенные). Если строгое - белые (пустые внутри).

4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.

Потренируемся в применении алгоритма?)

Решить неравенство:

-x²+3x  0

Первый пункт пропускаем. Неравенство уже готово к решению.

Второй пункт. Делаем из неравенства уравнение:

-x²+3x = 0

Решаем (любым способом), находим корни:

х₁= 0

х₂= 3

Третий пункт. Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения:

0 3 х

Здесь точки на оси белые, т.к. исходное неравенство - строгое.

Четвёртый пункт. Рисуем (схематично!) параболу

+

- 0 3 - х

Парабола будет вниз ветвями. Это потому, что в исходном выражении перед x² стоит минус. Минус перед одночленом с квадратом икса всегда переворачивает параболу.

П ятый пункт. Определяем области "+" и "-" на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать. Для красоты):

+

- 0 3 - х

Смотрим на картину и записываем ответ:

х ∈ (0; 3)

 Ещё пример.

Решить неравенство:

x²≤ 4

Очень простое неравенство. Такое простое, что многие тут же косячат!) Не надо писать сразу x≤ ±2! Это редкий бред, да...) Надо выполнять первый пункт.

Первый пункт. Готовим неравенство к решению. Переносим четвёрку влево, получаем:

x²- 4≤ 0

Вот теперь, всё как надо. Слева - выражение, справа - ноль.

Второй пункт:

x²- 4 = 0

х₁= -2

х₂= +2

Т ретий пункт:

-2 2 х

Ч етвёртый пункт:

+ +

-2 - 2 х

П ятый пункт:

+ +

-2 - 2 х

Ответ:

х ∈ [-2; 2]

III этап. Усвоение новых знаний. 

Вот и все дела! Десяток-другой примеров - и проблем с квадратными неравенствами не будет. Алгоритм прост и безотказен в обращении!)

Вот тут у особо быстрых возникает вопрос. А зачем я говорила про параболу?! Почему сразу не дала алгоритм и примеры?!

Отвечаю. Если бы вы знали, сколько народу сыпется на применении тупо заученного алгоритма... А уж при малейшем отклонении от шаблона, простое задание становится вообще нерешаемым. Ниже будет парочка таких примеров. Если понимаете смысл алгоритма, шанс решить есть. Если же не понимаете... Понимание всегда побеждает механическую память.

Решаем?)

1 вариант : В таблице 2 найдите верное решение неравенства 1

2 вариант : в таблице 3 – решение неравенства 2.

IV. Работа в группах : ( кстати, обратите внимание на решение квадратных уравнений в первой части урока)

1. Решить неравенство:

8x² - 6x + 1  0

2. Найти наименьшее положительное целое решение наравенства:

-x² + 2x ≥ -3

3. Найти все значения х, не являющиеся решением неравенства:

x²≥16

4. Решить неравенство:

x² + 7x + 10 ≠ 0

5. Решить неравенство:

x² + 3x + 8  0

6. Решить неравенство:

x² - 4x + 4  0