«Формулы сокращённого умножения»

= (а – в)(а + в) разность квадратов двух выражений	Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
(а + в)2 = а2 + 2ав + в2 квадрат суммы двух выражений	Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе и плюс квадрат второго выражения.
(а  – в)2 = а2 – 2ав + в2 квадрат разности двух выражений	Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе и плюс квадрат второго выражения.
(а + в)3 = а3 + 3а2 в + 3ав2 + в3 куб суммы двух выражений	Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.
(а – в)3 = а3 – 3а2 в + 3ав2 – в3 куб разности двух выражений	Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.
а3 + в3 = (а + в)(а2 – ав + в2) сумма кубов двух выражений	Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
а3 – в3 = (а – в)(а2 + ав + в2) разность кубов двух выражений	Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Урок алгебры в 7 класс

Тема: «Формулы сокращённого умножения»

«Знание- самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само оно не приходит».

Абу-р-Райхан ал-Буруни

Пояснительная записка к уроку.

Организация учебной деятельности в современной школе предполагает переход от преимущественно информационных форм к активным методам и формам обучения с включением элементов проблемности, научного поиска, широкого использования резервов самостоятельной работы обучающихся.

Данный урок входит в заключительную серию уроков по теме «Формулы сокращённого умножения». Рассчитан на 45 минут. Урок состоит из трёх основных блоков, на каждом из которых максимально создана ситуация активного включения ребенка в учебный процесс.

1 блок –Мотивационно - ориентировочный.Задает общее настроение последующих 45 минут, определяя ключевые действия учащихся на уроке: вспоминать, рассуждать, искать, применять. Здесь анализируются имеющиеся знания и умения по теме урока, происходит обращение к индивидуальному опыту учащихся, связанному с темой урока. Вместе с учащимися ставится цель урока.

2 блок –организационно – деятельностный. Учащиеся решают задания на применение уже известных формул, но в новых ситуациях. Активно дискутируют, обсуждают решения. Демонстрируют свои решения, которые получили при выполнении задания. Сравнивают свои решения с решениями сверстников и учителя. В результате, знания, полученные учениками на уроке становятся более обобщёнными и цельными и учащиеся самостоятельно смогут ответить на вопрос: «Где и как применяются формулы сокращенного умножения?»..

3 блок –рефлексивно – оценочный. Здесь ученики осознают свою деятельность, полученные результаты, возникшие трудности и проблемы. И отвечают на вопросы:Что нового каждый из нас узнал на уроке?Что каждый из нас делал сегодня на занятии? Что было главным? Какая цель была нашего урока? Каковы основные результаты? Достигли ли мы цели? Подводят итоги своей работы – выставляют оценки за урок. Ученики учатся оценивать собственные умения, сравнивая себя не с одноклассниками, а только с собой вчерашним.

Цели урока: Создать условия для обобщения и систематизации изученного материала по теме ФСУ; отработки умений учащихся применять формулы сокращенного умножения при выполнении упражнений различной сложности и творческих заданий.

Образовательные и развивающие:

• формировать навыки компетентностного подхода – учить школьников применять свои знания;

• развивать навыки критического мышления – оценивать работы свои и одноклассников;

• совершенствовать коммуникативную компетентность - навык устного публичного выступления;

• формировать и развивать умения и навыки: поиск способов решения, используя алгоритмы решения, самопроверки по образцу, взаимопроверки;

• развитие у учащихся наблюдательности, логического мышления, памяти

Воспитательные:

• вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

• вырабатывать умение работать в группе, умение продуктивно общаться, слушать и отстаивать свое мнение;

• способствовать формированию активности, максимальной работоспособности, чувства ответственности.

• воспитание толерантного отношения друг к другу

Учебные задачи, направленные на развитие учащихся:

- в личностном направлении:

• продолжать развивать умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;

• развивать умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

• прививать умение ответственного отношения к результатам своего труда;

• расширить кругозор;

• развить навыки сотрудничества со сверстниками, воспитать чувство товарищества, чувство ответственности за общее дело;

• развить умение оценивать свою деятельность, усваиваемое содержание;

• продолжать развивать умение адекватно понимать причины успеха (неуспеха) в учебной деятельности;

• развить логическое мышление.

- в метапредметном направлении:

• научить применять полученные знания в повседневной жизни;

• развивать умение выражать свои мысли, вступать в диалог и сотрудничать с другими людьми в поиске необходимой информации;

• продолжать развивать умение вести поиск и выделять необходимую информацию, анализировать ход и способ действий, выбирать наиболее эффективный способ решения задач;

• развить умение интерпретировать результат, аргументировать своё мнение и позицию;

• продолжить развивать умение осуществлять операции: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия.

- в предметном направлении:

• развить умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей;

• развить умение планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

• формировать умение применять формулы сокращённого умножения в различных ситуациях;

• развивать вычислительные навыки.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации изученного материала

Формы работы: Фронтальная, индивидуальная, работа в парах, в группах.

Оборудование урока:мультимедийное оборудование, карточки с заданиями.видеоролик.

Методы и приемы. Наглядные, словесные, частично поисковые, практические,

Элементы технологий: игровая, проблемное обучение, ИКТ, позиционной технологии, дифференцированного обучения, развитие критического мышления,

План и ход урока.

I.Психологический настрой

Здравствуйте ребята, присаживайтесь! Я хочу загадать вам загадку:(Слайд 1)

Что самое быстрое, но и самое медленное.

Самое большое, но и самое маленькое.

Самое продолжительное, но и самое краткое.

Самое дорогое, но и дёшево ценимое нами?

Это ребята – время. У нас всего 45 мин, но мне бы очень хотелось, чтобы они не тянулись, а пролетели. Не оказались прожитыми впустую, а были затрачены с пользой. (Слайд 2)

Поэт Сеф в шутливой форме писал:

“Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает,
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает”.

А мы сегодня не будем скучать.

У нас сегодня урок обобщения по теме «Формулы сокращенного умножения». Назовем мы наш урок «В царстве формул сокращенного умножения». (Слайд 3). Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Все, что вы знаете и умеете, на уроке и покажете. Но сначала давайте послушаем, что думают о значении формул сокращенного умножения старшеклассники (на экране ролик, снятый учащимися 9 класса).Сейчас давайте сформулируем с вами цели нашего урока (формулируют цели).

(Перед нами задача - закрепить изученный материал, разобраться в непонятных ранее моментах, проконтролировать и оценить свои знания, повторить, обобщить, привести знания в систему и показать свои знания по данной теме.)

Французский писатель 19-го столетия Анатоль Франс однажды заметил, чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом. Сегодня на уроке будем следовать этому совету. Будем активны, внимательны.

Я думаю, что материал данного урока даст вам возможность использовать приобретенные знания и умения применять в нестандартных ситуациях.

II.Актуализация опорных знаний

1. Переходим к теме нашего урока и для начала проверим знания теоретического материала. Одним из заданий к этому уроку было разгадать кроссворд. Я надеюсь это задание ни у кого не вызвало затруднений и все с ним справились. К доске пойдет…………..

1. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен. 2. Способ разложения многочлена на множители. 3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 4. Равенство, верное при любых значениях переменных. 5. Выражение, представляющее собой сумму одночленов 6. Слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть. 7. Числовой множитель у одночленов

1. Пока ………… заполняет кроссворд с остальными ребятами мы поработаем устно.

«У математиков существует свой язык- это формулы» /С.В. Ковалевская. Формулой называется символьная запись, содержащая некоторое утверждение. Выполним следующее задание. При записи формул были допущены ошибки. Найдите и исправьте их.

	Верный ответ
(а+в)2 =а2+ав+в2	(а+в)2=а2+2ав+в2
(а-с)2=а2-2ав+в2	(а-в)2=а2-2ав+в2 (а-с)2=а2-2ас+с2
а2-в2=(а-в)(а-в)	а2-в2=(а-в)(а+в)
(3х+5)2=9х+30х+25	(3х+5)2=9х2+30х+25
(2х+7у)2=4х2+14ху+49у2	(2х+7у)2=4х2+28ху+49у2
(12а-1)2=24а2+24а+1	(12а-1)2=144а2-24а+1
(х-3у)(3у+х)=х2-6у2	(х-3у)(3у+х)=х2-9у2
(m+5n)(5n-m)=m2-25n2	(m+5n)(5n-m)=25n2-m2

Молодцы ребята.А теперь вернемся к кроссворду и проверим, правильно ли вы выполнили это задание. Поменяемся тетрадями. Сейчас вы побудете в роли учителя и проверите работу своего соседа, соотнеся ответы с кроссвордом на доске.

Поднимите руки. Кому поставили оценку 5. У нас таких большинство класса, я очень рада.

2.3 Ребята, вы любите игру «Домино», давайте и мы примем участие в этой игре, только наше «Домино» будет математическим. “Домино” - это прямоугольные карточки из картона. Они разделены вертикальной линией посредине: на одной половине написано некоторое алгебраическое выражение или часть формулировки правила, а другая сторона заполнена либо аналогичным выражением, но не равным первому либо часть формулировки правила. Карточки следует выложить так, чтобы тождественно равные выражения оказались рядом

У каждого из вас имеется карточка-домино. Первым начинает ученик, у которого карточка содержит слово «Старт» Он задаёт стартовый ответ. Каждый ученик должен внимательно следить за ходом игры, чтобы не пропустить свой ответ. Ответив, ученик задаёт свой вопрос и т. д. Учитель указывает на ошибку, если прозвучал неправильный ответ. Все учащиеся одновременно следят и за тем, чтобы был дан правильный ответ.

III. Основной этап урока

1. Молодцы ребята! Мы с вами очень продуктивно поработали устно, теперь мы продолжим урок. Я предлагаю сыграть в игру “Алгебраическая мозаика”. Ваша задача составить из предложенных одночленов формулы сокращенного умножения. Кто больше.

3х, 5у, 3х, 5у, 9х², 30ху, 27х³, 125х², 15ху, 25у² , 125у³ .

Ответы:(Всего 8 формул. («5» - все верно, «4» - 1- 2 ошибки, «3» - 3 ошибки)

(3х + 5у)² = 3х²+30ху+25у²

(3х – 5у)(3х + 5у) = 9х²– 25у ²

(5у – 3х)( 5у + 3х) =25у ²– 9х²

27х³ + 125у³ = (3х + 5у)(9х²+ 15ху+25у²)

(5у + 3х)² = 25у² + 30ху + 9х²

1. А теперь выполним работу в группах. Посмотрим, как вы умеете работать в коллективе, как оказываете друг другу взаимопомощь.

Тест – соответствие (работа в парах). Расшифровка. Для каждого выражения из левого столбца подберите ему тождественно равное в правом:  («5» - все верно, «4» - 1- 2 ошибки, «3» - 3 ошибки)

№ формулы	формула	№ ответа	ответ	буква
1	(x+3)²	1	4x²-9	О
2	x²-16	2	16x²-40xy+25y²	А
3	(2x-3)(2x+3)	3	(x-4)(x+4)	И
4	81-18x+x²	4	(3y+6x)²	Т
5	(4x-5y)²	5	x²+6x+9	Д
6	25x²-49y²	6	(9-x)²	Ф
7	9y²+36yx+36x²	7	(5x-7y)(5x+7y)	Н

Каждый ученик получает карточку, выполняет задание, получает соответствия:
1→5(Д), 2→3(И), 3→1(О), 4→6(Ф), 5→2(А), 6→7(Н), 7→4(Т).

Молодцы ребята, вы получили имя великого математика.  Показываю его портрет.

Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Тогда было принято все алгебраические утверждения выражать в геометрической форме. Особенно широко алгебраическими тождествами пользовался в 3 в до н.э. древнегреческий геометр Евклид. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками  прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Во второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Как вы думаете о какой формуле сокращенного умножения здесь говорится? Верно, это тождество  ( а + в )²=а² + 2ав + в².

Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения. Ну а современную символику алгебраические тождества получили благодаря двум математикам, а именно Виету и Декарту(16 век).На современном уровне развития математики данные формулы были обоснованы Исааком Ньютоном. 

1. Итак, ребята, мы совершили небольшой экскурс в историю. Узнали, что ф.с.у. пользовались древнегреческие ученые. Продолжаем наш урок, выполним задание Смотри не ошибись, работать опять будем в парах.

Дополнить формулы до ФСУ

3 6 – 12Х +

1 6Х²+2ХУ +

(2а+ )(2а - ) = 4а² – 4в²

4 7² – 37² = ( 47 - ) ( + 37)

( + 2а)² = +12ав +

71² + 29² + 2·71·29 = ( + ) ² =

( 3х - )² = - + 49у²

1. Следующее задание «Математическая эстафета». На столе у вас лежат карточка с заданием, выполняем одно задание и передаем с соседу, посмотрим чья группа справиться с этим заданием быстрее остальных.

I группа                                                II группа

1.Преобразуйте в многочлен:

а) (у-4)² а) (3а+4)²

б) (7х+а)² б) (2х-в)²

в) (5с-1)(5с+1) в) (с+3)(с-3)

г) (3а+2в)(3а-2в) г) (5у-2х)(5у+2х)

2. Разложите на множители.

а) х²-49 а) 25у²-а²

б) с²+4ас+а² б)25х²-10ху+у²

1. Физ. Минутка

Устали? Давайте немного отдохнем. Все встали со своих мест. Ваше задание построиться по росту

1. Практическое применение формул. Мы немножко отдохнули, выполним следующее задание устно, проверим, кто быстрее всех умеет считать. Итак задание «Быстрый счёт», найдите значение выражения.На слайде вы видите картину Николая Петровича Бельского (1895) «Устный счет».

1. 41²-31²⁼ 720

2. 24²-23² = 47

3. 55²⁼ 3025

4. 73²-63² = 1360

5. 99² = 9801

6. 68 = 1

18²-16²

1. 101² = 10 201

1. Вы, молодцы! Нас ждет следующее задание. Заполним кластер, ответим на вопрос «Для чего нужны ФСУ?» Слово кластер в переводе означает пучок, созвездие. В центре листа записываем ключевое понятие, а от него по стрелкам соединяем это слово с другими, от которых в свою очередь лучи расходятся далее и далее.

Предлагаю от каждой группы выйти по одному участнику и прикрепить кластер к доске. Сравним наши результаты.

1. Мы много и плодотворно с вами поработали, ответили на вопрос «Для чего нужны ФСУ?». а теперь выполним индивидуальное задание, пришла очередь самостоятельной работы. Следующий тест проверит ваше умение применять формулы сокращенного умножения при вычислении значений выражений и разложении на множители. Ваша цель – выбрать правильный ответ и записать нужную букву. Подпишите свои листочки и приступаем к выполнению задания.

Учащиеся получают карточки с пятью заданиями. При правильных ответах из выбранных букв должно получиться слово «ВЕРНО».

Вариант 1: 1)Вычисли: 412 – 312 б) 72 в) 720 г) 730 2)Вычисли:   262  – 742 е) – 4800 ж) 4800 з) – 480 3)Разложи на множители: a4 – 8a2 + 16 c) (a2 + 4)2 n) (a – 4)2 p) (a2 – 4)2 4)Разложи на множители: a6 – 8 н) (а2 – 2) (а4 + 2а2 + 4) к) (а3 – 4) (а3 + 4) л) (а2 – 2) (а2 + 2а + 4) 5)Разложи на множители: 25b2 – 16c4 a) (5b – 4c2)2 o) (5b – 4c2) (5b + 4с2) д) (5b – 4c) (5b + 4c)

Вариант 2: 1)Вычисли: 762 – 242 а) – 520 в) 5200 c) 52 2)Вычисли: 832 –732 e)1560 ж) 156 з) 1540 3)Разложи на множители: 4 + 4b2 + b4 к) (2 – b2)2 п) (2 + b)2 р) (2 + b2)2 4)Разложи на множители: 1 – c9 н) (1 – c3) ( 1 + c3 + c6) м) (1 – c3 ) ( 1 + c3)       л) (1 – с3) ( 1 + 2с3 + с6) 5)Разложи на множители: 36x4 – 49y2 e) (6x2 – 7y)2 o) (6x2 – 7y) (6x2 + 7y) a) (6x – 7y) (6x + 7y)

IV. Домашнее задание

Перейдем к постановке домашнего задания. Домашнее задание будет дифференцированным и состоять из двух частей: заполнить таблицу и выполнить задания из ГИА.

Дифференцированная домашняя работа. Применив формулы сокращенного умножения, заполни таблицу: даны 5 пар выражений: на «3» 3 любых пары, «4» - 4 пары, «5» заполнена вся таблица.

1 и 2 выражения	Многочлен равный квадрату суммы этих выражений	Многочлен равный квадрату разности этих выражений	Многочлен равный сумме кубов этих выражений	Многочлен равный разности кубов этих выражений	Разность квадратов этих выражений
-5а и b
3а и b
5а2 и 0,2b2
a2b и –4
6 и х2у2

Подготовка к ГИА

1. Упростите выражение:

2.Решите уравнение:

(x-6) ²-x(x+8)=2

(x – 4)² + 4 = (x –2)(x + 2);

V. Рефлексия урока:

Каждая группа сочиняет и зачитывает синквейн к уроку о ФСУ. Синквейн – это стихотворение, состоящее из пяти строк, которое требует синтеза информации и материала в кратких выражениях.

Правила написания синквейна:

В первой строчке тема называется одним словом (обычно существительным).

Вторая строчка – это описание темы в двух словах (двумя прилагательными).

Третья строчка – это описание действия в рамках этой темы тремя словами (глаголы).

Четвёртая строка – это фраза из четырёх слов, показывающая отношение к теме (чувства одной фразой).

Последняя строка – это синоним из одного слова, который повторяет суть темы.

VI. Итог урока

Сегодня на уроке мы проделали большую работу по повторению ФСУ и подготовились к контрольной работе.
Учитель предлагает ученикам представить, что сегодняшний день они провели в ресторане и теперь директор ресторана просит их ответить на несколько вопросов:

- Я съел бы еще этого… 
- Больше всего мне понравилось… 
- Я почти переварил… 
- Я переел… 
- Пожалуйста, добавьте… 
Участники пишут свои ответы на карточки и приклеивают на лист, комментируя.

Я, в свою очередь хочу сказать спасибо вам, ребята, за вашу активную ра-

боту на сегодняшнем уроке, думаю, что вы легко сможете применять все изученное в жизни.

Урок окончен, до свидания.

Приём «ПОПС-формула»

Этот потрясающий по своему потенциалу интерактивный приём, направлен на рефлексию учащихся. Ценность этого технологического приёма заключается в том, что позволяет учащимся кратко и всесторонне выразить собственную позицию по изученной теме.

Учителю необходимо знать, насколько качественно усвоен классом новый материал. Опросы, самостоятельные работы, тесты занимают или много времени, или не всегда позволяют оценить, насколько свободно владеет материалом ученик, насколько осознанно он воспринял его.

В данном случае учащимся предлагается написать четыре предложения, отражающие следующие четыре момента «ПОПС — формулы»:

П – позиция

О – объяснение (или обоснование)

П – пример

С – следствие (или суждение)

Но этот приём не был бы технологичным, не обладал бы законченностью, если бы мы не предложили начало предложений.

Первое из предложений (позиция) должно начинаться со слов:

«Я считаю, что…».

Второе предложение (объяснение, обоснование своей позиции) начинается со слов:

«Потому что …».

Третье предложение (ориентированное на умение доказать правоту своей позиции на практике) начинается со слов:

«Я могу это доказать это на примере …».

П -  Я считаю, что ФСУ нужны.

О – Потому что с их помощью можно решать задачи разного вида.

П -  Я могу это доказать на примере, чтобы быстро найти значение выражения 103²-102² я воспользуюсь формулой разности квадратов, чтобы быстро вычислить квадрат любого числа я воспользуюсь формулами квадрат суммы или квадрат разности.

С – Исходя из этого, я делаю вывод о том, что ФСУ очень важны для алгебры и не только.

Проверка ДЗ на следующем уроке

Конструировать домашнее задание по пройденному учебному материалу.

На предыдущем уроке учащиеся получили задание: составить несколько многочленов вида ___________.

Написать три слова: составил, преобразовал, проверил. При слове «составил» написать свою фамилию.

Прошу соседей поменяться листочками (можно передать впереди или позади сидящему, важно каждый раз менять способ обмена листочками), решить полученные уравнения и после слова «преобразовал» написать свою фамилию. Затем листочки каким-либо спо­собом перемещаются по классу, и третий ученик проверяет реше­ние, записав свою фамилию в третью строчку внизу листа.

Итог работы можно записать в таблицу.

№ Ф. И. ученика

составил

преобразовал

проверил

оценка

 

Каждый ученик оценивается по трем видам деятельности, затем выводится общая оценка, которую можно поставить в журнал.