Формулы сокращённого умножения.

АЛГЕБРА 7 класс.

МАЛИКОВА ОЛЬГА ГЕОРГИЕВНА,

МОУ гимназия № 19 им. Н.З.Поповичевой г. Липецка

Программа – государственная.

УМК Алгебра. Учебник для 7 класса с углубленным изучением математики. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, «Мнемозина».

Тема урока: «Формулы сокращённого умножения.

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений».

Тип урока: «открытие» нового знания.

Цели урока:

1) Дидактические: силами учащихся вывести формулы квадрата суммы и квадрата

разности двух выражений;

научить использовать данные формулы;

учить сравнивать, делать выводы.

2) Развивающая: продолжить развитие логического мышления и мировоззрения

учащихся.

3) Воспитательная: продолжить воспитание у школьников устойчивого интереса к

математике.

На уроке используются: готовые чертежи, наглядный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте ребята. Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!»

Так давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшем.

Сегодня на уроке вам предстоит сыграть роль исследователе, «открыть» две формулы и научиться их применять.

2. Актуализация знаний.

А прежде чем перевоплотиться в сотрудников исследовательского института потренируем свой мозг устными упражнениями:

1) Прочитайте выражения:

а) х²+(3у)²; б) (х+3у)²; в) х² – (3у)²; г) (х – 3у)²; д) 2(х∙3у); е)(х-3у)(х+3у).

- Какие из данных выражений тождественно равны?

- Как называется применимая здесь формула? Сформулируйте её.

2) Возведите в квадрат: 6х; 0,04х²у³; х³у.

- Найдите произведение 6х и 0,4х²у³; найдите удвоенное произведение этих выражений.

- Найдите произведение 6х и х³у; найдите удвоенное произведение этих выражений.

3) Решите уравнение: а) х² – 49 = 0; б) 0,64m – m³ = 0; в) 81х² + 4 = 0.

4) Вычислите: а) (30 – 3)(30 + 3); в) 208 ∙ 192;

б) 138² – 137²; г) .

5) Сравните: а) 123186 ∙ 123188 и 123187²;

б) 79² + 85² и (79 + 85)²;

в) 50² + 39² и (50 – 39)².

- В чём возникло затруднение под буквой б)?

- Прочитайте выражение слева. Существует ли формула для суммы квадратов?

- Прочитайте выражения справа? Знаем ли мы эти формулы? А хотим узнать?

- Так какие же формулы мы сегодня должны «открыть»?

- Итак, сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока.

Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.

3. Изучение нового.

Теперь мы готовы приступить к исследованию и выполнить основную цель нашего урока: вывести формулы для квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.

Вспомним умножение многочленов ( 3 человека работают индивидуально у доски, остальные в тетрадях по вариантам (3 варианта)).

I вариант II вариант III вариант

(х+у)(х+у) = х²+2ху+у² (m+n)(m+n) = m²+2mn+n² (c – d)(с – d) = с²-2сd+d²

(7+с)(7+с) = 49+14с+с² (n+6)(n+6) = n²+12n+36 (9 – а)(9 – а) = 81-18а+а²

Обратите внимание на задания I и II варианта.

- Что общего в задании?

- Как произведение записать короче?

- Что общего в полученных ответах?

- Как записать обобщённую формулу? ((а + b)² = а² + 2аb + b²)

- Сформулируйте полученное правило возведения суммы двух выражений в квадрат.

Обратимся к заданию III варианта.

- Как короче записать левую часть?

- В чём различия результатов, если возводим в квадрат не сумму, а разность двух

выражений?

- Запишите обобщённую формулу. ((а - b)² = а² - 2аb + b²)

- Сформулируйте полученное правило возведения разности двух выражений в квадрат.

4. Немного истории.

Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс. лет

тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «а∙b», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b». Например, тождество (а + b)² = а² + 2аb + b² во

второй книге «Начал» Евклида (3 в до н.э.) формулировалось так: «Если прямая линия (имеется в виду отрезок), как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольников, заключённым между отрезками».

Доказательство опиралось на геометрическое соображение.

Некоторые термины подобного геометрического изложения алгебры сохранились

до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа – квадратом, а третью степень – кубом числа.

А теперь давайте и мы с помощью рисунка объясним геометрический смысл формулы (а + b)² = а² + 2аb + b².

5. Закрепление изученного материала.

№ 1 (устно) Выбрать правильный ответ из предложенных.

(с + 11)² (7у + 6)² (2х – 3у)²

А с² + 11с + 121 А 49у² + 42у + 36 А 4х² – 12ху + 9у²

В с² – 22с + 121 В 49у² + 84у + 36 В 4х² – 12ху – 9у²

С с² + 22с + 121 С 49у² + 36 С 4х² – 6ху + 9у²

Ответы: С, В, А.

№ 2 (устно) Из актуализации знаний в первом задании найдите квадрат суммы или квадрат разности и представьте в виде многочлена. ((х+3у)² = х² + 6ху + 9у²; (х – 3у)² =

х² – 6ху + 9у²)

№ 3 (устно) Вернуться к возникшей проблеме в пятом задании и сравнить выражения. ( б) 79² + 85^{2 2}; в) 50² + 39² (50 – 39)².)