Арифметическая прогрессия. Формула суммы n- членов арифметической прогрессии

Тема « Арифметическая прогрессия. Формула суммы n- членов арифметической прогрессии».

Цель урока:

Организовать деятельность учащихся  по закреплению:

• знаний определения арифметической прогрессии;

• знаний формулы n-ого члена арифметической прогрессии;

• знаний формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;

• умений применения формул n-ого члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии в ходе решения задач;

Задачи урока:

Образовательная: 

• закрепление в памяти учащихся  знаний и умений, которые необходимы им для самостоятельной работы по новому материалу;

• закрепление повышенного уровня осмысления изученного материала, глубины его понимания;

• обобщение знаний по теме, наработка навыков и закрепление умений.

Развивающая: 

• формирование у учащихся навыков правильного воспроизведения своих знаний, умений и навыков;

• развитие умений анализировать ответ товарищей;

• развитие речи через обогащение словарного запаса учащихся при введении новых понятий;

• развитие мышления учащихся при закреплении умений  сравнивать и обобщать новые знания и ранее изученный материал;

• развитие эмоциональной сферы при выполнении практических заданий;

• развитие навыков умственного труда и умений его организовывать.

Воспитательная: 

• воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе при организации рабочего труда учащегося;

• развитие речевых навыков и навыков сотрудничества;

• воспитание чувства коллективизма и взаимопомощи;

• воспитание потребности к здоровому образу жизни.

Тип урока: комплексное применение знаний, умений и навыков.

Этапы урока:

1. Организационный этап

2. Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний

3. Этап закрепления ЗУН и использование их в нестандартных условиях.

4. Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению.

5. Этап подведения итогов урока.

Формы работы: групповая работа, самостоятельная работа, фронтальная работа.

Методы обучения:

по источнику приобретённых знаний – словесный, практический, наглядный;

по уровню познавательной активности – частично – поисковый.

Ход урока.

1.Организационный этап

Здравствуйте, ребята!. Садитесь, пожалуйста. Сегодняшний урок я хотела бы начать словами А.С. Пушкина:

«О, сколько нам открытий чудных….

Готовит просвещенья дух,

И опыт, - сын ошибок трудных,

И гений, - парадоксов друг»

Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и познавательного интереса..

Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает движение вперёд.

2.Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний.

Проверка знаний учащимися основных понятий и умений объяснять их сущность.

*Практические устные задания. (Задания на доске)

1--. 1; 3; 5; 7; 9; 11;… :   

 Верно ли, что это арифметическая прогрессия? Почему?

Ожидаемый ответ: да, так как выполняется определение А.П., т.е. каждый последующий член отличается от предыдущего на 2.

Как называется число 2? Ожидаемый ответ: разность А.П.

2--.  1; 4; 9; 16; 25;… :   

 Верно ли, что это арифметическая прогрессия? Почему?

Ожидаемый ответ: нет, так как не выполняется определение А.П., т.е. каждый последующий член отличается от предыдущего на разное число единиц.

3. Из данных чисел 5, -4,-1,2,-7 составьте арифметическую прогрессию:

Ожидаемый ответ -7, -4, -1, 2, 5;

Каким будет следующее число в этой прогрессии.

Ожидаемый ответ;8

4--. Найти первый член арифметической прогрессии, заданной формулой a_n = 3 - 4n.

Ожидаемый ответ: -1

5.  Вставьте пропущенные числа:

0, 2, … , 6; 8; …,12………

Ожидаемый ответ: 4, 10

*Основные определения и данные для арифметической прогрессии свести в одну таблицу:

Определение арифметической прогрессии	an+1 = an + d
Разность арифметической прогрессии	d =  an+1 - an
Формула n-го члена  арифметической прогрессии	an = a1+ d · (n - 1)
Сумма n первых членов  арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Цель: привлечь к работе "слабых", контроль знания формул.

Тестовая работа ( по заданиям, аналогичным домашней работе)

3.Этап закрепления ЗУН и использование их в нестандартных условиях.

Это интересно знать

Законам арифметической прогрессии подчиняются даже стихотворения.

Вспомним строки из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить».

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил), то есть ударными являются 2, 4, 6, 8 и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью, равной 2

(an) : 2, 4, 6, 8, …

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха (буря небо мглою кроет).

Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен 1, а разность, по-прежнему, равна 2:

(bn) : 1, 3, 5, 7, …

Хорей:       «Ветер по морю гуляет…»

Вообще,  зная  формулы арифметической прогрессии, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.

Главное при этом научиться текстовую информацию переводить на математический язык и моделировать задачу. Вот этому мы сегодня будем учиться.

Задача№ 1( оздоровительная) Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Записываем условие и решение задачи.

Имеем арифметическую прогрессию а₁=15, d=10, а_n=105. Найти n.
Решение:
а_n=a₁ +(n-1)*d
105=15+(n-1)*10
105=15+10n-10
10n=100
n=10 Ответ: 10 процедур.

Задача № 2( Экологическая).Чтобы благоустроить территорию школы № 40 учащиеся планируют весной 2016 года посадить деревья. Первоклассники планируют посадить 6 деревьев, а каждый следующий класс - на 3 дерева больше предыдущего. Сколько всего посадят деревьев учащиеся школы № 40?

Решение.

Анализ условия.

Как вы считаете, будет ли количество посаженых каждым классом деревьев образовывать арифметическую прогрессию. Какое предложение из условия это подтверждает ?

Тогда назовите первый член этой прогрессии. Разность. Какого условия не хватает в задаче? Как вы считаете, что нужно найти в этой прогрессии, чтобы ответить на главный вопрос задачи?

Записываем условие и решение задачи.

Дано: а₁=6, d=3, n=11.

Найти: S₁₁ .

Решение. S₁₁ = ( 2*6+3*(11-1))/2*11=231 ( дерево)

Ответ: 231 дерево.

Задача№ 3 (Строительная): Бригада маляров красит забор длиной 300 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый день бригада покрасила 20 метров забора. Определите, сколько метров забора покрасила бригада в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.

Записываем условие и решение задачи.

Дано: а₁=20, S₆=300 , n=6.

Найти: а₆.

Решение.

300 = 6:

100=20+х;

х=80м

Ответ: 80 метров.

РАЗБИВАЕМ КЛАСС НА ТРИ ГРУППЫ.

1 группа

Задача № 5 ( Коммерческая. )Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея  через 10 месяцев?

Дано: (а_n) – арифм. прогрессия

 а₁=650, d = 50, n=10

Найти: S₁₀ - ?

Решение: 

Ответ: 8750 рублей

2 группа.(Строительная)

Задача : При свободном падении тело проходит в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Дано:

     (аn) – арифм.прогрессия

     а1=5, d = 10

Найти: S5 - ?

Решение:

 Ответ: 125 м

Задача № 3 ( Экономическая).В квартире подтекает водопроводный кран. За 1 час вытекает 0,5 л воды, за 2 часа - 1 л. Сколько воды вытекает из неисправного крана за сутки (24 часа)?

Решение:

0,5; 1; … ,

тогда а_{1 =} 0,5; 

d = 1-0,5 =0,5; 

а₂₄ = a₁+23 d= 0,5+23*0,5=12( литра).
Ответ: 12 литров

Каждая группа презентует свою задачу.

4.Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению.

Так как урок сегодня был необычный то и задание домой необычное. На листе формата А4 составить тест по теме «Арифметическая прогрессия». Тест должен содержать 5 заданий. Помогут вам в этом сборники для подготовки к ГИА и учебник «Алгебра 9» под редакцией А.Г.Мордковича.

Решить задачи.

1.На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

2.Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 1000$, а каждый следующий месяц он тратил на 500$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

5.Этап подведения итогов урока.

Итак, сегодня мы с вами говорили о прогрессии, которая называется арифметической. Но есть и другая прогрессия. А вот что это за прогрессия, мы узнаем на последующих уроках. А пока я вам расскажу такую легенду - загадку.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.  Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.

   Мудрец поклонился.

-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

   Сета молчал.

   -Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

   -Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

  -Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

  -Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

  -Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна,  за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться   своего вознаграждения.

Стоит ли царю смеяться?

А ответить на этот вопрос вы сможете, изучив другую прогрессию, которая называется геометрической.

Рефлексия _________________________________

Фамилия, имя

Тест.

1. Результатом своей личной работы считаю, что я ..

А. Разобрался в теории.       В. Научился решать задачи.  С. Повторил весь ранее  изученный материал

2.Что   вам не хватало на уроке при решении задач?

 А. Знаний.      Б. Времени.         С. Желания.             Д. Решал нормально.

3.Кто оказывал вам помощь  в преодолении трудностей на уроке?

   А. Одноклассники.           Б. Учитель.          С. Учебник.             Д. Никто.