История систем символьной математики в России

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

ИСТОРИЯ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ

Автор работы студент 5 курса группы МДМ-117 очной формы обучения____________________________________________ А.Е.Сорокина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование.

Профиль Математика. Информатика

Руководитель работы

канд. физ.-мат. наук, доцент________________________Т. В. Кормилицына

Саранск 2021

Введение 3

1. Начало развития систем символьной математики в России 5

2. Особенности основных систем символьной математики. 8

3. Концепция инновационного учебного процесса на базе систем

символьной математики 14

4 Системы символьной математики и их роль в учебном процессе. 17

5. Обзор основных современных символьных систем в России. 21

Заключение 26

Список использованных источников 27

Введение

В истории математики насчитывается около трёх тысячелетий, которые условно можно разделить на несколько периодов. Первый – становление и развитие понятия числа, решение простейших геометрических задач. Второй период связан с появлением «Начал» Евклида и утверждением хорошо знакомого нам способа доказательства математических утверждений с помощью цепочек логических умозаключений.

Третий этап берёт своё начало с развития дифференциального и интегрального исчисления, последний период сопровождается появлением и распространением понятий и методов теории множеств и математической логики, на прочном фундаменте которых возвышается всё здание современной математики.

Мы живём во время начала нового периода развития математики, который связан с изобретением и применением компьютеров. Прежде всего, компьютер предоставил возможность производить сложнейшие численные расчёты для решения тех задач, которые невозможно (по крайней мере, на данный момент) решить аналитически. Появилось так называемое «компьютерное моделирование» – целая отрасль прикладной математики, в которой с помощью самых современных вычислительных средств изучается поведение многих сложных экономических, социальных, экологических и других динамических систем.

Изучение математики даёт в распоряжение будущего инженера, экономиста, научного работника не только определённую сумму знаний, но и развивает в нём способность ставить, исследовать и решать самые разнообразные задачи. Иными словами, математика развивает мышление будущего специалиста и закладывает прочный понятийный фундамент для освоения многих специальных дисциплин. Кроме того, именно с её помощью лучше всего развиваются способности логического мышления, концентрации внимания, аккуратности и усидчивости.

Компьютерная алгебра – область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов. Для неё, как и для любой области, лежащей на стыке различных наук, трудно определить чёткие границы. Часто говорят, что к компьютерной алгебре относятся вопросы слишком алгебраические, чтобы содержаться в учебниках по вычислительной математике, и слишком вычислительные, чтобы содержаться в учебниках по алгебре. При этом ответ на вопрос о том, относится ли конкретная задача к компьютерной алгебре, часто зависит от склонностей специалиста.

1. Развитие систем символьной математики в России

Системы аналитических вычислений (компьютерной алгебры) – одно из направлений развития современной компьютерной математики. Основное их достоинство заключается в возможности выполнения вычислений в аналитическом виде и в возможности проведения арифметических и многих иных вычислений практически с любой желаемой точностью и без ограничений по максимальным (минимальным) значениям чисел.

Системы символьной математики (или компьютерной алгебры) представляют наиболее интеллектуальное и интересное направление развития систем компьютерной математики. Они уже сейчас делают то, что пару десятков лет тому назад казалось чистейшей фантастикой, – выполняют сложнейшие аналитические вычисления, в прошлом доступные только человеку.

С усложнением решаемых задач из практики роль алгебраических вычислений не только не уменьшилась, но и, наоборот, значительно возросла. Однако часто их приходится выполнять вручную, хотя первые эксперименты по их автоматизации были поставлены еще на машинах первого поколения (в 1953 году). Очень скоро выяснилось, что программное обеспечение алгебраических вычислений должно представлять собой полную систему, включающую метод представления нечисловых данных весьма специальной структуры (формул, уравнений и т.д.), язык, позволяющий манипулировать ими, и библиотеку функций для выполнения необходимых базовых алгебраических операций. Значительно раньше, еще в XIX столетии, Ж. Адамаром была осознана важность так называемых некорректно поставленных задач, для которых оказалось, что арифметика, реализованная традиционным способом, не обладает точностью, достаточной для реализации численных алгоритмов их решения. Поэтому уже в начале 60-х годов прошлого столетия велись интенсивные научные исследования алгоритмов выполнения арифметических операций над числами произвольной длины и произвольного диапазона (так называемая арифметика произвольной разрядности). Уже в середине 60-х годов появились малые ЭВМ, на которых арифметические операции были реализованы не традиционным аппаратным способом, а микропрограммно.

Таким образом, ЭВМ и программные системы, производящие символьные вычисления и способные выдавать результаты в виде аналитических формул, известны довольно давно.

В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии "Мир", разработанных под руководством академика В.М. Глушкова, была реализована СКМ на языке программирования "Аналитик", обладающая всеми возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по нынешним понятиям, характеристиками.

Виктор Михайлович Глушков (24 августа 1923 – 30 января 1982) – советский математик, кибернетик, депутат Верховного Совета СССР 8-10 созывов. Член многих академий наук и научных обществ мира. Заслуженный деятель науки УССР (1978), вице-президент Академии Наук УССР (с 1962 года), Герой Социалистического Труда (1969). Автор трудов по алгебре, кибернетике и вычислительной технике. Под его руководством в 1966 году была разработана первая в СССР персональная ЭВМ «МИР-1» (машина для инженерных расчётов).

«МИР» – серийная ЭВМ для инженерных расчётов, создана в 1965 году Институтом кибернетики Академии наук УССР, под руководством академика В. М. Глушкова. Одна из первых в мире однопользовательских ЭВМ. Выпускалась серийно и предназначалась для использования в учебных заведениях, инженерных бюро, научных организациях. Имела ряд уникальных особенностей, таких как: аппаратно реализованный машинный язык, близкий по возможностям к языкам программирования высокого уровня, развитое математическое обеспечение. Фактически относится к классу вычислительных машин, которые впоследствии получили название рабочих станций.

В 1968 году машина МИР модернизирована и получила название МИР-1. Модификация отличается от оригинальной модели наличием устройства ввода-вывода на перфоленту. Также в модификации были применены элементы повышенной надежности.

Система счисления десятичная (двоично-десятичная). Числа могли быть представлены как целые десятичные со знаком, с десятичным порядком и с плавающей запятой. Действия могут выполняться с числами произвольной разрядности и произвольной длины, ограниченного только объёмом памяти в 4096 символов. Время на выполнение операции сложения – 50 мкс. Среднее быстродействие – около 1-2 тыс. оп/с. В комплект машины входила электрическая печатная машинка Soemtron для ввода и вывода информации со скоростью 7 знаков в секунду. Управление машиной было организовано на микропрограммном принципе. Микропрограммирование позволило сильно поднять семантический уровень машинного языка и довести его до высокоуровневого языка программирования. Фактически, микропрограммами выполнялось большинство арифметических действий, вычисление элементарных функций выполнялось перед трансляцией и интерпретацией входной программы. Микрокоманды машины МИР-1 – 120-разрядные и записывались на сменных микропрограммных матрицах. Это позволяло довольно сильно изменять характер использования машины, набор арифметических и логических операций, которые она может выполнять.

Входной язык машины – АЛМИР-65. Разработан коллективом в составе В. М. Глушкова, А. А. Стогния, А. А. Летичевского, В. П. Клименко, А. А. Дородницыной и других. В МИР-2 и МИР-3 используется входной язык Аналитик, сохраняющий совместимость «снизу – вверх».

Алфавит входного языка ЭВМ МИР-1 составляют заглавные русские и латинские буквы, знаки операций ({\displaystyle \textstyle \sum }), знаки выделения целой и дробной части числа, цифры, показатель порядка числа, знаки препинания (скобки, точка с запятой, запятая и так далее). При вводе информации в машину можно было пользоваться стандартными обозначениями элементарных функций (тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических, логарифмических и прочих). Русские слова РАЗРЯДНОСТЬ, ВЫЧИСЛИТЬ, ЗАМЕНИТЬ, ЕСЛИ, ТО, ИНАЧЕ, ГРАФИК, МАССИВ, ЗАГОЛОВОК ТАБЛИЦЫ и другие, использовались для описания вычислительного алгоритма и обозначения формы выходной информации – вывести результат в строку, в виде многопозиционной таблицы, графика и тому подобное. Десятичные числа вводились в машину в свободной форме, например, 374,3; 510-7; 3 и другие. Разрядность, с которой будут выполняться вычисления, указывалась при формулировке задачи. Предполагалась возможность работы с целыми числами и массивами. Была возможность редактирования и отладки введённой и запущенной программы. Режим «ЗАМЕНЯТЬ» позволял одну разрядность вычислений заменять на другую, один выделенный оператор – другим, добавлять операторы в программу, заменять при некоторых условиях описание основной программы и тому подобное.

На языке АЛМИР-65 были разработаны алгоритмы для длинной арифметики.

«МИР-2» – следующая версия ЭВМ, разработана Институтом кибернетики АН Украины под руководством академика В. М. Глушкова. Выпускалась с 1969 года. Через три года после появления МИР-1, в 1968 году была создана МИР-2, входной язык которой, хотя и являлся расширением входного языка машины МИР-1, имел недвусмысленное название – Аналитик. Это был первый, реализованный в СССР полноценный язык программирования с возможностью выполнять "алгебраические" вычисления. И долгое время, вплоть до появления его очередной версии, он был лучшим.

Быстродействие машины МИР-2 – около 12000 оп/с. Ёмкость оперативного запоминающего устройства (цикл обращения 12 мкс) – 8000 13-битных символов. Постоянное запоминающее устройство имеет ёмкость около 1,6 млн бит с циклом обращения 4 мкс, что достаточно для хранения нескольких десятков тысяч микрокоманд. Имеется буферное запоминающее устройство для выводимой информации объёмом 4000 10-битных слов. В качестве внешних устройств использовались: ввод с перфоленты, вывод на перфоленту, электрическая печатная машинка Soemtron, накопитель на магнитных картах, векторный графический дисплей со световым пером.

В качестве входного языка в машине МИР-2 использовался одноименный специальный язык высокого уровня АНАЛИТИК, который развивал концепции встроенного языка программирования МИР-1 и дополнительно позволял непосредственно формулировать задания с аналитическими преобразованиями формул, позволял получать аналитические выражения для производных и интегралов.

Не смотря на то, что имевшиеся вычислительные машины способны были выполнить несколько десятков тысяч команд, все они довольно быстро доказали свою практическую непригодность. Ни в одной из упомянутых систем, за исключением Аналитика, например, нельзя было взять интеграл. (Интегрирование само по себе, правда, было предусмотрено в Авто-Аналитике – расширенной версии названной программы, но фактически интеграл брался только в самых тривиальных случаях).

За рубежом был создан ряд языков программирования и программных систем для символьных операций: muMATH, Macsyma, Reduce, MapleV, Mathematicaи др., создавших реальную основу для развития компьютерной алгебры. Среди этих систем одной из самых простых и получивших массовое распространение была система muMATH, реализованная на многих мини- и микро-ЭВМ.

Осознание роли компьютерной алгебры привело к тому, что ее средства со временем были включены в наиболее серьезные системы для численных расчетов (Mathcad и MATLAB), что превратило их в мощные и гибкие универсальные математические системы.

1. Особенности основных систем символьной математики.

Для обеспечения учебного процесса можно рекомендовать системы MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA, что связано с простотой их использования и нацеленностью не только на научные исследования, но и учебный процесс. Поскольку принципы работы с системами символьной математики методически проработаны, возможно их постепенное освоение в ходе самого учебного процесса. Рекомендации по выбору MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA для обеспечения учебного процесса связан с простотой их использования и их нацеленностью не только на научные исследования, но и на учебный процесс. MATHCAD наиболее прост в освоении и использовании; обладает наиболее дружественным интерфейсом и требует самых минимальных инструкций, необходимых для того, чтобы уже первом занятии начать решать конкретные задачи: MATHCAD можно рекомендовать для использования на начальных этапах учебного процесса – для студентов младших курсов (в том числе и не обладающих навыками работы в сложных компьютерных системах). MAPLE и MATHEMATICA более сложные системы, обладающие самыми мощными вычислительными ресурсами, способными обеспечить любой математический уровень современного учебного процесса. Освоение и использование MAPLE и MATHEMATICA требует более основательной математической и программистской подготовки: их можно рекомендовать для использования на последующих этапах обучения – студентам средних и старших курсов и аспирантов (при этом навыки работы в MATHCAD оказываются полезными для освоение MAPLE и MATHEMATICA в виду общего подхода к работе в системах символьной математики – использования входных языков и программирование хода решения задач с использованием символьных процессоров). Системы символьной математики способны обеспечить весь спектр математических операций, необходимых при изучении физикоматематических дисциплин: алгебраические и символьные преобразования, дифференцирование и интегрирование, решение уравнений и систем уравнений, разложение функции в ряд, работа с векторами и матрицами, операции с комплексными функциями, использование булевых операций, построение двумерных и трехмерных графиков и др. По сравнению с MATHCAD системы MAPLE и MATHEMATICA обладают расширенными возможностями и, помимо указанных операций, способны символьно решать обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений, уравнения в частных производных; в них реализованы возможности тензорного анализа, работы со специальными функциями и многие другие средства. Это означает, что в тех случаях, когда для решения задач теоретической физики возможностей MATHCAD не хватает, можно использовать системы MAPLE и MATHEMATICA. При этом профессиональный подход к вычислительным задачам, особенно при получении новых результатов, предполагает (когда это возможно) использование разных систем символьной математики и проверку результатов с помощью разных систем и подходов. Современный учебный процесс для широкого круга будущих научных работников и инженеров должен обеспечивать овладение практическими навыками проведения как натурного, так и вычислительного эксперимента с высокотехнологичными методами получения, обработки и анализа экспериментальных и теоретических данных. Это, в свою очередь, предполагает использование современного программного обеспечения, умения осуществлять как численные, так и аналитические вычисления, анализ и визуализацию результатов. Во многих случаях это способны обеспечить системы символьной математики, с помощью которых возможно осуществить в процессе обучения: 1) цифровой метод получения и компьютерная обработка данных разного типа; 2) аналитические вычисления и преобразования; 3) математическое компьютерное моделирование (от использования шаблонов моделей до модельных построений разного уровня); 4) вычислительный эксперимент (изучение процессов для разных условий и параметров); 5) интерактивная визуализация явлений и процессов (в том числе тех, которые недоступны для традиционного форм обучения). Таким образом, системы символьной математики являются естественными современными программными ресурсами для обеспечения учебного процесса информационно-инновационного типа. Они способны обеспечить преемственность и фундаментальность образования на базе современного программного обеспечения. Практическое применение систем символьной математики в учебном процессе можно осуществить на базе комплексов программ, использующих, с одной стороны широкие возможности самих систем, а с другой – программно реализующих общие и специальные методы физикоматематических дисциплин, их содержательную часть и аналитикотеоретические подходы. Заметим, что возможности систем символьной математики позволяют (что, собственно, отражает методологические основы теоретической и математической физики, и что возможно реализовать в системах) построить ход решения (или их отдельные этапы) физических и математических задач в виде программных блоков и комплексов, которые можно трактовать как универсальные реализации решений общих теоретических и учебных проблем, так и рассматривать как составные части для создания комплексов для решения крупных прикладных проблем. В связи с этим разрабатываемые программные комплексы можно использовать на лекциях, практических и лабораторных занятиях (в виде компьютерного практикума моделирующего типа с использование систем символьной математики) в курсах элементарной, общей, теоретической и математической физики; они могут стать универсальными учебноисследовательскими ресурсами, применяемыми студентами и аспирантами при выполнении учебно-исследовательских курсовых и дипломных работ и диссертаций. В настоящее время большое число вузов России используют в учебном процессе ССМ (включая, MATHCAD, MAPLE и MATHEMATICA MATHLAB). Среди университетов, строящих подготовку кадров на основе ССМ – самые престижные вузы мира, например, Princeton University; California Institute of Technology; University of Oxford и т.п.) Технологиями, основанными на использовании в образовании систем символьной математики, охватывается практически весь спектр академических дисциплин в области точных наук, а также ряд гуманитарных наук. Системы символьной математики используются:

• при проведении практических занятий и лабораторных работ;

• в виде «живых» электронных справочников и книг

• как рабочие материалы для банка задач и выполнения домашних и дистанционных заданий;

• как универсальные средства для создания учебных пособий и наглядных визуализаций.

Тем не менее, существует большой ресурс для использования ССМ в образовании, связанный:

• с универсализацией учебных материалов (и доведения их до уровня, соответствующего фундаментальным педагогическим принципам);

• с разработкой технологических основ многоцелевого и многовариантного учебного процесса, сочетающего очные и дистанционные формы обучения и обеспечивающие индивидуальность «траектории обучения» для каждого студента;

• с расширением области применения ССМ для дисциплин, использующих сложный математический аппарат;

• с развитием подходов, обеспечивающих естественную связь учебно-научной деятельности и исследовательской работы;

• с обеспечением преемственного поступательного процесса подготовки кадров, включающего профориентацию школьников, реализацию мотивационных потребностей студентов и развитие профессиональных компетенций молодых специалистов и ученых.

1. Концепция инновационного учебного процесса на базе систем символьной математики.

В физико-математических и инженерных дисциплинах основные законы, теоремы, зависимости параметров и т. д. представляются в виде функциональных аналитических соотношений – символьных формул. И именно символьные вычисления и преобразования составляют наиболее существенную содержательную часть всей вычислительной работы в этих дисциплинах [3-7]. До сих пор учебный процесс, обеспечивающий изучение таких дисциплин, в основном, обходится без использования компьютерных технологий в части использования символьных вычислений: существующие учебные материалы либо являются оцифрованными учебниками традиционного типа (различного программного воплощения), либо представляют собой отдельные программные ресурсы для численных вычислений, построения графиков и т.п. При этом системы компьютерного тестирования в области точных наук основаны на контроле «текстовых выражений» или численных значений и на выборке правильного результата из нескольких формул-картинок. Это означает существенное ограничение образовательного потенциала компьютерных технологий в области точных наук и приводит, в свою очередь, к подходу типа «делаем как допускает система, а не как того требует содержание дисциплины», что особенно наглядно в попытках компьютерной проверки знаний, представленной естественными символьными соотношениями, в виде не всегда корректных их текстовых описаний или представлений и зачастую проверяющих не сами знания, а лишь демонстрирующих несовершенство компьютерной системы или программы, неспособной адекватно представить и проверить материал точных наук. Другая проблема, которая имеет место в учебном процессе в области преподавания точных наук, – обеспечение интерактивности учебных материалов (что совершенно естественно для таких предметов) и организация дистанционного учебного процесса. Знание основных законов в виде формул и соотношений требует выполнения многочисленных выкладок и преобразований, умения выводить формулы и применять их для разных ситуаций, «традиционные компьютерные технологии» способны обеспечить лишь «традиционные формы» представления знаний. С другой стороны «несовершенство» таких подходов ограничивает дистанционной учебный процесс в части обмена информацией (огромные по размеру файлы, невозможность проверки заданий в автоматическом режиме и т.п.) между учащимся, учебным заведением и преподавателем: существенная часть учебных материалов (задания, контрольные и т.п.) существует в бумажном виде и пересылается обычной почтой или по электронной почте в виде отсканированных страниц и/или материалов, выполненных в текстовых редакторах. Эти проблемы естественным образом могут быть решены использованием в учебном процессе систем символьной математики, которые в состоянии полностью обеспечить сопровождение преподавания точных наук: интерактивный тип материалов, малый объем пересылаемых электронных файлов-рабочих листов, электронный банк заданий и типовых задач, процесс обучения с представлением материала в аналитическом виде (с учетом других обширных возможностей систем символьной математики), реальное дистанционное взаимодействие студент – преподаватель, а также контроль знаний в естественном математическом символьно-формульном виде. Именно такой подход, основанный на использовании современных систем символьной математики и который, с одной стороны, реализует все базовые фундаментальные принципы образования физикоматематических и инженерных курсов, а с другой – обеспечивает учащихся и преподавателей самыми современными математическим и технологическими компьютерными средствами, сочетающими аналитические вычисления, численный анализ и качественную визуализацию данных и результатов, составляет содержание инновационного учебного процесса. Отметим, что компьютерные технологии в образовании могут быть эффективными только при соответствии программных возможностей математического обеспечения, качества электронных учебных материалов и профессионального уровня преподавателей (как в предметной области, так и в области использования компьютерных технологий). Реализация такого инновационного учебного процесса может быть осуществлена посредством разработки и внедрения программных комплексов на основе систем символьной математики, их интеграцией в систему преподавания, администрирования и контроля, а также с адаптацией этих комплексов с другими компьютерными технологиями, сопровождающими современный учебный процесс.

1. Системы символьной математики и их роль в учебном процессе

Современные науку и образование уже невозможно представить без повсеместного использования компьютерных технологий, вычислительной техники и различного математического обеспечения. Однако важным остается вопрос, как и в каком качестве их использовать при решении основной задачи высшей школы – подготовке высококвалифицированных научных и инженерных кадров, способных решать современные научные и практические проблемы. Компьютерные ресурсы необходимые для успешного решения такой образовательной задачи должны удовлетворять определенным требованиям: обеспечивать преемственность и фундаментальность физико-математического и инженерного научного образования, не замыкаться на трудоемкое общения с компьютером и обладать самыми мощными и адекватными математическими возможностями. Такими инструментами являются системы символьной математики – интерактивные многофункциональные компьютерные системы высокого интеллектуального уровня, сочетающие простоту использования с мощью самых современных математических инструментов. Их справочные материалы [3-8], содержат не только сведения по работе, но и развернутые современные учебники математики, справочники по физике и другим дисциплинам. Поэтому системы символьной математики являются интерактивной учебно-исследовательской виртуальной средой. Работа в такой среде предполагает невольное «подтягивание» пользователя до необходимого уровня, что является своеобразной дополнительной образовательной технологией. Такие системы получили всемирное признание в научных и академических кругах как инструменты научных исследований и прикладных инженерных расчетов; но они только начинают использоваться в образовании. При этом системы символьной математики обладают большой образовательной эффективностью, и опыт их развития указывает на перспективы их применения в учебном процессе. Несмотря на «математическое происхождение» систем, они адекватны потребностям физико-математического и инженерного образования, как средства, содержащие самые разнообразные математические инструменты, необходимые для физических и прикладных исследований: от обработки массивов данных до квантовых систем и космологии. Сами по себе системы символьной математики не являются средствами, «автоматически» поднимающими математический уровень пользователей: они могут служить полезными инструментами как при компьютерном решении задач, так и в самом процессе изучения физикоматематических дисциплин (причем, эти стороны использования систем символьной математики, конечно же, взаимно обусловлены). Не заменяя преподавателя и не подменяя стандартный учебный процесс, но требуя от пользователя необходимого уровня математической подготовки для общения на входных языках и составления аналитикочисленных алгоритмов решения задач, системы символьной математики (имеющие встроенные инструменты верификации, в том числе и пошаговой, и обладающие обратными связями в виде интерактивных комментариев и подсказок), могут служить, с одной стороны, своеобразными контролерами качества математических выкладок, а с другой – обеспечивать учебный процесс информационного типа. Соответствие задач физико-математического и инженерного образования и возможностей систем символьной математики делает последние естественной компьютерной средой обучения и учебноисследовательской деятельности. Действительно, учебный процесс требует таких компьютерных средств, которые обеспечивали бы адекватный уровень математических вычислений и не требовали бы специальной программистской подготовки и трудоемкого освоения математического обеспечения. В справочных материалах систем символьной математики имеются, помимо прочего, имеются развернутые современные учебники по математике, справочники по математике, физике и другим дисциплинам: их можно рассматривать как учебно-исследовательские среды. Использование системы символьной математики в образовании:

- создает особую информационную среду обучения, основанную на современных компьютерных технологиях;

- позволяет органично сочетать фундаментальность образования с интерактивными и дистанционными формами обучения;

- обеспечивает профессиональную преемственность обучения, основанную на академической и научной практике работы с ССМ.

Системы символьной математики дают возможность проводить обучение деятельностного типа, изменить общение студентов с преподавателем и студентов между собой, использовать новые формы выполнение практических и домашних заданий. Они дают возможность преемственного подхода к традиционным практическим занятиям: с одной стороны на компьютере можно решать традиционные задачи, а с другой решение таких задач может быть существенно расширено за счет возможностей компьютера (подробный анализ полученного решения: наглядное представление результатов в аналитической и графической формах). Рабочие листы систем представляют собой так называемые «живые электронные книги»: вычисления, преобразования, построения графиков и т.п. происходит интерактивно, а пользователь имеет возможность вносить свои поправки в значения параметров, изменять функции и делать дополнения (все это сразу или по команде отражается на рабочем листе). Все это делает системы символьной математики настоящим интерактивным учебным пособием. Использование систем символьной математики в учебном процессе обеспечивает также дополнительные возможности в:

- применении индивидуальных и групповых формах выполнение заданий;

- организации выполнения заданий в очной и дистанционной формах;

- формулировке систем персональных заданий для каждого студента различных степеней сложности, учитывающих его образовательный уровень и скорость усвоения материала;

- расширении круг решаемых задач: от коротких типовых примеров до комплексных исследовательских заданий;

- развитии индивидуальных возможностей студентов. Интегрирование систем символьной математики с системами администрирования и контроля может обеспечить все потребности современного учебного процесса.

1. Обзор основных современных символьных систем в России

К сожалению, на российском рынке массовые системы компьютерной алгебры представлены только зарубежными программами. Это связано с тем, что современные программы этого класса относятся к числу наиболее сложных программных продуктов, требующих для своей разработки больших интеллектуальных, трудовых и финансовых затрат. Пик разработки таких программ пришелся на начало 90-х годов, что совпало с распадом СССР и возникновением в России глубокого экономического и финансового кризиса. В таких условиях, создание программ, способных конкурировать с многочисленными зарубежными программами компьютерной математики, стало практически невозможным. Однако благодаря известным достоинствам операционных систем класса Windows нет никаких принципиальных ограничений на применение зарубежных программ компьютерной математики русскоязычными пользователями, хотя есть и определенные неудобства.

Наиболее мощными и качественными среди универсальных систем компьютерной алгебры являются коммерческие пакеты Maple и Mathematica, разработка которых осуществляется на постоянной основе уже более четверти века. Эти системы имеют собственные ядра, оснащены развитым пользовательским интерфейсом и обладают разнообразными графическими и редакторскими возможностями.

Maple

Является продуктом компании Waterloo Maple Software, Inc. (http://www.maplesoft.com/), которая с 1984 года выпускает программные продукты, ориентированные на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе. Благодаря представлению формул в полиграфическом формате, великолепной двух- и трехмерной графике и анимации Maple является одновременно и мощным научным графическим редактором. Простой и эффективный язык-интерпретатор, открытая архитектура, возможность преобразования кодов Maple в коды C делает его очень эффективным средством создания новых алгоритмов. Обладает интуитивно понятным интерфейсом, простыми правилами работы и широким функционалом.

Mathematica

Система Mathematica имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica. В некоторых странах (например, в США) система высшего образования тесно связана с этим продуктом. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что ее операторы и способы записи алгоритмов просты и естественны. Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных. Главное преимущество Mathmatica, делающее ее бесспорным лидером среди других систем высокого уровня, состоит в том, что эта система получила сегодня очень широкое распространение во всем мире, охватив огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в сфере образования.

MathCAD

Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения для коллективной работы. Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического. Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов. Некоторые из математических возможностей Mathcad основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple.

Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип «что видишь, то и получаешь».

Несмотря на то, что эта программа, в основном, ориентирована на пользователей, не являющихся программистами, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования путём использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).

Отличительной чертой современного состояния ИТ является то, что коммерческие программные продукты во многих случаях полностью или частично можно заменить некоммерческим программным обеспечением, аналогами с открытым исходным кодом – свободными программами. Видное место среди некоммерческих проектов занимают системы Axiom, Maxima и Reduce. Несмотря на то что их основы были заложены еще до появления Maple и Mathematica, в перечисленных системах пока не достигнута «энциклопедичность», присущая Maple и Mathematica. Однако технически, благодаря открытости сходного кода, системы Axiom, Maxima и Reduce более гибки в использовании

Maxima

Имеет широкий набор средств для проведения аналитических вычислений, численных вычислений и построения графиков. По набору возможностей система близка к таким коммерческим системам, как Maple и Mathematica. В то же время она обладает высочайшей степенью переносимости: может работать на всех основных современных операционных системах на компьютерах, начиная от наладонных, и вплоть до самых мощных. Для редактирования научных текстов в Maxima может использоваться программа texmacs, которая позволяет экспортировать документы в ряд популярных форматов, включая TeX/LaTeX и HTML/MathML. Благодаря открытому коду системы появились производные решения, например, на основе Maxima сделана программа Stack, предназначенная для автоматизированной проверки] правильности математических выражений, применимая, в частности, для компьютерной проверки ответов обучающихся математике.

Reduce

Reduce — бесплатная система компьютерной алгебры общего назначения, имеющая расширенные возможности для применения в физике.

Разработку начал в 1960-е годы Энтони Хёрн (Anthony C. Hearn), позднее к созданию системы присоединились и другие учёные. Система написана целиком на специально созданном для неё языке Portable Standard Lisp — диалекте Лиспа, включающим, в дополнении к языку со стандартным скобочным лисп-синтаксисом, специальный язык RSL с алголоподобным синтаксисом. RSL используется как основа для пользовательского языка системы.

С декабря 2008 года Reduce стал доступен бесплатно как открытое программное обеспечение.

Reduce имеет широкий набор средств для проведения аналитических вычислений, численных вычислений и построения графиков. По набору возможностей система близка к таким коммерческим системам как Maple и Mathematica. В то же время она обладает высокой степенью переносимости: она может работать на всех основных современных операционных системах на компьютерах, начиная от наладонных компьютеров, вплоть до самых мощных. Для редактирования научных текстов в Reduce может использоваться программа texmacs, что позволяет экспортировать документы в ряд популярных форматов, включая TeX (LaTeX) и HTML (MathML).

Без серьезного реального опыта работы в каждой системе крайне затруднительно объективно сравнивать возможности различных универсальных систем компьютерной алгебры и рекомендовать какую-либо определенную из них. Несомненно, выбор зависит от предметной области научных, образовательных и технических исследований.

Заключение

Для научных работников и инженеров системы символьной математики незаменимое средство анализа постановки всевозможных задач моделирования. Под системами компьютерной математики понимают программное обеспечение, которое позволяет не только выполнять численные расчёты на компьютере, но и производить аналитические (символьные) преобразования различных математических и графических объектов. Все широко известные математические пакеты: Maple, Matlab, Matematica, позволяют проводить как символьные вычисления, так и использовать численные методы. В настоящее время такие системы являются одним из основных вычислительных инструментов компьютерного моделирования в реальном времени и находят применение в различных областях науки. Они открывают также новые возможности для преподавания многих учебных дисциплин, таких как алгебра и геометрия, физика и информатика, экономика и статистика, экология. Применение системы символьной математики существенно повышает производительность труда научного работника, преподавателя вуза, учителя.

К сожалению, эта ветвь развития вычислительной техники и программного обеспечения в нашей стране не была поддержана в должной мере, и лидерство перешло к зарубежным разработчикам таких средств.

Список использованных источников

1. Грузина, Э. Э. Компьютерные науки : учебное пособие / Э. Э. Грузина, М. Р. Корчуганова ; Кемеровский государственный университет. – Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2009. – Ч. I. – 130 с. : табл., схем. – Режим доступа: по подписке. – URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=232495 (дата обращения: 02.11.2021). – ISBN 978-5-8353-0934-4. – Текст : электронный.

2. Зюзьков, В. М. Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие / В. М. Зюзьков ; Томский Государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). – Томск : Эль Контент, 2015. – 236 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=480935 (дата обращения: 02. 11.2021). – ISBN 978-5-4332-0197-2. – Текст : электронный.

3. Царев, А. В. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учебное пособие / А. В. Царев, Г. В. Шеина ; учред. Московский педагогический государственный университет. – Москва : Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 2016. – 116 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=471787 – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-4263-0393-5. – Текст : электронный.

4. Шабаршина, И. С. Основы компьютерной математики: задачи системного анализа и управления : учебное пособие : [16+] / И. С. Шабаршина, Е. В. Корохова, В. В. Корохов. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Южный федеральный университет, 2018. – 76 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=577786 (дата обращения: 02.11.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-9275-3118-9. – Текст : электронный.