Реферат "ИСТОРИЯ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

ИСТОРИЯ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ

Автор работы

студентка 5 курса группы МДФ-117 ________________________ А. Н. Родькина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование.

Профиль Физика. Информатика

Руководитель работы

канд. физ.-мат. наук, доцент__________________________ Т. В. Кормилицына

Оценка ____________________

Саранск 2021

Введение

Мы живём во время начала нового периода развития математики, который связан с изобретением и применением компьютеров. Прежде всего, компьютер предоставил возможность производить сложнейшие численные расчёты для решения тех задач, которые невозможно (по крайней мере, на данный момент) решить аналитически. Появилось так называемое «компьютерное моделирование» – целая отрасль прикладной математики, в которой с помощью самых современных вычислительных средств изучается поведение многих сложных экономических, социальных, экологических и других динамических систем.

История математики насчитывает около трёх тысячелетий и условно может быть разделена на несколько периодов. Первый – становление и развитие понятия числа, решение простейших геометрических задач. Второй период связан с появлением «Начал» Евклида и утверждением хорошо знакомого нам способа доказательства математических утверждений с помощью цепочек логических умозаключений. Следующий этап берёт своё начало с развития дифференциального и интегрального исчисления. Наконец, последний период сопровождается появлением и распространением понятий и методов теории множеств и математической логики, на прочном фундаменте которых возвышается всё здание современной математики.

Зарождение и развитие систем компьютерной алгебры.

Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х годов. Именно тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики, не совсем точно, но зато броско названная компьютерной алгеброй. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т. д. При этом предполагалась возможность получения аналитических (символьных) результатов везде, где это только возможно.

К сожалению, книги по этому направлению были способны лишь отпугнуть обычного читателя и пользователя компьютера от изучения возможностей компьютерной алгебры в силу перенасыщенности их узкоспециальным теоретическим материалом и весьма специфического языка описания. Материал таких книг, возможно, интересен математикам, занимающимся разработкой систем компьютерной алгебры, но отнюдь не основной массе их пользователей.

Большинство же пользователей заинтересовано в том, чтобы правильно выполнить конкретные аналитические преобразования, вычислить в символьном виде производную или первообразную заданной функции, разложить ее в ряд Тейлора или Фурье, провести аппроксимацию и т. д., а вовсе не в детальном и сложном математическом и логическом описании того, как это делается компьютером (или, точнее, его программистом). Здесь та же ситуация, что и с телевизором, радиоприемником или факсом: большинство из нас пользуются этими аппаратами, вовсе не интересуясь тем, как именно они выполняют свои довольно сложные функции.

Поняв эту истину, многие западные фирмы приступили к созданию компьютерных систем символьной математики, ориентированных на широкие круги пользователей, не являющихся профессионалами в компьютерной алгебре. Учитывая невероятно большую сложность автоматизации решения задач в аналитическом виде (число математических преобразований и соотношений весьма велико, и некоторые из них неоднозначны в истолковании), первые подобные системы удалось создать лишь для больших ЭВМ. Но затем появились и системы, доступные для мини-ЭВМ. Заметное развитие получили языки программирования для символьных вычислений Reduce, система muMath для малых ЭВМ, а в дальнейшем — интегрированные системы символьной математики для персональных компьютеров: Derive, MathCAD, Mathematica, Maple V и др.

В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии «Мир», разработанных под руководством академика В.М. Глушкова, была реализована СКМ на языке программирования «Аналитик», обладающая всеми возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по нынешним понятиям, характеристиками.

Виктор Михайлович Глушков (24 августа 1923 – 30 января 1982) – советский математик, кибернетик, депутат Верховного Совета СССР 8-10 созывов. Член многих академий наук и научных обществ мира. Заслуженный деятель науки УССР (1978), вице-президент Академии Наук УССР (с 1962 года), Герой Социалистического Труда (1969). Автор трудов по алгебре, кибернетике и вычислительной технике. Под его руководством в 1966 году была разработана первая в СССР персональная ЭВМ «МИР-1» (машина для инженерных расчётов).

«МИР» – серийная ЭВМ для инженерных расчётов, создана в 1965 году Институтом кибернетики Академии наук УССР, под руководством академика В. М. Глушкова. Одна из первых в мире однопользовательских ЭВМ. Выпускалась серийно и предназначалась для использования в учебных заведениях, инженерных бюро, научных организациях. Имела ряд уникальных особенностей, таких как: аппаратно реализованный машинный язык, близкий по возможностям к языкам программирования высокого уровня, развитое математическое обеспечение. Фактически относится к классу вычислительных машин, которые впоследствии получили название рабочих станций.

В 1968 году машина МИР модернизирована и получила название МИР-1. Модификация отличается от оригинальной модели наличием устройства ввода-вывода на перфоленту. Также в модификации были применены элементы повышенной надежности.

Система счисления десятичная (двоично-десятичная). Числа могли быть представлены как целые десятичные со знаком, с десятичным порядком и с плавающей запятой. Действия могут выполняться с числами произвольной разрядности и произвольной длины, ограниченного только объёмом памяти в 4096 символов. Время на выполнение операции сложения – 50 мкс. Среднее быстродействие – около 1-2 тыс. оп/с. В комплект машины входила электрическая печатная машинка Soemtron для ввода и вывода информации со скоростью 7 знаков в секунду. Управление машиной было организовано на микропрограммном принципе. Микропрограммирование позволило сильно поднять семантический уровень машинного языка и довести его до высокоуровневого языка программирования. Фактически, микропрограммами выполнялось большинство арифметических действий, вычисление элементарных функций выполнялось перед трансляцией и интерпретацией входной программы. Микрокоманды машины МИР-1 – 120-разрядные и записывались на сменных микропрограммных матрицах. Это позволяло довольно сильно изменять характер использования машины, набор арифметических и логических операций, которые она может выполнять.

Входной язык машины – АЛМИР-65. Разработан коллективом в составе В. М. Глушкова, А. А. Стогния, А. А. Летичевского, В. П. Клименко, А. А. Дородницыной и других. В МИР-2 и МИР-3 используется входной язык Аналитик, сохраняющий совместимость «снизу – вверх».

Алфавит входного языка ЭВМ МИР-1 составляют заглавные русские и латинские буквы, знаки операций, знаки выделения целой и дробной части числа, цифры, показатель порядка числа, знаки препинания (скобки, точка с запятой, запятая и так далее). При вводе информации в машину можно было пользоваться стандартными обозначениями элементарных функций (тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических, логарифмических и прочих). Русские слова РАЗРЯДНОСТЬ, ВЫЧИСЛИТЬ, ЗАМЕНИТЬ, ЕСЛИ, ТО, ИНАЧЕ, ГРАФИК, МАССИВ, ЗАГОЛОВОК ТАБЛИЦЫ и другие, использовались для описания вычислительного алгоритма и обозначения формы выходной информации – вывести результат в строку, в виде многопозиционной таблицы, графика и тому подобное. Десятичные числа вводились в машину в свободной форме, например, 374,3; 510-7; 3 и другие. Разрядность, с которой будут выполняться вычисления, указывалась при формулировке задачи. Предполагалась возможность работы с целыми числами и массивами. Была возможность редактирования и отладки введённой и запущенной программы. Режим «ЗАМЕНЯТЬ» позволял одну разрядность вычислений заменять на другую, один выделенный оператор – другим, добавлять операторы в программу, заменять при некоторых условиях описание основной программы и тому подобное.

На языке АЛМИР-65 были разработаны алгоритмы для длинной арифметики.

«МИР-2» – следующая версия ЭВМ, разработана Институтом кибернетики АН Украины под руководством академика В. М. Глушкова. Выпускалась с 1969 года. Через три года после появления МИР-1, в 1968 году была создана МИР-2, входной язык которой, хотя и являлся расширением входного языка машины МИР-1, имел недвусмысленное название – Аналитик. Это был первый, реализованный в СССР полноценный язык программирования с возможностью выполнять «алгебраические» вычисления. И долгое время, вплоть до появления его очередной версии, он был лучшим.

Быстродействие машины МИР-2 – около 12000 оп/с. Ёмкость оперативного запоминающего устройства (цикл обращения 12 мкс) – 8000 13-битных символов. Постоянное запоминающее устройство имеет ёмкость около 1,6 млн бит с циклом обращения 4 мкс, что достаточно для хранения нескольких десятков тысяч микрокоманд. Имеется буферное запоминающее устройство для выводимой информации объёмом 4000 10-битных слов. В качестве внешних устройств использовались: ввод с перфоленты, вывод на перфоленту, электрическая печатная машинка Soemtron, накопитель на магнитных картах, векторный графический дисплей со световым пером.

В качестве входного языка в машине МИР-2 использовался одноименный специальный язык высокого уровня АНАЛИТИК, который развивал концепции встроенного языка программирования МИР-1 и дополнительно позволял непосредственно формулировать задания с аналитическими преобразованиями формул, позволял получать аналитические выражения для производных и интегралов.

По сравнению с МИР-2 у машины МИР-3 производительность увеличена в 20 раз. Совместим с ЕС ЭВМ (Единая система электронных вычислительных машин) по интерфейсу канала и по форматам внешних носителей, могут использоваться периферийные устройства от ЕС ЭВМ.

Не смотря на то, что имевшиеся вычислительные машины способны были выполнить несколько десятков тысяч команд, все они довольно быстро доказали свою практическую непригодность. Ни в одной из упомянутых систем, за исключением Аналитика, например, нельзя было взять интеграл. (Интегрирование само по себе, правда, было предусмотрено в Авто-Аналитике – расширенной версии названной программы, но фактически интеграл брался только в самых тривиальных случаях).

К сожалению, в отрыве от мировой науки и серьезных источников финансирования наши работы (за исключением некоторых теоретических) в области компьютерной алгебры оказались малоэффективными — отечественных систем компьютерной алгебры для персональных компьютеров, доведенных до серийного производства и мировой известности, так и не было создано (впрочем, как и конкурентоспособных ПК на нашей элементной базе). Зато множество наших специалистов — как математиков, так и программистов — эмигрировали на Запад и приняли участие, порой весьма серьезное, в разработке западных систем символьной математики. В том числе и систем класса Mathematica.

Особенности систем компьютерной математики

Большинство первых CKM (Eureka, Mercury, Excel, Lotus-123, Mathcad для MS-DOS, PC MATLAB и др.) предназначались для численных расчетов. Они как бы превращали компьютер в большой программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по введенной программе) выполнять арифметические и логические операции над числами или массивами чисел. Их результат всегда конкретен — это или число, или набор чисел, представляющих таблицы, матрицы или точки графиков. Разумеется, компьютер позволяет выполнять такие вычисления с немыслимой ранее скоростью, педантичностью и даже точностью, выводя результаты в виде хорошо оформленных таблиц или графиков.

Однако результаты вычислений редко бывают абсолютно точными в математическом смысле: как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление, обусловленное принципиальным ограничением разрядной сетки компьютера при хранении чисел в памяти. Реализация большинства численных методов (например, решения нелинейных или дифференциальных уравнений) также базируется на заведомо приближенных алгоритмах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы теряют вычислительную устойчивость и расходятся, давая неверные решения или даже ведя к полному краху работы вычислительной системы — вплоть до злополучного «зависания».

Условия, при которых это наступает, не всегда известны — их оценка довольно сложна в теоретическом отношении и трудоемка на практике. Поэтому рядовой пользователь, сталкиваясь с такой ситуацией, зачастую становится в тупик или, что намного хуже, неверно истолковывает явно ошибочные результаты вычислений, «любезно» предоставленные ему компьютером. Трудно подсчитать, сколько «открытий» на компьютере было отвергнуто из-за того, что наблюдаемые колебания, выбросы на графиках или асимптоты ошибочно вычисленных функций неверно истолковывались как новые физические закономерности моделируемых устройств и систем, тогда как на деле были лишь грубыми погрешностями численных методов решения вычислительных задач.

Многие ученые справедливо критиковали численные математические системы и программы реализации численных методов за частный характер получаемых с их помощью результатов. Они не давали возможности получить общие формулы, описывающие решение задач. Как правило, из результатов численных вычислений невозможно было сделать какие-либо общие теоретические, а подчас и практические выводы. Поэтому, прежде чем использовать такие системы в реализации серьезных научных проектов, приходилось прибегать к дорогой и недостаточно оперативной помощи математиков-аналитиков. Именно они решали нужные задачи в аналитическом виде и предлагали более или менее приемлемые методы их численного решения на компьютерах.

Что дает компьютерная математика университетам и школам?

В конечном счете, СКМ — не более чем удобный и мощный инструмент для учащегося, педагога, инженера или научного работника. Как его применять (в методическом, научном и практическом отношении), зависит уже от пользователя. Однако важно и ценно то, что системы символьной математики снимают у учащихся психологический барьер в реальном применении математики, особенно высшей.

Тем не менее, многие преподаватели математики опасаются приобщения своих учеников к работе с СКМ. Бывает, что некоторые преподаватели школ и вузов при подготовке массовых заданий по алгебре, тригонометрии и геометрии сами применяют СКМ — например, для подготовки заданий по курсам математики или физики. Но это становится еще одним наивным поводом ограждать учащихся от систем символьной математики и даже запрещать их в учебном процессе. Оно и понятно — ведь школьник или студент, имеющий компьютер с системой компьютерной алгебры, прощелкает все подобные примеры за считанные минуты. Между тем учащихся, столь виртуозно владеющих системами компьютерной математики, надо лишь всячески поощрять!

Надо учитывать, что эффективное применение систем компьютерной алгебры практически невозможно без четкого понимания основ элементарной и высшей математики. Невозможно оно и без творческого участия пользователя как в постановке решения задач, так и в контроле и отборе результатов их решения. В большинстве математических систем используются специальные опции и директивы, направляющие решение в нужное русло. В какое именно — должен определить пользователь, владеющий нужными для этого математическими понятиями. Кроме того, именно пользователю необходимо проверить полученные результаты и убедиться в их достоверности.

Среди части преподавателей вузов существует в корне неверное мнение о том, что не нужно изучать сами СКМ — достаточно использовать доморощенные обучающие программы. Среди таких программ и впрямь есть интересные разработки, но, как правило, они базируются на ядре той или иной символьной СКМ, причем нередко старых версий, применяемых с целью обойти лицензионные ограничения.

По большому счету, такие обучающие системы ничего нового в процесс математических вычислений не вносят. Современные универсальные СКМ намного мощнее подобных программ, имеют более совершенный и более удобный интерфейс пользователя, а главное — только они реально применяются на месте работы будущих специалистов. Поэтому изучение современных СКМ столь же необходимо, как изучение офисных программ, например, того же текстового редактора Word 95/97. Наиболее удобной формой для этого являются спецкурсы, хотя и в ряде обязательных курсов такое изучение предусмотрено новыми учебными программами Министерства образования РФ.

В наших экономических условиях особенно велика роль систем компьютерной математики как мощных электронных справочников. Число издаваемых обычным способом справочников по математике или физике (не говоря уже о инженерных дисциплинах) в последние годы катастрофически упало. Это повышает роль справочников электронных, тем более что справочные базы данных современных систем компьютерной математики обладают рядом очевидных достоинств:

• вмещают в себя объемы информации, эквивалентные порой десяткам книг;

• аккумулируют знания, полученные за многие тысячелетия развития математики;

• имеют безупречное оформление документов (цветные тексты и иллюстрации, всевозможные выделения, качественные иллюстрации и т. д.);

• имеют разную организацию оглавления (индексную, поиск по контексту и т. д.);

• отличаются очень быстрым поиском нужной информации по ряду критериев;

• имеют «живые» примеры, которые можно изменять в ходе просмотра справочных данных;

• справочные материалы могут сопровождаться звуковыми и видеокомментариями;

• позволяют готовить высококачественные и наглядные уроки не только по любым разделам математики, но и по многим дисциплинам, базирующимся на применении математического аппарата;

• позволяют быстро размножить интересующие пользователя материалы; 

•  обладают возможностью обновления и пополнения из сети Интернет.

Современные СКМ следует рассматривать не только как электронные справочники нового поколения, но и как системы для самообучения и дистанционного обучения математике. Однако для этого они должны быть снабжены грамотно составленными (прежде всего в методическом отношении) электронными уроками или книгами. В то же время, при отсутствии таких уроков применение математических систем может иметь негативные последствия для образования — опасна подмена обучения основам математики обучением основам работы с математическими системами.

Многие виды вычислений, даже элементарных, довольно трудоемки. Например, построение трехмерной поверхности требует зачастую сотен однообразных вычислений, выполнять которые крайне муторно даже при применении калькуляторов. Современные СКМ (в том числе Mathematica) делают это за считанные секунды, а то и за доли секунды. К тому же они сразу же строят графики поверхностей с разнообразной функциональной окраской и позволяют интерактивно вращать их (Mathematica 4), добиваясь лучшей выразительности и лучшего обзора фигур.

Применение СКМ в образовании избавляет учащихся от массы рутинных вычислений и высвобождает их время для обдумывания алгоритмов решения задач, более обоснованной постановки их решения, многовариантного подхода и представления результатов в наиболее наглядной форме. Высвободившееся время можно использовать для более глубокого изучения математической или физической сущности решаемых задач и их решения различными методами. Таким образом, СКМ не только не лишают учащихся серьезных математических навыков, но, напротив, способны их расширить и углубить.

Немаловажным фактором является то, что новейшие СКМ относятся к самым серьезным программным продуктам, имеющим современный пользовательский интерфейс и мощные средства визуализации всех этапов работы — причем, в области математики более выразительные, чем те, которые дают текстовые процессоры класса Word 95/97. Так что, работая с ними, пользователь поневоле осваивает работу с компьютером и познаёт тонкости интерфейса современных программ.

Кроме того, современные СКМ позволяют готовить и распечатывать документы, затрачивая на это куда меньше времени, чем популярные у математиков системы ТеХ или LaTeX. Впрочем, Mathematica прекрасно сожительствует с ними и позволяет представлять данные в необходимом для этих систем формате. Mathematica 4 поддерживает новейший формат подготовки математических документов для Интернета — MathML.

Работать с современными СКМ просто, приятно и поучительно. Благодаря этому освоение систем Mathematica воспринимается учащимися с большим интересом, что служит побудительным мотивом к их внедрению в систему образования, причем не только высшего, но и среднего, и даже начального (последнему, как отмечалось, фирма Wolfram в последние годы уделяет большое внимание).

Заключение

Для научных работников и инженеров системы символьной математики незаменимое средство анализа постановки всевозможных задач моделирования. Под системами компьютерной математики понимают программное обеспечение, которое позволяет не только выполнять численные расчёты на компьютере, но и производить аналитические (символьные) преобразования различных математических и графических объектов. Все широко известные математические пакеты: Maple, Matlab, Matematica, позволяют проводить как символьные вычисления, так и использовать численные методы.

В настоящее время такие системы являются одним из основных вычислительных инструментов компьютерного моделирования в реальном времени и находят применение в различных областях науки. Они открывают также новые возможности для преподавания многих учебных дисциплин, таких как алгебра и геометрия, физика и информатика, экономика и статистика, экология. Применение системы символьной математики существенно повышает производительность труда научного работника, преподавателя вуза, учителя.

К сожалению, эта ветвь развития вычислительной техники и программного обеспечения в нашей стране не была поддержана в должной мере, и лидерство перешло к зарубежным разработчикам таких средств.

Список использованных источников

1. Грузина, Э. Э. Компьютерные науки : учебное пособие / Э. Э. Грузина, М. Р. Корчуганова ; Кемеровский государственный университет. – Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2009. – Ч. I. – 130 с. : табл., схем. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=232495 (дата обращения: 31.10.2021). – ISBN 978-5-8353-0934-4. – Текст : электронный.

2. Зюзьков, В. М. Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие / В. М. Зюзьков ; Томский Государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). – Томск : Эль Контент, 2015. – 236 с. – Режим доступа: по подписке. – URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=480935(дата обращения: 31.10.2021). – ISBN 978-5-4332-0197-2. – Текст : электронный.

3. Ларин, С. В. Методика обучения математике: компьютерная анимация в среде Geogebra : учебное пособие для вузов / С. В. Ларин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 233 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08929-5. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/473361 (дата обращения: 31.10.2021).

4. Прохорова, О. В. Информатика : учебник / О. В. Прохорова ; Самарский государственный архитектурно-строительный университет, Кафедра прикладной математики и вычислительной техники. – Самара : Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 2013. – 106 с. : ил. – Режим доступа : по подписке. – URL : http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=256147(дата обращения: 31.10.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-9585-0539-5. – Текст : электронный.

5. Седов, Е. С. Основы работы в системе компьютерной алгебры Mathematica / Е. С. Седов. – 2-е изд., испр. – Москва : Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ», 2016. – 402 с. : схем., ил. – Режим доступа : по подписке. – URL : http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=429169 (дата обращения: 31.10.2021). – Библиогр. в кн. – Текст : электронный.

6. Царев, А. В. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры: учебное пособие / А. В. Царев, Г. В. Шеина ; учред. Московский педагогический государственный университет. – Москва : Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 2016. – 116 с. : ил. – Режим доступа : по подписке. – URL : http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=471787 (дата обращения : 31.10.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-4263-0393-5. – Текст : электронный.