История систем символьной математики в России

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

История систем символьной математики в России

Выполнила: студентка 5 курса

группы МДМ-117 Сафаева Н.В.

Проверила: Кормилицина Т.В.

Саранск – 2021

Содержание

Введение 3

1 Начало развития систем символьной математики в России 5

2 Основные понятия и определения 12

3 Системы символьной математики и их роль в учебном процессе 16

3 Обзор основных современных символьных систем в России 20

Заключение 25

Список использованных источников 26

Введение

В истории математики насчитывается около трёх тысячелетий, которые условно можно разделить на несколько периодов. Первый – становление и развитие понятия числа, решение простейших геометрических задач. Второй период связан с появлением «Начал» Евклида и утверждением хорошо знакомого нам способа доказательства математических утверждений с помощью цепочек логических умозаключений.

Третий этап берёт своё начало с развития дифференциального и интегрального исчисления, последний период сопровождается появлением и распространением понятий и методов теории множеств и математической логики, на прочном фундаменте которых возвышается всё здание современной математики.

Мы живём во время начала нового периода развития математики, который связан с изобретением и применением компьютеров. Прежде всего, компьютер предоставил возможность производить сложнейшие численные расчёты для решения тех задач, которые невозможно (по крайней мере, на данный момент) решить аналитически. Появилось так называемое «компьютерное моделирование» – целая отрасль прикладной математики, в которой с помощью самых современных вычислительных средств изучается поведение многих сложных экономических, социальных, экологических и других динамических систем.

Изучение математики даёт в распоряжение будущего инженера, экономиста, научного работника не только определённую сумму знаний, но и развивает в нём способность ставить, исследовать и решать самые разнообразные задачи.

Иными словами, математика развивает мышление будущего специалиста и закладывает прочный понятийный фундамент для освоения многих специальных дисциплин. Кроме того, именно с её помощью лучше всего развиваются способности логического мышления, концентрации внимания, аккуратности и усидчивости.

Компьютерная алгебра – область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов. Для неё, как и для любой области, лежащей на стыке различных наук, трудно определить чёткие границы. Часто говорят, что к компьютерной алгебре относятся вопросы слишком алгебраические, чтобы содержаться в учебниках по вычислительной математике, и слишком вычислительные, чтобы содержаться в учебниках по алгебре. При этом ответ на вопрос о том, относится ли конкретная задача к компьютерной алгебре, часто зависит от склонностей специалиста.

1 Начало развития систем символьной математики в России

В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии "Мир", разработанных под руководством академика В.М. Глушкова, была реализована СКМ на языке программирования "Аналитик", обладающая всеми возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по нынешним понятиям, характеристиками.

Виктор Михайлович Глушков (24 августа 1923 - 30 января 1982) - советский математик, кибернетик, депутат Верховного Совета СССР 8-10 созывов. Член многих академий наук и научных обществ мира. Заслуженный деятель науки УССР (1978), вице-президент Академии Наук УССР (с 1962 года), Герой Социалистического Труда (1969). Автор трудов по алгебре, кибернетике и вычислительной технике. Под его руководством в 1966 году была разработана первая в СССР персональная ЭВМ «МИР-1» (машина для инженерных расчётов).

«МИР» - серийная ЭВМ для инженерных расчётов, создана в 1965 году Институтом кибернетики Академии наук УССР, под руководством академика В. М. Глушкова. Одна из первых в мире однопользовательских ЭВМ. Выпускалась серийно и предназначалась для использования в учебных заведениях, инженерных бюро, научных организациях. Имела ряд уникальных особенностей, таких как: аппаратно реализованный машинный язык, близкий по возможностям к языкам программирования высокого уровня, развитое математическое обеспечение. Фактически относится к классу вычислительных машин, которые впоследствии получили название рабочих станций.

В 1968 году машина МИР модернизирована и получила название МИР-1. Модификация отличается от оригинальной модели наличием устройства ввода-вывода на перфоленту. Также в модификации были применены элементы повышенной надежности.

Система счисления десятичная (двоично-десятичная). Числа могли быть представлены как целые десятичные со знаком, с десятичным порядком и с плавающей запятой. Действия могут выполняться с числами произвольной разрядности и произвольной длины, ограниченного только объёмом памяти в 4096 символов. Время на выполнение операции сложения - 50 мкс. Среднее быстродействие - около 1-2 тыс. оп/с. В комплект машины входила электрическая печатная машинка Soemtron для ввода и вывода информации со скоростью 7 знаков в секунду. Управление машиной было организовано на микропрограммном принципе. Микропрограммирование позволило сильно поднять семантический уровень машинного языка и довести его до высокоуровневого языка программирования. Фактически, микропрограммами выполнялось большинство арифметических действий, вычисление элементарных функций выполнялось перед трансляцией и интерпретацией входной программы. Микрокоманды машины МИР-1 - 120-разрядные и записывались на сменных микропрограммных матрицах. Это позволяло довольно сильно изменять характер использования машины, набор арифметических и логических операций, которые она может выполнять.

Входной язык машины - АЛМИР-65. Разработан коллективом в составе В. М. Глушкова, А. А. Стогния, А. А. Летичевского, В. П. Клименко, А. А. Дородницыной и других. В МИР-2 и МИР-3 используется входной язык Аналитик, сохраняющий совместимость «снизу - вверх».

Алфавит входного языка ЭВМ МИР-1 составляют заглавные русские и латинские буквы, знаки операций ( ), знаки выделения целой и дробной части числа, цифры, показатель порядка числа, знаки препинания (скобки, точка с запятой, запятая и так далее). При вводе информации в машину можно было пользоваться стандартными обозначениями элементарных функций (тригонометрических, обратных тригонометрических, гиперболических, логарифмических и прочих). Русские слова РАЗРЯДНОСТЬ, ВЫЧИСЛИТЬ, ЗАМЕНИТЬ, ЕСЛИ, ТО, ИНАЧЕ, ГРАФИК, МАССИВ, ЗАГОЛОВОК ТАБЛИЦЫ и другие, использовались для описания вычислительного алгоритма и обозначения формы выходной информации — вывести результат в строку, в виде многопозиционной таблицы, графика и тому подобное. Десятичные числа вводились в машину в свободной форме, например, 374,3; 5×10-7; 3 и другие. Разрядность, с которой будут выполняться вычисления, указывалась при формулировке задачи. Предполагалась возможность работы с целыми числами и массивами. Была возможность редактирования и отладки введённой и запущенной программы. Режим «ЗАМЕНЯТЬ» позволял одну разрядность вычислений заменять на другую, один выделенный оператор — другим, добавлять операторы в программу, заменять при некоторых условиях описание основной программы и тому подобное.

На языке АЛМИР-65 были разработаны алгоритмы для длинной арифметики.

«МИР-2» - следующая версия ЭВМ «МИР-1», разработана Институтом кибернетики АН Украины под руководством академика В. М. Глушкова. Выпускалась с 1969 года.

Быстродействие машины  МИР-2 -около 12000 оп/с. Ёмкость оперативного запоминающего устройства (цикл обращения 12 мкс) - 8000 13-битных символов. Постоянное запоминающее устройство имеет ёмкость около 1,6 млн бит с циклом обращения 4 мкс, что достаточно для хранения нескольких десятков тысяч микрокоманд. Имеется буферное запоминающее устройство для выводимой информации объёмом 4000 10-битных слов. В качестве внешних устройств использовались: ввод с перфоленты, вывод на перфоленту, электрическая печатная машинка Soemtron, накопитель на магнитных картах, векторный графический дисплей со световым пером.

В качестве входного языка в машине МИР-2 использовался специальный язык высокого уровня АНАЛИТИК, который развивал концепции встроенного языка программирования МИР-1 и дополнительно позволял непосредственно формулировать задания с аналитическими преобразованиями формул, позволял получать аналитические выражения для производных и интегралов.

По сравнению с МИР-2 у машины МИР-3 производительность увеличена в 20 раз. Совместим с ЕС ЭВМ (Единая система электронных вычислительных машин) по интерфейсу канала и по форматам внешних носителей, могут использоваться периферийные устройства от ЕС ЭВМ.

 К сожалению, эта ветвь вычислительной техники в дальнейшем не была поддержана в должной мере, и лидерство перешло к зарубежным разработчикам таких средств.

За рубежом был создан ряд языков программирования и программных систем для символьных операций: muMATH, Macsyma, Reduce, MapleV, Mathematicaи др., создавших реальную основу для развития компьютерной алгебры. Среди этих систем одной из самых простых и получивших массо­вое распространение была система muMATH, реализованная на многих мини- и микро-ЭВМ.

Осознание роли компьютерной алгебры привело к тому, что ее средства со временем были включены в наиболее серьезные системы для численных расчетов (Mathcad и MATLAB), что превратило их в мощные и гибкие уни­версальные математические системы.

Термин компьютерная алгебра (или символьные и алгебраические вычисления) выражает способность компьютеров манипулировать математическими выражениями, заданными символьно, а не численно, по аналогии с алгеброй высказываний. Используя символьное представление точных чисел и алгебраических выражений, системы компьютерной алгебры помогают в вычислениях, сокращая количество численных ошибок. Компьютерная алгебра используется при решении широкого круга проблем.

Базовые типы данных систем компьютерной алгебры: числа и математические выражения. Кроме того, в компьютерной алгебре рассматриваются такие объекты, как функциональные, дифференциальные поля, допускающие показательные, логарифмические, тригонометрические функции; матричные кольца и др.

Системы компьютерной алгебры работают следующим образом:

– математические объекты и указания, что с ними делать, задаются пользователем на входном языке системы в виде символьных выражений;

– интерпретатор анализирует и переводит символьные выражения во внутреннее представление;

– символьный процессор системы выполняет требуемые преобразования или вычисления и выдает ответ в математической нотации.

Выделяют системы компьютерной алгебры общего назначения и специализированные. Наиболее известные системы из первой группы: Derive, Mathematica, Maple, Macsyma и ее потомок Maxima, Scratchpad и ее потомок Axiom, Reduce, MuPAD, Mathcad, MATLAB, Sage, SMath Studio, Yacas, Scientific WorkPlace, Kalamaris. Системы для решения задач одного или нескольких смежных разделов символьной математики – это специализированные СКА. Примерами таковых являются GAP (теория групп), Cadabra (тензорная алгебра), KANT (алгебра и теория чисел), Singular (полиномиальные вычисления с акцентом на нужды коммутативной алгебры, алгебраическая геометрия), Calc3D (для работы с 3D матрицами, векторами, комплексными числами), GRTensorII (дифференциальная геометрия).

Составляющие систем компьютерной алгебры:

– ядро системы (содержит реализации операторов и встроенных функций, обеспечивающих выполнение аналитических преобразований математических выражений на основе системы определенных правил);

– интерфейсная оболочка (обеспечивают поддержку всех функций, необходимых для информационных и управляющих взаимодействий между системой и пользователями);

– библиотеки специализированных программных модулей и функций (содержат систематизированные по назначению реализации алгоритмов обработки абстрактных объектов, решения типовых математических задач);

– пакеты расширения (обеспечивают возможности программирования алгоритмов не только на языке самой системы, но и на языке ее реализации);

– справочная система (содержит и обеспечивает пользователей описаниями функциональных возможностей и демонстрационными примерами работы, информационными сообщениями о текущем состоянии системы, а также сведениями о математических основах алгоритмов).

Системы компьютерной алгебры позволяют выполнять в аналитической форме:

– упрощение выражений или приведение к стандартному виду;

– подстановки символьных и численных значений в выражения;

– выделение общих множителей и делителей;

– раскрытие произведений и степеней, факторизацию;

– разложение на простые дроби;

– нахождение пределов функций и последовательностей;

– операции с рядами;

– дифференцирование в полных и частных производных;

– нахождение неопределенных и определенных интегралов;

– анализ функций на непрерывность;

– поиск экстремумов функций и их асимптот;

– операции с векторами;

– матричные операции;

– нахождение решений линейных и нелинейных уравнений;

– символьное решение задач оптимизации;

– алгебраическое решение дифференциальных уравнений;

– интегральные преобразования;

– прямое и обратное быстрое преобразование Фурье;

– интерполяцию, экстраполяцию и аппроксимацию;

– статистические вычисления;

– машинное доказательство теорем.

Также большинство систем компьютерной алгебры обеспечивают:

– числовые операции произвольной точности;

– целочисленную арифметику для больших чисел;

– вычисление фундаментальных констант с произвольной точностью;

– поддержку функций теории чисел;

– редактирование математических выражений в двумерной форме;

– построение графиков аналитически заданных функций;

– построение графиков функций по табличным значениям;

– построение графиков функций в двух или трех измерениях;

– анимацию формируемых графиков разных типов;

– использование пакетов расширения специального назначения;

– программирование на встроенном языке;

– автоматическую формальную верификацию;

– синтез программ.

К особенностям систем компьютерной алгебры относят преимущественно интерактивный характер работы – пользователь не знает заранее ни размера, ни формы результатов и поэтому должен иметь возможность корректировать ход вычислений на всех этапах, задавать режим пошагового выполнения с выводом промежуточных результатов.

2 Основные понятия и определения

Термин компьютерная алгебра (или символьные и алгебраические вычисления) выражает способность компьютеров манипулировать математическими выражениями, заданными символьно, а не численно, по аналогии с алгеброй высказываний. Используя символьное представление точных чисел и алгебраических выражений, системы компьютерной алгебры помогают в вычислениях, сокращая количество численных ошибок. Компьютерная алгебра используется при решении широкого круга проблем.

Базовые типы данных систем компьютерной алгебры: числа и математические выражения. Кроме того, в компьютерной алгебре рассматриваются такие объекты, как функциональные, дифференциальные поля, допускающие показательные, логарифмические, тригонометрические функции; матричные кольца и др.

Системы компьютерной алгебры работают следующим образом:

– математические объекты и указания, что с ними делать, задаются пользователем на входном языке системы в виде символьных выражений;

– интерпретатор анализирует и переводит символьные выражения во внутреннее представление;

– символьный процессор системы выполняет требуемые преобразования или вычисления и выдает ответ в математической нотации.

Выделяют системы компьютерной алгебры общего назначения и специализированные. Наиболее известные системы из первой группы: Derive, Mathematica, Maple, Macsyma и ее потомок Maxima, Scratchpad и ее потомок Axiom, Reduce, MuPAD, Mathcad, MATLAB, Sage, SMath Studio, Yacas, Scientific WorkPlace, Kalamaris. Системы для решения задач одного или нескольких смежных разделов символьной математики – это специализированные СКА. Примерами таковых являются GAP (теория групп), Cadabra (тензорная алгебра), KANT (алгебра и теория чисел), Singular (полиномиальные вычисления с акцентом на нужды коммутативной алгебры, алгебраическая геометрия), Calc3D (для работы с 3D матрицами, векторами, комплексными числами), GRTensorII (дифференциальная геометрия).

Составляющие систем компьютерной алгебры:

– ядро системы (содержит реализации операторов и встроенных функций, обеспечивающих выполнение аналитических преобразований математических выражений на основе системы определенных правил);

– интерфейсная оболочка (обеспечивают поддержку всех функций, необходимых для информационных и управляющих взаимодействий между системой и пользователями);

– библиотеки специализированных программных модулей и функций (содержат систематизированные по назначению реализации алгоритмов обработки абстрактных объектов, решения типовых математических задач);

– пакеты расширения (обеспечивают возможности программирования алгоритмов не только на языке самой системы, но и на языке ее реализации);

– справочная система (содержит и обеспечивает пользователей описаниями функциональных возможностей и демонстрационными примерами работы, информационными сообщениями о текущем состоянии системы, а также сведениями о математических основах алгоритмов).

Системы компьютерной алгебры позволяют выполнять в аналитической форме:

– упрощение выражений или приведение к стандартному виду;

– подстановки символьных и численных значений в выражения;

– выделение общих множителей и делителей;

– раскрытие произведений и степеней, факторизацию;

– разложение на простые дроби;

– нахождение пределов функций и последовательностей;

– операции с рядами;

– дифференцирование в полных и частных производных;

– нахождение неопределенных и определенных интегралов;

– анализ функций на непрерывность;

– поиск экстремумов функций и их асимптот;

– операции с векторами;

– матричные операции;

– нахождение решений линейных и нелинейных уравнений;

– символьное решение задач оптимизации;

– алгебраическое решение дифференциальных уравнений;

– интегральные преобразования;

– прямое и обратное быстрое преобразование Фурье;

– интерполяцию, экстраполяцию и аппроксимацию;

– статистические вычисления;

– машинное доказательство теорем.

Также большинство систем компьютерной алгебры обеспечивают:

– числовые операции произвольной точности;

– целочисленную арифметику для больших чисел;

– вычисление фундаментальных констант с произвольной точностью;

– поддержку функций теории чисел;

– редактирование математических выражений в двумерной форме;

– построение графиков аналитически заданных функций;

– построение графиков функций по табличным значениям;

– построение графиков функций в двух или трех измерениях;

– анимацию формируемых графиков разных типов;

– использование пакетов расширения специального назначения;

– программирование на встроенном языке;

– автоматическую формальную верификацию;

– синтез программ.

К особенностям систем компьютерной алгебры относят преимущественно интерактивный характер работы – пользователь не знает заранее ни размера, ни формы результатов и поэтому должен иметь возможность корректировать ход вычислений на всех этапах, задавать режим пошагового выполнения с выводом промежуточных результатов.

3 Системы символьной математики и их роль в учебном процессе

Современные науку и образование уже невозможно представить без повсеместного использования компьютерных технологий, вычислительной техники и различного математического обеспечения. Однако важным остается вопрос, как и в каком качестве их использовать при решении основной задачи высшей школы – подготовке высококвалифицированных научных и инженерных кадров, способных решать современные научные и практические проблемы.

Компьютерные ресурсы необходимые для успешного решения такой образовательной задачи должны удовлетворять определенным требованиям: обеспечивать преемственность и фундаментальность физико-математического и инженерного научного образования, не замыкаться на трудоемкое общения с компьютером и обладать самыми мощными и адекватными математическими возможностями.

Такими инструментами являются системы символьной математики – интерактивные многофункциональные компьютерные системы высокого интеллектуального уровня, сочетающие простоту использования с мощью самых современных математических инструментов. Их справочные материалы [3-8], содержат не только сведения по работе, но и развернутые современные учебники математики, справочники по физике и другим дисциплинам. Поэтому системы символьной математики являются интерактивной учебно-исследовательской виртуальной средой.

Работа в такой среде предполагает невольное «подтягивание» пользователя до необходимого уровня, что является своеобразной дополнительной образовательной технологией. Такие системы получили всемирное признание в научных и академических кругах как инструменты

научных исследований и прикладных инженерных расчетов; но они только начинают использоваться в образовании. При этом системы символьной математики обладают большой образовательной эффективностью, и опыт их развития указывает на перспективы их применения в учебном процессе.

Несмотря на «математическое происхождение» систем, они адекватны потребностям физико-математического и инженерного образования, как средства, содержащие самые разнообразные математические инструменты, необходимые для физических и прикладных исследований: от обработки массивов данных до квантовых систем и космологии.

Сами по себе системы символьной математики не являются средствами, «автоматически» поднимающими математический уровень пользователей: они могут служить полезными инструментами как при компьютерном решении задач, так и в самом процессе изучения физико- математических дисциплин (причем, эти стороны использования систем символьной математики, конечно же, взаимно обусловлены).

Не заменяя преподавателя и не подменяя стандартный учебный процесс, но требуя от пользователя необходимого уровня математической подготовки для общения на входных языках и составления аналитико- численных алгоритмов решения задач, системы символьной математики (имеющие встроенные инструменты верификации, в том числе и пошаговой, и обладающие обратными связями в виде интерактивных комментариев и подсказок), могут служить, с одной стороны, своеобразными контролерами качества математических выкладок, а с другой – обеспечивать учебный процесс информационного типа.

Соответствие задач физико-математического и инженерного образования и возможностей систем символьной математики делает последние естественной компьютерной средой обучения и учебно- исследовательской деятельности. Действительно, учебный процесс требует таких компьютерных средств, которые обеспечивали бы адекватный уровень математических вычислений и не требовали бы специальной программистской подготовки и трудоемкого освоения математического обеспечения.

В справочных материалах систем символьной математики имеются, помимо прочего, имеются развернутые современные учебники по математике, справочники по математике, физике и другим дисциплинам: их можно рассматривать как учебно-исследовательские среды.

Использование системы символьной математики в образовании:

создает особую информационную среду обучения, основанную на современных компьютерных технологиях;

позволяет органично сочетать фундаментальность образования с интерактивными и дистанционными формами обучения;

обеспечивает профессиональную преемственность обучения, основанную на академической и научной практике работы с ССМ.

Системы символьной математики дают возможность проводить обучение деятельностного типа, изменить общение студентов с преподавателем и студентов между собой, использовать новые формы выполнение практических и домашних заданий. Они дают возможность преемственного подхода к традиционным практическим занятиям: с одной стороны на компьютере можно решать традиционные задачи, а с другой решение таких задач может быть существенно расширено за счет возможностей компьютера (подробный анализ полученного решения: наглядное представление результатов в аналитической и графической формах).

Рабочие листы систем представляют собой так называемые «живые электронные книги»: вычисления, преобразования, построения графиков и т.п. происходит интерактивно, а пользователь имеет возможность вносить свои поправки в значения параметров, изменять функции и делать дополнения (все это сразу или по команде отражается на рабочем листе). Все это делает системы символьной математики настоящим интерактивным учебным пособием.

Использование систем символьной математики в учебном процессе обеспечивает также дополнительные возможности в:

применении индивидуальных и групповых формах выполнение заданий;

организации выполнения заданий в очной и дистанционной формах;

формулировке систем персональных заданий для каждого студента различных степеней сложности, учитывающих его образовательный уровень и скорость усвоения материала;

расширении круг решаемых задач: от коротких типовых примеров до комплексных исследовательских заданий;

развитии индивидуальных возможностей студентов.

Интегрирование систем символьной математики с системами администрирования и контроля может обеспечить все потребности современного учебного процесса.

3 Обзор основных современных символьных систем в России

К сожалению, на российском рынке массовые системы компьютерной алгебры представлены только зарубежными программами. Это связано с тем, что современные программы этого класса относятся к числу наиболее сложных программных продуктов, требующих для своей разработки больших интеллектуальных, трудовых и финансовых затрат. Пик разработки таких программ пришелся на начало 90-х годов, что совпало с распадом СССР и возникновением в России глубокого экономического и финансового кризиса. В таких условиях, создание программ, способных конкурировать с многочисленными зарубежными программами компьютерной математики, стало практически невозможным. Однако благодаря известным достоинствам операционных систем класса Windows нет никаких принципиальных ограничений на применение зарубежных программ компьютерной математики русскоязычными пользователями, хотя есть и определенные неудобства.

Наиболее мощными и качественными среди универсальных систем компьютерной алгебры являются коммерческие пакеты Maple и Mathematica, разработка которых осуществляется на постоянной основе уже более четверти века. Эти системы имеют собственные ядра, оснащены развитым пользовательским интерфейсом и обладают разнообразными графическими и редакторскими возможностями.

Maple

Является продуктом компании Waterloo Maple Software, Inc. (http://www.maplesoft.com/), которая с 1984 года выпускает программные продукты, ориентированные на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе. Благодаря представлению формул в полиграфическом формате, великолепной двух- и трехмерной графике и анимации Maple является одновременно и мощным научным графическим редактором. Простой и эффективный язык-интерпретатор, открытая архитектура, возможность преобразования кодов Maple в коды C делает его очень эффективным средством создания новых алгоритмов. Обладает интуитивно понятным интерфейсом, простыми правилами работы и широким функционалом.

Mathematica

Система Mathematica имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica. В некоторых странах (например, в США) система высшего образования тесно связана с этим продуктом. Огромное преимущество системы Mathematica состоит в том, что ее операторы и способы записи алгоритмов просты и естественны. Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных. Главное преимущество Mathmatica, делающее ее бесспорным лидером среди других систем высокого уровня, состоит в том, что эта система получила сегодня очень широкое распространение во всем мире, охватив огромные области применения в научных и инженерных исследованиях, а также в сфере образования.

MathCAD

Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается лёгкостью использования и применения для коллективной работы. Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического. Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов. Некоторые из математических возможностей Mathcad основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple.

Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип «что видишь, то и получаешь».

Несмотря на то, что эта программа, в основном, ориентирована на пользователей, не являющихся программистами, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования путём использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).

Отличительной чертой современного состояния ИТ является то, что коммерческие программные продукты во многих случаях полностью или частично можно заменить некоммерческим программным обеспечением, аналогами с открытым исходным кодом – свободными программами. Видное место среди некоммерческих проектов занимают системы Axiom, Maxima и Reduce. Несмотря на то что их основы были заложены еще до появления Maple и Mathematica, в перечисленных системах пока не достигнута «энциклопедичность», присущая Maple и Mathematica. Однако технически, благодаря открытости сходного кода, системы Axiom, Maxima и Reduce более гибки в использовании.

Maxima

Имеет широкий набор средств для проведения аналитических вычислений, численных вычислений и построения графиков. По набору возможностей система близка к таким коммерческим системам, как Maple и Mathematica. В то же время она обладает высочайшей степенью переносимости: может работать на всех основных современных операционных системах на компьютерах, начиная от наладонных, и вплоть до самых мощных. Для редактирования научных текстов в Maxima может использоваться программа texmacs, которая позволяет экспортировать документы в ряд популярных форматов, включая TeX/LaTeX и HTML/MathML. Благодаря открытому коду системы появились производные решения, например, на основе Maxima сделана программа Stack, предназначенная для автоматизированной проверки] правильности математических выражений, применимая, в частности, для компьютерной проверки ответов обучающихся математике.

Reduce

Reduce — бесплатная система компьютерной алгебры общего назначения, имеющая расширенные возможности для применения в физике.

Разработку начал в 1960-е годы Энтони Хёрн (Anthony C. Hearn), позднее к созданию системы присоединились и другие учёные. Система написана целиком на специально созданном для неё языке Portable Standard Lisp — диалекте Лиспа, включающим, в дополнении к языку со стандартным скобочным лисп-синтаксисом, специальный язык RSL с алголоподобным синтаксисом. RSL используется как основа для пользовательского языка системы.

С декабря 2008 года Reduce стал доступен бесплатно как открытое программное обеспечение.

Reduce имеет широкий набор средств для проведения аналитических вычислений, численных вычислений и построения графиков. По набору возможностей система близка к таким коммерческим системам как Maple и Mathematica. В то же время она обладает высокой степенью переносимости: она может работать на всех основных современных операционных системах на компьютерах, начиная от наладонных компьютеров, вплоть до самых мощных. Для редактирования научных текстов в Reduce может использоваться программа texmacs, что позволяет экспортировать документы в ряд популярных форматов, включая TeX (LaTeX) и HTML (MathML).

Без серьезного реального опыта работы в каждой системе крайне затруднительно объективно сравнивать возможности различных универсальных систем компьютерной алгебры и рекомендовать какую-либо определенную из них. Несомненно, выбор зависит от предметной области научных, образовательных и технических исследований.

Заключение

 

Для научных работников и инженеров системы символьной математики незаменимое средство анализа постановки всевозможных задач моделирования. Под системами компьютерной математики понимают программное обеспечение, которое позволяет не только выполнять численные расчёты на компьютере, но и производить аналитические (символьные) преобразования различных математических и графических объектов. Все широко известные математические пакеты: Maple, Matlab, Matematica, позволяют проводить как символьные вычисления, так и использовать численные методы. В настоящее время такие системы являются одним из основных вычислительных инструментов компьютерного моделирования в реальном времени и находят применение в различных областях науки. Они открывают также новые возможности для преподавания многих учебных дисциплин, таких как алгебра и геометрия, физика и информатика, экономика и статистика, экология. Применение системы символьной математики существенно повышает производительность труда научного работника, преподавателя вуза, учителя.

К сожалению, эта ветвь развития вычислительной техники и программного обеспечения в нашей стране не была поддержана в должной мере, и лидерство перешло к зарубежным разработчикам таких средств.

Список использованных источников

1. Инструментальные средства математического моделирования : учебное пособие / А. А. Золотарев, А. А. Бычков, Л. И. Золотарева, А. П. Корнюхин ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону : Южный федеральный университет, 2011. – 90 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=241127  – библиогр. с: С. 88 – ISBN 978-5-9275-0887-7. – Текст : электронный.

2. Королев, В.Т. Математика и информатика: MATHCAD : учебно-методические материалы / В.Т. Королев ; Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Российский государственный университет правосудия ; под ред. Д.А. Ловцов. - М. : Российский государственный университет правосудия, 2015. - 61 с. : ил. ; То же [Электронный ресурс].  URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=439573

3. Судоплатов, С. В. Дискретная математика : учебник : [16+] / С. В. Судоплатов, Е. В. Овчинникова. – 4-e изд. – Новосибирск : Новосибирский государственный технический университет, 2012. – 278 с. – (Учебники НГТУ). – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135675 – ISBN 978-5-7782-1815-4. – Текст : электронный.

4. Царев, А. В. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учебное пособие / А. В. Царев, Г. В. Шеина ; учред. Московский педагогический государственный университет. – Москва : Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 2016. – 116 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=471787 – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-4263-0393-5. – Текст : электронный.

12