Метод сечения, напряжение

Тип урока: комбинированный Цели урока:

А) учебная: дать понятия о внутренних силовых факторах, раскрыть значение данной темы для дальнейшего изучения дисциплины, ознакомить студентов с понятием «напряжение» в сопротивлении материалов;

Б) воспитательная: формирования познавательного интереса к предмету;

В) развивающая: развитие способностей к самостоятельному техническому мышлению и анализу, развитие понимание физических явлений.

Метод обучения: комбинированный (опрос домашнего задания, лекция, беседа, закрепление нового материала).

Оснащение урока: мультимедийный проектор для показа фрагмента фильма «Основы сопротивление материалов».

Ход и содержание урока

1. Организационный момент:

А) проверка учащихся группы – 2 минуты;

Б) сообщение темы и цели урока – 2 минуты.

1. Устный опрос по домашнему заданию – 15 минут:

А) что изучает сопротивление материалов;

Б) дать определение деформации, назвать виды деформации, привести примеры;

В) что такое прочность, достаточная прочность, жёсткость, устойчивость, привести примеры нарушения прочности, жёсткости, устойчивости в технике;

Г) допущения, используемые в сопротивлении материалов;

Д) виды нагрузок, элементы конструкций.

1. Объяснение нового материала излагается по следующим вопросам:

А) Объяснить суть метода сечений, используя при этом следующие предпосылки: чем обусловлена прочность материала; статистический эквивалент произвольной пространственной системы сил;

Б) установить виды деформации по внутренним силовым факторам (всф);

В) дать общее понятие о напряжении.

Метод сечений, внутренние усилия в поперечных сечениях бруса

Растягивая резиновый жгут, сгибая линейку, мы изучаем сопротивление этих тел. Иногда наших сил недостаточно, чтобы ещё более растянуть жгут, изогнуть металлический прут. Способность тела сопротивляться изменению первоначальной формы определяется силами сцепления между частицами тела, которые называются внутренними силами или силами упругости. Они возрастают вместе с увеличением нагрузок, но до известного предела, после чего сцепление между частицами тела прекращаются и тело разрушается. Чтобы рассчитать конструкцию на прочность или жёсткость, необходимо уметь определять внутренние силы по нагрузке. Для их выявления в сопротивлении материалов применяется метод сечений.

Прочность твёрдого тела обусловлена силами сцепления между отдельными частями. При деформации тела, величены внутренних сил изменяются. При возрастании внешних сил увеличиваются и внутренние силы до определенного предела, зависящего от свойств материала. При расчёте на прочность надо определять внутренние силы по заданным внешним. Для этого применяют метод сечений.

Тело находится в равновесии. На него действуют активные и реактивные силы. Реакции связей также являются внешними силами.

Рисунок 1

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно разрезается плоскостью на 2 части, любая из которых отбрасывается и взамен её к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действующие до разреза; остальная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил.

Рисунок 2

Установить закон распределения внутренних сил по проведённому сечению методом статики не возможно: составляя уравнения равновесия для сил, приложенных к оставленной части тела, можно найти лишь статический эквивалент внутренних сил - главный вектор и главный момент, возникающий в рассматриваемом сечении. Не имеет значения, какую часть тела отбросить. Согласно 3 закону Ньютона внутренние силы, действующие в сечении оставшейся и отброшенной частей тела, равны по модулю, но противоположны по направлению. Рациональнее оставлять ту часть тела, к которой приложено меньше сил.

При рассмотрении равновесия оставленной части допустимы любые статические эквивалентные преобразования приложенных сил (замена равнодействующей и т. д.).

Чаще всего метод сечений применяется для определения статических эквивалентов внутренних сил, возникающих в поперечных сечениях прямого бруса.

Рассматривается прямой брус

Y

Y

X X

ЦТ

Z Z

Рисунок 3 Рисунок 4

1. Разрезается брус.

2. Отбрасывается любая часть бруса.

3. Приводится система внутренних сил к главному вектору и главному моменту. Представляют их в виде 3-х составляющих по осям координат. Начало координат в центре тяжести (ЦТ) рассматриваемого сечения.

Ось OZ – по внешней нормали к сечению;

ось OY – по оси симметрии;

ось OX ┴ оси OY

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил называются внутренними силовыми факторами.

Существует 6 внутренних силовых факторов в общем случае нагружения бруса. Составляющие главного момента - векторы, но показаны они дугообразной стрелкой.

N_z – продольная сила, направленная по нормали к поперечному сечению. Она возникает при центральном растяжении (сжатии).

Q_x, Q_y – поперечные силы - возникают при деформации среза (сдвига)

M_z, M_y – изгибающие моменты. – изгиб чистый (если остальные внутренние силовые факторы равны 0) в плоскости yoz M_x ≠ 0; в плоскости xoz M_y ≠ 0 ;

В каждое из уравнений равновесия войдет лишь один внутренний силовой фактор, который и будет определён из этого уравнения.

1 ∑Z=0 N_z+ ∑F_kz=0,

2 ∑X=0 Q_x+∑F_kx=0,

3 ∑Y=0 Q_y+∑F_ky=0,

4 ∑M_x=0 M_x+∑M_x(F_k)=0,

5∑M_y=0 M_y+∑M_y(F_k)=0,

6 ∑M_z=0 M_z=∑M_z(F_k)=0, где

∑F_kz – алгебраическая сумма проекций внешних сил на ось Z;

∑M_x(F_k) – сумма моментов внешних сил относительно оси X;

N_z=∑F_kz=0 – продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось бруса Оz всех внешних сил, приложенных к его оставленной части. (по одну сторону от рассматриваемого сечения).

То же относится и к другим силовым факторам.

Напряжения

Итак, внутренние силовые факторы это ни что иное, как статический эквивалент внутренних сил, возникающих при нагружении тела внешними силами. Причём эти внутренне силы могут быть распределены по площади сечения произвольным и довольно сложным образом. Метод сечений не даёт возможности установить закон их распределения по площади сечения.

Поэтому придумали специальную меру интенсивности распределения внутренних сил и назвали её напряжением. (Не путать с электрическим напряжением).

Выделяется в окрестности точки К малая площадку ∆А. В ней возникает внутренняя сила ∆F_вн. Определяется средняя интенсивность распределения внутренней силы или говорят, среднее напряжение

Выделенную площадку необходимо уменьшать так, чтобы точка К всё время оставалась внутри площадки, то есть будем как бы стягивать эту площадку к точке К, при этом средние напряжение будет меняться как по величине, так и по направлению, стремясь к некому пределу, называемому истинным напряжением или просто напряжением в точке К. Обозначив его р, записывается

Напряжение – векторная величина и единицей напряжения служит единица силы, делённая на единицу площади. В Международной системе единиц (СИ) единица силы –H, единица площади – м² , значит единица напряжения в этой системе – H/м², названная Паскалем, т.е. 1 Па=1Н/м². Паскаль – маленькая единица напряжения, поэтому более употребительной единицей является мегапаскаль: 1Мпа=10⁶Па.

Итак, р – внутренняя сила, отнесённая к единице площади сечения. Направление вектора F совпадает с предельным направлением вектора _∆F_вн, которое он имеет при ∆А→0. Нельзя говорить о напряжении в данной точке, не указывая площадки (сечения), на которой напряжение возникает. Напряжение р принято раскладывать на составляющие по координатным осям; то есть по нормали к площадке и касательной к ней.

τ_{zy ,} τ_zx – касательные напряжения, лежащие в плоскости сечения;

σ_z – нормальное напряжение.

P² = σ_z² + τ_zy² + τ_zx² или P² = σ² + τ²

Физический смысл: в поперечном сечении бруса при растяжении (сжатии) и чистом изгибе возникают только нормальные напряжения, а при сдвиге и кручении – только касательные.

(1-й индекс означает какой оси параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения; 2-й индекс – какой оси параллельно данное напряжение)

Через точку К можно провести бесконечное множество площадок, по разному ориентированных в пространстве и каждой площадке будет соответствовать своё нормальное напряжение σ, касательное τ и р, которое называют полным напряжением. Поэтому, говоря о напряжении в точке, надо указывать, как проводится площадка, на которой рассматривается напряжение. Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через рассматриваемую точку, образует напряжённое состояние в данной точке.

4 Закрепление нового материала

А) Для чего необходимо уметь определять внутренние силовые факторы?

Б) Перечислить внутренние силовые факторы и деформации, сопутствующие им.

В) Какое из уравнений равновесия нужно использовать для определения ВСФ в указанном сечении методом сечения?

Г) Что характеризует напряжение?

Д) Какие напряжения возникают в поперечном сечении 1-1 бруса под действием крутящего момента?

5 Задание на дом.

А. И. Аркуша "Техническая механика" §2.4, §2.5.