Основы начертательной геометрии

Тамбовское областное государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Промышленно-технологический колледж

им. В.И. Заволянского»

Инженерная графика

ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Методическое пособие

Мичуринск

2023

СОДЕРЖАНИЕ

1.	ПРЕДМЕТ И ОСНОВНОЙ МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ …………………………………………………………	3
2.	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ………………………………….	3
3.	СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ …………………...	4
4.	ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ …………………………………………………	5
5.	ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ ………	7
6.	ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮРЫ ТОЧКИ ……………………...	8
7.	ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ НА ЭПЮРЕ ………………………………….	9
8.	ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ………………………………………	10
9.	СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЧЕРТЕЖАХ …………………………………………………………...	11
10.	ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ …………………………………	12
11.	ЗАДАНИЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ ………………………….	14
12.	КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ……………………………………….	15
13.	УПРАЖНЕНИЯ ………………………………………………………	16
14.	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………	17

Тема: Ортогональные проекции. Проецирование точки, прямой и плоскости. Построение эпюр.

Цель: Изучить метод ортогонального проецирования.

Приобрести навыки построения комплексных чертежей точки, прямой и плоскости согласно правилам проекционного черчения.

ПРЕДМЕТ И ОСНОВНОЙ МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В учебном курсе начертательной геометрии изучают теоретические основы построения плоских изображений пространственных фигур и способы графического решения пространственных задач при помощи этих изображений.

Предмет начертательной геометрии – все многообразие геометрических фигур трехмерного пространства.

Известны три основных способа построения изображений: аксиоматический, аналитический и конструктивный. При аксиоматическом способе связь между фигурами пространства и их изображениями устанавливается посредством системы аксиом. При аналитическом способе точкам ставятся в соответствие их координаты, поверхностям –уравнения, линиям – системы уравнений. При конструктивном способе между фигурой пространства и ее изображением устанавливается непосредственная геометрическая связь с помощью проецирующих линий и поверхностей.

В курсе начертательной геометрии рассматривают конструктивный способ построения изображений. Поэтому основным методом начертательной геометрии является метод проецирования.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

Если направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций, то параллельное проецирование называют ортогональным (прямоугольным), а проекцию предмета называют ортогональной проекцией.

Ортогональное проецирование находит широкое применение в инженерной практике для изображения геометрических фигур на плоскости, т. к. обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием к которым можно отнести:

а) простоту графических построений для определения ортогональных проекций точек;

б) возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

Указанные преимущества обеспечили широкое применение ортогонального проецирования в технике, в частности для составления машиностроительных чертежей.

СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ (эпюр МОНЖА)

Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей - системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис.1).

Рис. 1. Изображение системы трех плоскостей проекций

Эти координатные плоскости обозначаются:

1. горизонтальная плоскость проекций - ₁;

2. фронтальная плоскость проекций - ₂;

3. профильная плоскость проекций - ₃.

Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости ₂, для оси z – вверх от плоскости ₁; противоположные направления считают отрицательными.

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать только часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекций ₃.

При таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта (в общем случае – 8 октантов).

Рис. 2. Пространственная модель точки А координатных плоскостей.

Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций 1, 2 и 3, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа.

Эпюр Монжа или ортогональные проекции. Суть метода ортогональные (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ

Проекции точки на две плоскости проекций

Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А, а проекцию  а’ на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией.

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С. Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с… Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а’, b’, с'…

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II, а для их проекций – арабскими цифрами 1, 2… и 1’, 2’…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки.

Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти – переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость – на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.

При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости – с верхней частью фронтальной плоскости.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 7). Третью плоскость принято называть профильной.

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х, общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у, а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z. Точка О, которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

Рис. 7

На рисунке 7а показана точка А и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а’’) называют профильной проекцией и обозначают а’’.

Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций   а, а^ʹ, аʺ, необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 7 б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х, а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 8 стрелкой.

На рисунке 8 изображено положение проекций а, а’ и а’’ точки А, полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.

В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 8) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z).

Рис.8

На рисунке 8 три проекции а, а’ и а’’ точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а’ всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х;

2) фронтальная и профильная проекции а’ и а’’ всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z;

3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а’’– вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оа_уа₀а_н – квадрат.

ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮРЫ ТОЧКИ

На рис. 9 изображена пространственная точка А, координаты которой (x, y, z) показывают величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций.

Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А:

А1 – горизонтальную проекцию точки;

А2 – фронтальную проекцию точки;

А3 – профильную проекцию точки.

Рис. 9. Эпюр точки А

На рис. 9 плоскости проекций 1 и 3 совмещены с плоскостью чертежа ( с плоскостью проекции 2), а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А (А1, А2, А3) и таким образом получена плоскостная модель координатных плоскостей проекций и плоскостная модель пространственной точки А – ее эпюра.

Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами (рис. 9).

На рис.9. видно, что на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Х, а также фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси Z: А1А2 Х, А2А3  Z.

ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ НА ЭПЮРЕ

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а                                                                  б

Рисунок 10 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 10 а) и отрезок АВ (Рисунок 10 б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ

Горизонтально-проецирующая прямая – прямая q, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Π1 (рис. 11.). Горизонтальная проекция q1 этой прямой вырождается в точку.

Точки A и B на прямой q называют горизонтально-конкурирующими, так как они “конкурируют” друг с другом относительно горизонтальной плоскости проекций: точка A выше точки B. При взгляде сверху точка A заслоняет точку B. Говорят, что горизонтальная проекция точки B “невидима”, так как она закрыта горизонтальной проекцией точки A. Поэтому на чертеже (см. рис. 11.) проекция B1 точки B заключена в скобки. Горизонтально-конкурирующие точки применяют для определения видимости проекций геометрических фигур на плоскости Π1.

Фронтально-проецирующая прямая – прямая i, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций Π2 (рис. 12.). Фронтальная проекция i2 этой прямой вырождается в точку.

Точки C и D на прямой i называют фронтально-конкурирующими, так как они “конкурируют” друг с другом относительно фронтальной плоскости проекций: точка C находится перед точкой D. При взгляде спереди точка C заслоняет точку D, то есть фронтальная проекция точки D невидима. Поэтому на чертеже (см. рис. 12.) проекция D2 точки D заключена в скобки. Фронтально-конкурирующие точки применяют для определения видимости проекций геометрических фигур на плоскости Π2.

Профильно-проецирующая прямая – прямая j, перпендикулярная профильной плоскости проекций Π3 (рис. 13.). Профильная проекция j3 этой прямой вырождается в точку.

Точки A и B на прямой j называют профильно-конкурирующими, так как они “конкурируют” друг с другом относительно профильной плоскости проекций: точка A левее точки B. При взгляде слева точка A заслоняет точку B, то есть профильная проекция точки B невидима. Поэтому на чертеже (см. рис. 13.) проекция B3 точки B заключена в скобки. Профильно-конкурирующие точки применяют для определения видимости проекций геометрических фигур на плоскости Π3.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЧЕРТЕЖАХ

Положение плоскости в пространстве определяется:

• тремя точками, не лежащими на одной прямой;

• прямой и точкой, взятой вне прямой;

• двумя пересекающимися прямыми;

• двумя параллельными прямыми;

• плоской фигурой.

В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана:

• проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (Рисунок 14, а);

• проекциями точки и прямой (Рисунок 14, б);

• проекциями двух пересекающихся прямых (Рисунок 14, в);

• проекциями двух параллельных прямых (Рисунок 14, г);

• плоской фигурой (Рисунок 14, д);

• следами плоскости;

• линией наибольшего ската плоскости.

Рис. 14. – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ

Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Π1 (плоскость Σ на рис. 14). Горизонтальная проекция плоскости Σ вырождается в прямую линию Σ1. Фронтальная проекция этой плоскости представляет собой поле точек, совпадающее с полем Π2, то есть Σ2≡Π2. Горизонтальная проекция любой фигуры, лежащей в плоскости Σ (например, треугольника ABC) совпадает с горизонтальной проекцией Σ1 плоскости Σ, то есть A1B1C1≡Σ1.

Чтобы задать на чертеже горизонтально-проецирующую плоскость, достаточно указать ее горизонтальную проекцию Σ1. При этом положение плоскости Σ в пространстве вполне определено, так как известны углы наклона β и γ этой плоскости к плоскостям проекций Π2 и Π3 (см. рис. 14).

Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций Π2 (плоскость Δ на рис. 15). Фронтальная проекция плоскости Δ вырождается в прямую линию Δ2.

Горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой поле точек, совпадающее с полем Π1, то есть Δ1≡Π1. Фронтальная проекция фигуры, лежащей в плоскости Δ (например, треугольника ABC на рис. 15), совпадает с фронтальной проекцией Δ2 плоскости Δ, то есть A2B2C2≡Δ2.

Чтобы задать на чертеже фронтально-проецирующую плоскость, достаточно указать только ее фронтальную проекцию Δ2. При этом положение плоскости Δ в пространстве вполне определено, так как известны углы наклона α и γ этой плоскости к плоскостям проекций Π1 и Π3 (см. рис. 15).

Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций Π3 (плоскость Θ на рис. 16).

Профильная проекция плоскости Θ вырождается в прямую линию Θ3. Горизонтальная и фронтальная проекции этой плоскости представляют собой поля точек, совпадающие соответственно с точечными полями плоскостей проекций Π1 и Π2, то есть Θ1≡Π1, Θ2≡Π2.

Профильная проекция любой фигуры, лежащей в профильно-проецирующей плоскости Θ (например, треугольника ABC), совпадает с профильной проекцией Θ3 плоскости Θ, то есть A3B3C3≡Θ3.

Чтобы задать на чертеже профильно-проецирующую плоскость, достаточно указать только ее профильную проекцию Θ3. При этом положение плоскости Θ в пространстве вполне определено, так как углы наклона α, β этой плоскости к плоскостям Π1 и П2 определяются по ее профильной проекции Θ3 (отметить эти углы на рис. 16 самостоятельно).

Задание №1

На формате А4 по координатам точек, заданных в таблице 1, изобразить проекции плоскости, заданную треугольником при помощи эпюр Монжа.

№ вариант	A			B			C
	X	Y	Z	X	Y	Z		X	Y	Z
1	55	50	50	15	25	0		95	0	15
2	95	0	20	65	55	50		15	40	0
3	110	35	10	45	0	50		20	55	10
4	50	45	35	20	30	20		95	10	0
5	25	50	0	40	10	50		95	35	0
6	85	50	40	15	20	40		110	5	0
7	100	0	0	80	35	40		20	50	35
8	60	5	40	90	55	0		15	15	0
9	10	15	0	80	55	50		90	5	0
10	15	15	20	70	50	50		100	0	0
11	115	20	0	10	55	0		35	5	45
12	90	5	45	10	55	0		35	5	45
13	105	35	15	70	50	55		30	5	15
14	65	0	10	15	0	0		80	40	50
15	80	0	0	55	50	45		10	25	40
16	80	50	0	55	0	45		10	10	45
17	90	45	25	65	0	50		40	45	10

Таблица 1. Варианты к выполнению работы.

Рис. 17 Пример выполнения графической работы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение понятию «ортогональные проекции».

2. Что изучает начертательная геометрия?

3. Какой основной метод построения плоских изображений пространственных фигур используется в начертательной геометрии?

4. Какую прямую называют прямой общего положения?

5. Какие прямые называют проецирующими прямыми?

6. Как задать плоскость на ортогональном чертеже?

7. Какую плоскость называют плоскостью общего положения?

8. Какие плоскости называют плоскостями частного положения?

9. Что называют эпюром Монжа?

Упражнение №1

Построить горизонтальную и профильную проекцию точки К, от стоящей от плоскости П2 на расстоянии 25мм, и точки М, лежащей в плоскости П2 (рис. 18).

Упражнение №2

По двум данным построить третьи проекции точек А,В,С, указав на чертеже координаты этих точек (рис. 19).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боголюбов, С.К. Инженерная графика: учебник для средних специальных учебных заведений. / С.К. Боголюбов. - М.: Альянс, 2018. - 390 c.

2. Емельянов, С.Г. Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика в задачах и примерах: Учебное пособие / П.Н. Учаев, С.Г. Емельянов, К.П. Учаева; Под общ. ред. проф. П.Н. Учаева. - Ст. Оскол: ТНТ, 2018. - 288 c.

3. Кочиш, И., И. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Уч. пособие, 3-е изд., стер. / И. И. Кочиш, Н. С. Калюжный, Л. А. Волчкова и др. - СПб. Лань, 2018. - 308 c.

4. Куликов, В.П. Инженерная графика: Учебник / В.П. Куликов, А.В. Кузин. - М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2018. - 368 c.

5. Чекмарев, А.А. Инженерная графика. Машиностроительное черчение: Учебник / А.А. Чекмарев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2018. - 396 c.