Презентация "Понятие об уравнениях в частных производных"

понятие об уравнениях в частных производных

Системы дифференциальных уравнений

Нормальные системы Д.У.

• Система уравнений вида
• Система уравнений вида

• с неизвестными функциями
• с неизвестными функциями

• называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
• называется нормальной системой
• дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений

Решением системы Д.У.

называется вектор-функция

определенная в ,

имеющая там производную первого порядка и такая, что при подстановке ее и

ее производных в систему каждое уравнение превращается в тождество.

Производной вектор- функции

называется вектор-функция

Системы дифференциальных уравнений

Задача Коши для системы Д.У.:

найти решение системы

такое , что в некоторой точке

оно удовлетворяет начальному условию

Системы дифференциальных уравнений

• Векторная запись системы Д.У. Обозначим:
• Векторная запись системы Д.У. Обозначим:
• Векторная запись системы Д.У. Обозначим:
• Векторная запись системы Д.У. Обозначим:
• Векторная запись системы Д.У.
• Обозначим:

• Получим векторное уравнение
• Получим векторное уравнение
• Получим векторное уравнение
• Получим векторное уравнение
• Получим векторное уравнение

• Решение векторного уравнения – это вектор-функция , удовлетворяющая векторному уравнению:
• Решение векторного уравнения – это вектор-функция , удовлетворяющая векторному уравнению:
• Решение векторного уравнения – это вектор-функция , удовлетворяющая векторному уравнению:
• Решение векторного уравнения – это вектор-функция , удовлетворяющая векторному уравнению:
• Решение векторного уравнения
• – это вектор-функция ,
• удовлетворяющая векторному уравнению:

Системы дифференциальных уравнений

Задача Коши для векторного уравнения:

Геометрический смысл задачи Коши при N=2:

Найти интегральную кривую в пространстве, проходящую через заданную точку .

0

x

0

b

х

Системы дифференциальных уравнений

Теорема Коши ( ! )

Пусть

пусть -

непрерывная вектор-функция

и имеет непрерывные частные производные по переменным

в некоторой окрестности U

точки

! - решение векторного Д.У.

в некоторой окрестности

,

удовлетворяющее заданному

начальному условию.