Зачет по геометрии в 10 классе по теме "Многогранники"

Зачет по теме «Многогранники»

Теоретические вопросы:

1. Призма. Элементы призмы. Виды призмы. Площадь боковой и полной поверхности призмы.

2. Пирамида. Элементы пирамиды. Виды призмы. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

3. Правильные многогранники.

Задачи:

1. Все боковые грани наклонного параллелепипеда — ромбы с острым углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его вы­сота равна 2 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой гра­ни равна 10 см. Найдите пло­щадь боковой и полной по­верхности призмы.

3. Основание прямой призмы — ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверх­ность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь се­чения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

4. Боковое ребро правильной тре­угольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боко­вой и полной поверхности призмы.

5. Основание прямой призмы — ромб с острым углом 60°. Бо­ковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой по­верхности — 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

6. Две боковые грани наклонной треугольной призмы — ромбы с острым углом 30°, а третья боковая грань — квадрат. Вы­сота призмы равна 4 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

7. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной по­верхности призмы.

8. Боковая поверхность правиль­ной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм². Диаго­наль основания призмы равна 4дм. Найдите площадь се­чения призмы, проходящего че­рез диагонали двух смежных боковых граней, имеющие об­щую вершину.

9. В наклонном параллелепипеде основание и одна из боковых граней — квадраты, плоскости которых образуют угол 30°, а площадь каждого из них равна 36 см². Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

10. Основание пирамиды — пря­моугольник со сторонами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через точку пересечения диагоналей осно­вания. Найдите боковые ребра пирамиды.

11. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота — см. Найдите площадь боковой по­верхности пирамиды.

12. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 10 и 18 см. Вы­сота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найди­те большее боковое ребро пи­рамиды.

13. Боковое ребро правильной тре­угольной пирамиды равно 5 см, а высота — см. Найдите площадь боковой по­верхности пирамиды.

14. Основание пирамиды — прямо­угольный треугольник с катета­ми 15 и 20 см. Высота пирами­ды равна 16 см и проходит через вершину прямого угла. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ее высоту перпендикулярно к гипотенузе основания.

15. В правильной треугольной пира­миде апофема образует с высотой угол 30°. Найдите площадь бо­ковой поверхности пирамиды, если отрезок, соединяющий сере­дину высоты с серединой апофе­мы, равен см

16. Двугранный угол при основа­нии правильной треугольной пирамиды равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно 3 см.

17. Основание пирамиды — пря­моугольник со сторонами 12 и 16 см. Все боковые ребра пи­рамиды равны 26 см.

а) Докажите, что высота пира­миды проходит через точку пересечения диагоналей основа­ния. б) Найдите высоту пирамиды.

1. Основание пирамиды — пря­моугольник, одна из сторон которого равна 8 см. Все боко­вые ребра пирамиды равны 13 см, а ее высота равна 12 см.

а) Докажите, что высота пира­миды проходит через точку пересечения диагоналей основа­ния.

б) Найдите площадь основания пирамиды.

1. Основание пирамиды — пря­моугольный треугольник с ка­тетом 4 см и противолежа­щим углом 60^е. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°.

а) Докажите, что высота пира­миды проходит через середину гипотенузы основания.

б) Найдите боковые ребра пи­рамиды.

1. Основание пирамиды — пря­моугольник со сторонами 9 и 16 см. Высота пирамиды про­ходит через одну из вершин основания и равна 12 см.

а) Докажите, что боковые гра­ни пирамиды — прямоуголь­ные треугольники.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Основание пирамиды — пря­моугольный треугольник с ка­тетами 9 и 12 см. Боковые грани пирамиды, содержащие меньший катет и гипотенузу основания, перпендикулярны к плоскости основания. Наи­большее боковое ребро равно см.

а) Обоснуйте положение высо­ты пирамиды.

б) Найдите площадь наиболь­шей боковой грани пирамиды.

1. Правильная треугольная пи­рамида, все ребра которой рав­ны 12 см, пересечена плоско­стью, параллельной основанию пирамиды и проходящей через середину ее высоты. Найдите высоту и апофему полученной усеченной пирамиды.

2. Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 18 см, пересечена плос­костью, параллельной основа­нию пирамиды и проходящей через середину бокового ребра. Найдите высоту и апофему по­лученной усеченной пирамиды.

3. Найдите площадь боковой по­верхности правильной четы­рехугольной усеченной пира­миды, стороны оснований которой равны 3 и 7 см, а ост­рый угол боковой грани — 45°.

4. Площади оснований правильной четырехугольной усеченной пи­рамиды равны 4 и 64 см², а бо­ковое ребро образует с плоско­стью основания угол 45°. Найдите площадь диагональ­ного сечения пирамиды.

5. Высота правильного тетраэдра равна 6 см. Найдите ребро тетраэдра.

6. Постройте сечение правильного тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через ребро DA и середину ребра ВС. Будет ли плоскость сечения плоскостью симметрии тетраэдра?

7. Площадь сечения правильного тетраэдра DABC, проходящего через вершину D и высоту тре­угольника ABC, равна 4см². Найдите площадь полной по­верхности тетраэдра.

8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат.

9. Боковое ребро правильной че­тырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

10. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боко­вой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань — квадрат.

11. Высота правильной четырех­угольной пирамиды равна см, а боковое ребро накло­нено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пи­рамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

12. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте се­чение тетраэдра, проходящее через середину ребра ДА парал­лельно плоскости DBC, и най­дите площадь этого сечения.

13. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте се­чение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и най­дите площадь этого сечения.