Урок на тему: Наибольшее и наименьшее значение функции

Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики

среднего профессионального образования

«Чебоксарский техникум связи и информатики»

Министерства образования и молодежной политики ЧР

План-конспект урока на тему:

«Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»

по дисциплине «Элементы высшей математики».

Подготовила:

преподаватель математики Захарова Т.И.

Чебоксары 2012г.

План урока

Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Группа: ПК-1-11 Дата: 08 декабря 2012 г., 3 пара, ауд. У-38 Преподаватель: Захарова Т.И..

Цели урока:

Образовательная – проверить степень усвоения студентами материала прошлого урока, вывести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, формировать умения решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Развивающая – развивать познавательный интерес студентов к дисциплине, умение исследовать, выделять главное, сравнивать, анализировать, делать выводы.

Воспитательная – воспитывать умения планировать свою деятельность; бережно относиться к материальным ценностям; содержать в порядке рабочее место. Формировать опыт совместной деятельности, умение соблюдать элементарные правила и нормы устанавливаемой дисциплины и культуры общения.

Тип урока: комбинированный.

Методы урока: репродуктивный, частично-поисковый.

Внутрипредметные связи: с темами: «Свойства непрерывных функций», «Исследование функции с помощью производной».

Уровни учебной деятельности на уроке:

1 уровень – знакомства, 2 уровень – воспроизведения, 3 уровень – умений.

ТСО: Компьютер, проектор.

Оснащение ТСО: Слайды в программе Power Point.

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков.

Виды контроля знаний и умений: предварительный, текущий, тематический.

В ходе учебного занятия студенты должны:

Знать: - понятие наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; - алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке; - применение экстремумов к решению прикладных задач.

Уметь: - находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке по графику; - находить наибольшее и наименьшее значение функции аналитически используя алгоритм; - решать задачи на максимум и минимум функции.

Структура учебного занятия:

1. Организационный момент: Проверка посещаемости и выполнения домашней работы (2мин.).

2. Повторение пройденного материала и проверка домашнего задания: (10 мин.)

• устный счет (фронтально);

• практических заданий из домашней работы у доски;

• тестирование на компьютере.

3. Постановка учебной задачи - сообщение темы, целей и задач урока. (3 мин.)

4. Изучение нового материала - (10 мин.)

5. Первичное закрепление – обобщение и систематизация знаний (ответы на вопросы) (2 мин.)

6. Тренировочные упражнения (15 мин.)

7. Задания на дом- (1 мин.)

8. Подведение итогов занятия, выводы (2 мин.).

Конспект урока

1. Организационный момент: Дежурный объявляет список отсутствующих на уроке студентов, преподаватель отмечает в учебном журнале.

2. Повторение пройденного материала и проверка домашнего задания:

Начинаем с проверки домашнего задания: «Исследовать функцию и построить ее график». На доске студент строит график функции.

В это время несколько студентов группы вызываются на компьютерное тестирование по разделу: Производная. Время ограничивается до 7 мин.

Тест для проверки и систематизации знаний по разделу: Производная. (Правильные ответы выделены жирным шрифтом)

№1 Найдите производную функции

1. ; б) в) ; г) другой ответ.

№2 Найдите , если

; б) ; в) 18; г) другой ответ.

№3 Выберите функцию, производная которой .

; б) в) ; г) другой ответ.

№4 Выберите функцию, у которой не существует производной в точке 1.

; б) в) ; г) .

№5 Найдите промежутки непрерывности функции .

; б) ; в) ; г) другой ответ.

№6 Найдите область определения функции .

; б); в); г) другой ответ.

№7 Найдите промежутки возрастания функции

; б) ; в) ; г) .

№8 Найдите значение функции

; б) ; в)-3; г)3.

№9 Сколько корней имеет уравнение

; б) ; в) два; г) один.

№10 Найдите наименьший положительный период функции

.

; б) ; в) ; г) .

Параллельно с оставшимися студентами группы ведется работа на устный счет (фронтально) .

Задания для устного счета. Найдите производные:

3. Постановка учебной задачи:

По истечении времени (10 мин) начинаем работу с графиком функции
из домашнего задания, который студент построил на доске. График также демонстрируется на слайде.

График этой функции выглядит так:

Далее идет работа с графиком.

1) Рассмотрим функцию на отрезке  Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданном промежутке.

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее – в левом: .

2) Рассмотрим функцию на отрезке  Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданном промежутке.

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимум и в правом конце отрезка , а наименьшее в точке минимум  .

3) Преподаватель задает вопрос: Всегда ли максимум функции совпадает с её наибольшим значением?

Студенты: если определить наибольшее и наименьшее значение функции на разных отрезках области определения, то можно обнаружить, что в некоторых случаях максимум совпадает с наибольшим значением функции, а минимум – с наименьшим значением функции, а в некоторых не совпадает.

Если студенты не догадываются, то преподаватель предлагает сравнить значение функции в точке максимума и в других точках. Таким образом, в процессе работы студенты приходят к выводу, что максимум и наибольшее значение- это разные понятия. Аналогично сравниваются понятия минимума и наименьшего значения.

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции.

Преподаватель задает вопрос: как, не изображая графика функции, определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

Студенты формулируют алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения, который в процессе работы уточняется преподавателем и самими студентами. Далее алгоритм запишем в ходе изучения темы урока.

4. Изучение нового материала:

В рабочих тетрадях записываем дату: 08.12.12 и тему урока:

Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке .

По теореме Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Эти значения функция может принимать либо во внутренней точке , либо на границе отрезка, т.е при = или =.

Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции (точек, где производная равна нулю или не существует) (см. рис.1).

Рис.1

Правило нахождения наибольшего и наименьшего

значений функции на

1. Найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку.

2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка, т.е. в точках

3. Сравнить все полученные значения функции и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Замечание 1. Если функция на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

На рисунке 1 = f_наиб = f_max (наиб – наибольшее, max - максимальное).

Замечание 2. Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее на другом.

Замечание 3. Если - периодическая непрерывная на интервале функция, то она достигает своего наибольшего значения в бесконечном числе точек максимума и наименьшего значения в бесконечном числе точек минимума.

Например, на рисунке 2 , а , где Т- наименьший положительный период функции, а .

Рис. 2

5. Первичное закрепление: демонстрация примеров на слайдах.

Пример1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение: находим критические точки данной функции: ;

Находим 1, . Итак_,

Ответ: _,

Пример 2. Найти множество значений функции .

Решение: Эта функция является непрерывной и периодической на всей числовой прямой, поэтому из Замечания 3 следует, что множество ее значений есть

У= [,] или У = .

а) Найдем точки экстремума. Для этого найдем производную функции: = . Приравняем полученную производную к нулю: или или . То есть получим следующие точки возможного экстремума:

; ; ; .

б) Найдем значение функции в полученных точках и выберем из них самое большое и самое маленькое значение.

;;

;

.

Следовательно = ; = -3.

Ответ: .

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении практических задач.

Пример 3. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?

Решение: Обозначим через высоту и диаметр цилиндра. Тогда как видно из рисунка 3.

Рис.3

, т.к. объем цилиндра , тогда получим: , где . Найдем наибольшее значение функции на отрезке с помощью производной.

, то при , кроме того, Поэтому – точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный ) при ; диаметр основания цилиндра равен . Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную .

Ответ: Высота цилиндра равна .

Пример 4. На какой высоте h надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса a, чтобы площадка была максимально освещена у её границы?

Решение: Из курса физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормалью к поверхности с направлением светового потока), т.е. ,

где от силы источника света , помещенного в точке А (рис 4).

Рис.4

Из треугольника ОАВ имеем и . Приняв за независимую переменную, получим:

Исследуем функцию на экстремум с помощью производной:

Так как в промежутке

и в промежутке , то при функция имеет максимум, т.е. при значении освещенность в точке В является наибольшей.

Ответ:.

6. Тренировочные упражнения:

в классе:

№1 Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№2 Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№3 Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Ответ:

№4 Из квадратного листа картона со стороной вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

Ответ: .

7. Задания на дом:

дома:

№5 Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№6 Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданных промежутках:

Ответ:

№7 Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определите размеры прямоугольной площадки.

Ответ:

№8 Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.

Ответ: 5 и 5.

№9* Найти наименьшее расстояние от начала координат до точек графика функции , соответствующих абсциссам .

Ответ: 2.

дополнительно задание из ЕГЭ:

8. Подведение итогов занятия, выводы:

Преподаватель: П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.

И я очень надеюсь, что каждый из вас вспомнит этот урок, когда столкнется с задачей на оптимизацию и навыки, полученные сегодня, Вам обязательно пригодятся. Спасибо за урок.