Урок «Вторая производная и ее связь с другими науками»

Урок «Вторая производная и ее связь с другими науками» соответствует программе колледжа и проведен для устудентов второго курса. Оснащение урока: мультимедийный проектор, экран, компьютеры. в ходе урока вниманию студентов была предоставлена презентация по тематике урока. а иакже во время урока было проведено тестирование студентов, в ходе которого были выявлены пробелы в знаниях. студенты принимали активное участие в работе, проявили живой интерес к жизни и творчеству ученых-математиков. решали задачи на нахождение производный первого и второго порядков.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Урок «Вторая производная и ее связь с другими науками»»

Тема урока:

«Вторая производная и ее связь с другими науками ».

Цели урока:

Обучающие:

-закрепить понятие производной, ее геометрического и физического смысла;

-показать широкий спектр приложений производной;

-обучать применению знаний при выполнении заданий.

Воспитательные:

- развивать навыки планирования деятельности в оптимальные сроки,

-выработки критериев оценки своей работы, своих способностей;

- воспитывать чувство ответственности и сопереживания.

Развивающие:

-развивать навыки самостоятельной работы, работы с компьютером, с тестом, с кроссвордом, с дополнительной литературой;

-развивать логическое мышление при установлении связи физических величин с понятием производной.

Задачи урока:

-показать актуальность знания дифференциального исчисления в реально существующем мире;

- активировать познавательный интерес у учащихся при изучении темы

«Вторая производная и ее связь с другими науками».

Тип урока: комбинированный.

Метод: лекция-практикум.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, таблицы «Основные формулы дифференцирования», «Правила дифференцирования», графики функции, тест, кроссворд, доклады учащихся, плакаты с содержанием гипотезы, девиза урока.

Применение информационных технологий: работа с тестом в программе Word, работа с кроссвордом в программе Excel, просмотр презентации.

Программное обеспечение: программа Windows.

Ход урока:

I. Организационный момент:

- приветствие преподавателей и учащихся;

- проверка присутствия учащихся;

- сообщение темы и плана занятия;

- постановка целей и задач урока.

II.Проверка домашнего задания консультантами группы и его корректировка у доски учащимися, имеющими вопросы по его выполнению. Вся группа принимает участие в исправлении ошибок.

III. Проверка знаний по теме теоретического занятия (фронтальный опрос):

- определение производной функции в точке;

- геометрический и физический смысл производной;

- определения касательной и нормали к графику функции в точке х₀

- написать уравнения касательной и нормали для функции y=f(x) в точке х_0.

Вопросы преподавателя:

1. Кто из ученых ввел понятие производной, предела функции в точке?

2. Кто из ученых ввел символику дифференциального исчисления, которой мы пользуемся сегодня?

Ответ: И.Ньютон, Г. Лейбниц, Л. Эйлер
3. Кто из ученых до создания теории дифференциального исчисления решал задачи на нахождения экстремумов функции, на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль?

Ответ: П.Ферма, Архимед, Н. Тартальи.

4. Кто из учащихся выполнил домашнюю работу по нахождению сведений об ученых- основоположниках дифференциального исчисления?

Прозвучало кратких 6 докладов.

Историческая справка.

Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.

Задолго до 17 века Архимед решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль( применяя предельные переходы), нашел максимум функции .

В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы, касательные, наибольшие и наименьшие значения функции. Но в своих трудах он использовал сложнейшую символику Виета и поэтому его исследования не привели к созданию теории дифференциального и интегрального исчислений.

В 1736 году Исаак Ньютон создал теорию дифференциального и интегрального исчислений методом флюксий(так он называл производные). О нем писал один известный поэт Поуг:

«Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон!»

Но вся теория Ньютона была осмыслена с точки зрения физики. Математики же хотели строгих логических обоснований.

Современник И.Ньютона- Г. Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввел понятия и обозначения дифференциала, интеграла, функции, абсциссы, ординаты, координаты точки, но в его теории было много «темных пятен».

И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер теорию дифференциальных и интегральных исчислений и в таком виде изучается по сей день.

IV. Проверка знаний по теме практического занятия.

Решение 6-ти тестовых задач по теме «Производная», составленных на компьютере в программе Word (материал прилагается), время выполнения задания-15 минут.
По истечению 15 минут преподаватель вывешивает на доске ключ к ответам тестового задания и критерии оценок, по которым учащиеся сами себя оценивают под контролем преподавателя.
Группа разбивается на 5 подгрупп, выбирается спикер подгруппы.

Практическое задание: написать уравнение касательной к графику функции y=x² в точке:

I подгруппа II подгруппа III подгруппа IV подгруппа

Х₀ =-2 Х₀ =-1 Х₀ =1 Х₀ =2

Спикер подгруппы записывает полученные результаты, которые проверяются всей группой. Помощники спикеров выходят к доске по очереди и строят графики касательных в заданных их подгруппе точках на готовом плакате графика функции у=f(x) фламастерами различных цветов.

Вспоминаем физику: если поверхность параболы сделать зеркальнoй и направить лучи параллельно оси ОУ, то лучи отразятся от параболы в точках Х₀ =-2 Х₀ =1, Х₀ =3, как?

Ответ: на угол равный углу между лучем || оси ОУ касательной в точке Х_0.

Учащиеся подгрупп строят отраженные лучи на плакате фламастерами различных цветов.

Вывод: все отраженные лучи пересекаются в одной точке, называемой фокусом. На этом принципе работают фары автомобиля, параболические антены, фонари и т. д.

4.Учащиеся отгадывают кроссворд под названием «Мысли в фокус» , составленный в программе Ехсеl, содержащий вопросы по производной с вопросами по информатике( текст прилагается).

Проверка выполнения задания по кроссворду: преподаватель предлагает поднять руки тем учащимся, которые отгадали весь кроссворд, состоящий из 15–ти вопросов. Помощники, назначенные преподавателем, помогают проверить на компьютерах достоверность выполнения кроссворда. Этим учащимся выставлена оценка «5». За 12 правильно угаданных слов-«4», за десять-«3». За число правильно угаданных слов кроссворда меньшее 10-оценка «2».

Далее идет корректировка знаний по тексту кроссворда: называются правильные ответы учащимися.

5.Самостоятельная работа.

1). Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=3х³-8х, и угол, который она образует с положительным направлением оси OХ.

2). Материальная точка движется по закону S(t)=16t-2t^2.В какой момент времени тело остановится?

Учащиеся обмениваются тетрадями и исправляют ошибки друг у друга.

Правильные ответы: 1).. 2). t= 4.

V.Объяснение нового материала.

Материальная точка движется по закону S=f(t). Известно, что .

Если полученная формула скорости есть функция от времени t, то ее по времени можно продифференцировать. Но из курса механики известно, что скорость изменения скорости называется ускорением и обозначается , т.е.

или

Итак, ускорение прямолинейного движения материально движущейся точки в момент времени t равно первой производной от скорости движения или второй производной от пути по времени.

Закрепление нового материала: И.И. Валуцэ и Г.Д. Дилигул №7.85(1), №7.86(1), №7.87

VI.Заключительная часть занятия.

Аналогично можно рассчитать предельную выручку, предельную полезность Вопрос преподавателя к учащимся:

-С какими другими науками дифференциальное исчисление имеет тесную связь?

Ответ:

-С физикой.

В ходе обсуждения преподавателя с учащимися, делается вывод, что производная встречается в физике в:

1. Кинематике (скорость-есть первая производная от перемещения, ускорение-есть первая производная от скорости).

2. Механика (электромагнитные колебания- производные от функций

у=sinx, у=соsx).

3. Оптика (пример, рассмотренный на занятии с собиранием лучей зеркального параболоида в фокусе, где угол отраженного луча равен углу падающего луча и касательной в данной точке).

Преподаватель дополняет. «В наши дни без дифференциального исчисления не возможно рассчитать работу железнодорожного транспорта, космические траектории и т.д., но важную роль дифференциальное исчисление играет и в экономике.

Производительность труда- есть производная объема продукции по времени.

и т.д.

Преподаватель: «Сегодня много говорилось о производной. Из вычислений было видно, что производная бывает как положительной так и отрицательной.»

Вопрос: «Когда производная положительна, когда отрицательна?»

Ответ: «Положительна, когда функция возрастает, отрицательна- когда убывает»

Релаксация:

Преподаватель: «Проведем аналогию понятия производной с полученными знаниями на сегодняшнем занятии. Если знания по теме «Производная» на сегодняшнем занятии возросли, то ваша «производная» положительная, если нет- отрицательная».
Каждый учащийся дает себе оценку: положительная у него производная или отрицательная.

VII. Итоги занятия.

Домашнее задание: : И.И. Валуцэ и Г.Д. Дилигул §36, №7.85(3), №7.86(3), №7.88, № №7.89.