Урок в 9 классе «Прогрессия – движение вперёд!»

Урок в 9 классе «Прогрессия – движение вперёд!»

Место урока в системе уроков. Заключительный урок по теме: «Числовые последовательности».

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний учащихся по теме.

Сегодня я попробую доказать Вам, что математика - очень увлекательная, интересная и полезная наука. Она может стать захватывающим занятием не только для детей, но и для взрослых.

Представьте, что Вы стоите перед дилеммой: либо получить 100 тысяч долларов прямо сейчас, либо в течение 28 дней получать монетку в 1 цент, которая ежедневно удваивается. Что бы Вы предпочли?

Решение задачи

Большинство людей выберет 100 тысяч долларов, думая, что это большая сумма. Но они не учитывают эффект прогрессии. Если маленькая монетка в один цент будет ежедневно удваиваться, то к 28-му дню Вы получите 2.68 миллионов долларов!

Этот эффект геометрической прогрессии часто используют в бизнесе.

Как называют человека, который любит деньги? (Название человека, который любит деньги, зависит от функции, выполняемой деньгами: — мера стоимости — меркантилист; — средство обращения — бонист или нумизмат; — средство платежа — ростовщик или банкир).

В начале позапрошлого века случилась прелюбопытнейшая история, которая имеет непосредственное отношение к теме нашего урока. Штабс-капитан Соловьев, роясь в ящиках старого письменного стола, обнаружил пачку фамильных бумаг, а среди них — сберегательную книжку своего предка, голландского боцмана Нахтигаля, который по приглашению Петра I в начале XVIII в. приехал в Россию, чтобы обучать морскому делу молодых российских дворян. Иностранный специалист, похоже, планировал вернуться на родину, потому что в неком амстердамском банке оставил вклад на 240 гульденов — приличную по тем временам сумму.

Но судьба распорядилась иначе. Боцман Нахтигаль был человеком принципиальным и дворянским детям спуску не давал. Обиженные родители нерадивых учеников решили извести строгого учителя и написали на него ложный донос Петру. Тот оказался скор на расправу и приказал отрубить несчастному голландцу руки и ноги. Приговор привели в исполнение. Но вскоре Петр получил доказательства невиновности осужденного. Царь тотчас же отправился к искалеченному Нахтигалю, на коленях молил его о прощении и пожаловал ему и всем его потомкам дворянство. Фамилия голландского боцмана переводится на русский как «соловей», вот и стал он родоначальником российских дворян Соловьевых. Но вот в Амстердам ему попасть уже не пришлось.

Сберегательную книжку прадеда штабс-капитан Соловьев обнаружил где-то в 1910 г. Оказалось, что банк, которому Нахтигаль доверил свои сбережения, работает до сих пор. Даже адрес не изменился! И наследник имел право получить вклад! Но когда подсчитали сложные проценты, которые набежали на прошедшие пару веков, оказалось, что сумма, которую банк должен выплатить, превышает национальный доход Голландии. Банкиры предложили Соловьеву 15 млн. гульденов отступного. Он было согласился, но тут вмешались российские власти, которые остро нуждались в валюте. Дело должны были рассматривать в Международном суде в Гааге, но началась Первая мировая война, потом в России случилась революция, и об этой истории забыли.

На первый взгляд рассказ этот кажется невероятным: даже если бы боцман положил свои 240 гульденов под 100% годовых, за два века его вклад должен был бы увеличиться в 200 раз, но это все равно меньше 50 000. Откуда такие астрономические цифры?

И так, о каком понятии в этих задачах идет речь? О прогрессиях и тема нашего урока «Прогрессия – движение вперёд!».

II. Вспомним теорию

III. Задачи для устной работы

1. В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии    из­вест­но, что  , . Най­ди­те тре­тий член этой про­грес­сии.

2. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x .

3. Какая из сле­ду­ю­щих по­сле­до­ва­тель­но­стей яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей?

IV. Задачи для решения:

Для каждого ряда по одной задаче

1. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.

Решение:

Составим математическую модель задачи:

в первую секунду 5м,

во вторую секунду 15м,

в третью секунду 25м,

в четвертую секунду 35м,

в пятую секунду 45м.

Всего за пять секунд 5+15+25+35+45=125(м).

2. При хранении бревен строевого леса их укладывают, как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение:

Составим математическую модель задачи: 1,2,3,4,…,12.

Это

Ответ: 78 бревен.

3. Шли семь старцев

У каждого старца по семь костылей;

На каждом костыле по семь сучков;

На каждом сучке по семь кошелей;

В каждом кошеле по семь пирогов;

В каждом пироге по семь воробьёв.

Сколько всего воробьёв?

Решение:

7, 49, 343, 2401, 16807, 117649

Ответ: 117649 воробьёв

Барона Ротшильда (1909 — 2007) — французского банкира как-то попросили назвать известные ему семь чудес света. Он ответил просто и кратко: «затрудняюсь, но знаю, что восьмым чудом света являются сложные проценты». В чем же заключается уникальность сложных процентов, что о них с таким нескрываемым уважением говорит один из богатейших людей в мире?

Существует две основные схемы наращения капитала:

- схема простых процентов;

- схема сложных процентов.

Простые же проценты начисляются всегда на одну и ту же сумму: ту, которую вы внесли в банк, открывая депозит.

Когда вы кладете деньги на счет с капитализацией процентов в конце каждого периода, это значит, что в конце каждого периода банк начисляет вам положенные проценты за истекший период и прибавляет их к сумме вклада. И в конце следующего периода проценты рассчитывают уже исходя из «потяжелевшей» суммы.

Предположим, что вы положили на счёт в банке 1000 рублей. Рассмотрим таблицу, в которой чётко видна разница между простыми и сложными процентами.

В схемах простых и сложных процентов несложно заметить закономерности. Цепочка чисел, образующаяся при начислении простых процентов, составляет арифметическую прогрессию. Действительно, каждая сумма, начиная со второй, больше предыдущей на одно и то же количество денег. А при начислении сложных процентов сумма возрастает в геометрической прогрессии, так как каждая, начиная со второй, больше предыдущей в одно и тоже число раз.

Это наглядный пример того, что знание арифметической и геометрической прогрессий помогает человеку, облегчает ему жизнь.

Формула простого процента на период в годах 

где P[i] – увеличение величины P через r лет, если ставка составляет n процентов. Величиной P могут выступать депозиты, кредиты, материалы. (

Для расчета сложных процентов применяют такую формулу , где

• S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;

• Р – первоначальная величина вклада;

• n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);

• I – годовая процентная ставка.

Интересные факты (готовят учащиеся заранее)

Удивительно, насколько важны геометрическая и арифметическая прогрессии! Где только они не встречаются!

• Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.

• Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

• Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

Брошенное с некоторой высоты тело в первую секунду падает на 5м, а каждую следующую на 9,8м больше, чем в предыдущую.

• Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

• Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

• Английский математик Абрахам де Муавр в престарелом возрасте однажды обнаружил, что продолжительность его сна растёт на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.

• Идеи Мальтуса. В первоначальной формулировке Мальтуса, численность населения увеличивается в геометрической прогрессии (1, 2, 4, 8, 16 и т.д.), а производство продуктов питания — в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4, 5 и т.д.). По Мальтусу, именно этот разрыв и является причиной многих общественных бед— бедности, голода, эпидемий, войн.

(Мальтус Томас Роберт (1766-1834) - английский экономист, теоретик народонаселения).

В заключение хочу сделать следующий вывод: рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. За видимой простотой прогрессий скрывается большой прикладной потенциал этого раздела алгебры. Кто знает, может быть и Вы предложите свои варианты использования прогрессий.

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

Прогрессия – Движение вперёд!