Цель: ввести понятие комбинаторной задачи, рассмотреть задачи с учетом и без учета порядка;
Задачи: 1. Учить решать комбинаторные задачи полным перебором вариантов, а также с помощью графов. Учить решать комбинаторные задачи с помощью правил умножения и составления таблиц возможных вариантов.
2. развивать умения объяснять, строить логические цепочки решения заданий, записывать, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь
3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.
Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.
ХОД УРОКА
Организационный момент.
1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.
2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради
II. Устная работа.
Решить старинную задачу VIII века: Волк, коза и капуста
Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?
При решении этой задачи учащиеся комбинируют разные сочетания, оценивают варианты, получают следующее решение:
III. Объяснение нового материала.
1. В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»).
С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.
2. П р и м е р ы к о м б и н а т о р н ы х з а д а ч.
Рассмотрим примеры, разобранные на с. 171–172 учебника. При этом обратим внимание учащихся, что в первой задаче в комбинациях нам не важен порядок элементов, а во второй задаче порядок элементов следует учитывать.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач, называется перебором возможных вариантов. Смысл этих упражнений в том, чтобы показать учащимся преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не нужно перечислять числа произвольно, по принципу «что придет на ум». Нужна система: фиксируем один элемент и начинаем перебирать оставшиеся, анализируем и т. д.
Демонстрируем ученикам преимущества наглядного представления комбинаций с помощью графов – полных либо графа-дерева.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке при решении задач следует особое внимание уделить анализу условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка элементов, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым перечислением (полным перебором).
№ 715. В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа:
В – Вера
З – Зоя
М – Марина
П – Полина
С – Светлана
Ребра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10 вариантов выбора подруг.
стойка ноги врозь. 1 - 4 - четыре последовательных круга руками назад. 5 - 8 - то же вперед. Руки не напрягать, туловище не поворачивать. Повторить 4-6 раз. Закончить расслаблением. Темп средний.
№ 716.
В этой задаче при выборе пар входов порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошел через А, а вышел через В, а ВА означает, что вошел через В, а вышел через А.
Фиксируем каждый вход по очереди и дописываем к нему в пару оставшиеся:
А: АВ, АС, АD;
В: ВА, ВС, ВD;
С: СА, СВ, СD;
D: DA, DB, DC.
Итого – 12 вариантов.
№. 718, № 720. При решении этих задач следует обратить внимание учащихся, что если мы из цифр составляем двузначное (трехзначное) число, то нуль не может стоять на первом месте.
З а д а ч а. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
Р е ш е н и е
Первое
блюдо
Второе
блюдо
Третье
блюдо
Варианты
обеда
щ – р – к (1)
щ – р – ч (2)
щ – г – к (3)
щ – г – ч (4)
щ – п – к (5)
щ – п – ч (6)
б – р – к (7)
б – р – ч (8)
б – г – к (9)
б – г – ч (10)
б – п – к (11)
б – п – ч (12)
О т в е т: 12 вариантов.
№ 717. Заметим, что для указания способа раскладки яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку все, что не попадает в первую вазу, попадает во вторую.
Вообще, во всех случаях, когда п элементов нужно разбить на 2 группы, при подсчете количества способов разбиения достаточно подсчитать число способов формирования одной половины.
№ 727, № 728. На непосредственное применение комбинаторного правила умножения.
О б р а з е ц о ф о р м л е н и я решения задачи.
№ 728.
В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество различных карнавальных костюмов равно:
5 · 6 · 3 · 2 = 180.
О т в е т: 180 различных костюмов
№ 725. Применение комбинаторного правила умножения.
Всего 10 цифр, каждая цифра комбинируется с оставшимися девятью (причем важен порядок, так как 2–3 и 3–2 разные коды) и с самой собой (возможен код 1–1, 3–3 и т. д.). Значит, вариантов 10 · 10 = 100. Так как в доме 96 квартир, то кодов хватит для всех.
V. Итоги урока.
– Какие задачи называются комбинаторными?
– Приведите примеры ситуаций выбора комбинаций с учетом и без учета порядка элементов.
– В чем сущность способа полного перебора вариантов?
– Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?
Рефлексия:
1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?
2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?
Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.
Просмотр содержимого документа
«Урок в 9 классе "Комбинаторные задачи" »
9класс Комбинаторные задачи.
Цель: ввести понятие комбинаторной задачи, рассмотреть задачи с учетом и без учета порядка;
Задачи: 1. Учить решать комбинаторные задачи полным перебором вариантов, а также с помощью графов. Учить решать комбинаторные задачи с помощью правил умножения и составления таблиц возможных вариантов.
2. развивать умения объяснять, строить логические цепочки решения заданий, записывать, образное и логическое мышление, письменную и устную математическую речь
3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.
Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.
ХОД УРОКА
Организационный момент.
1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.
2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради
II. Устная работа.
Решить старинную задачу VIII века: Волк, коза и капуста
Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?
При решении этой задачи учащиеся комбинируют разные сочетания, оценивают варианты, получают следующее решение:
III. Объяснение нового материала.
1. В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»).
С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.
2. П р и м е р ы к о м б и н а т о р н ы х з а д а ч.
Рассмотрим примеры, разобранные на с. 171–172 учебника. При этом обратим внимание учащихся, что в первой задаче в комбинациях нам не важен порядок элементов, а во второй задаче порядок элементов следует учитывать.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач, называется перебором возможных вариантов. Смысл этих упражнений в том, чтобы показать учащимся преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не нужно перечислять числа произвольно, по принципу «что придет на ум». Нужна система: фиксируем один элемент и начинаем перебирать оставшиеся, анализируем и т. д.
Демонстрируем ученикам преимущества наглядного представления комбинаций с помощью графов – полных либо графа-дерева.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке при решении задач следует особое внимание уделить анализу условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка элементов, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым перечислением (полным перебором).
№ 715. В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа:
В – Вера
З – Зоя
М – Марина
П – Полина
С – Светлана
Ребра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10 вариантов выбора подруг.
стойка ноги врозь. 1 - 4 - четыре последовательных круга руками назад. 5 - 8 - то же вперед. Руки не напрягать, туловище не поворачивать. Повторить 4-6 раз. Закончить расслаблением. Темп средний.
№ 716.
В этой задаче при выборе пар входов порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошел через А, а вышел через В, а ВА означает, что вошел через В, а вышел через А.
Фиксируем каждый вход по очереди и дописываем к нему в пару оставшиеся:
А: АВ, АС, АD;
В: ВА, ВС, ВD;
С: СА, СВ, СD;
D: DA, DB, DC.
Итого – 12 вариантов.
№. 718, № 720. При решении этих задач следует обратить внимание учащихся, что если мы из цифр составляем двузначное (трехзначное) число, то нуль не может стоять на первом месте.
З а д а ч а. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
Р е ш е н и е
Первое блюдо
Второе блюдо
Третье блюдо
Варианты обеда
щ – р – к (1)
щ – р – ч (2)
щ – г – к (3)
щ – г – ч (4)
щ – п – к (5)
щ – п – ч (6)
б – р – к (7)
б – р – ч (8)
б – г – к (9)
б – г – ч (10)
б – п – к (11)
б – п – ч (12)
О т в е т: 12 вариантов.
№ 717. Заметим, что для указания способа раскладки яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку все, что не попадает в первую вазу, попадает во вторую.
Вообще, во всех случаях, когда п элементов нужно разбить на 2 группы, при подсчете количества способов разбиения достаточно подсчитать число способов формирования одной половины.
№ 727, № 728. На непосредственное применение комбинаторного правила умножения.
О б р а з е ц о ф о р м л е н и я решения задачи.
№ 728.
В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество различных карнавальных костюмов равно:
5 · 6 · 3 · 2 = 180.
О т в е т: 180 различных костюмов
№ 725. Применение комбинаторного правила умножения.
Всего 10 цифр, каждая цифра комбинируется с оставшимися девятью (причем важен порядок, так как 2–3 и 3–2 разные коды) и с самой собой (возможен код 1–1, 3–3 и т. д.). Значит, вариантов 10 · 10 = 100. Так как в доме 96 квартир, то кодов хватит для всех.
V. Итоги урока.
– Какие задачи называются комбинаторными?
– Приведите примеры ситуаций выбора комбинаций с учетом и без учета порядка элементов.
– В чем сущность способа полного перебора вариантов?
– Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?
Рефлексия:
1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?
2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?
Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.
