Урок по теме "Числовая последовательность. Способы задания числовой последовательности".

Урок № 32 Дата ____________

Алгебра

Класс: 9 «Б»

Тема: « Числовая последовательность и способы её задания».

Цель урока: учащиеся должны знать, что такое числовая последовательность; способы задания числовой последовательности; уметь различать различные способы задания числовых последовательностей.

Дидактические материалы: раздаточный материал, опорные конспекты.

Технические средства обучения: презентация по теме «Числовые последовательности».

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Постановка целей урока.

Сегодня на уроке вы, ребята, узнаете:

1. Что такое последовательность?

2. Какие виды последовательностей существуют?

3. Как задаётся числовая последовательность?

4. Научитесь записывать последовательность с помощью формулы и множества ее элементов.

5. Научитесь находить члены последовательности.

3.Работа над изучаемым материалом.

3.1. Подготовительный этап.

Ребята, давайте проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:

–понедельник, вторник,…..

– январь, февраль, март…;

– Глебова Л, Гановичев Е, Дряхлов В, Ибраева Г,…..(список класса);

–10,11,12,…99;

Из ответов ребят делается вывод, что вышеназванные задания – это последовательности, то есть какой-то упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте, и, если поменять местами члены, то последовательность нарушится (вторник, четверг, понедельник – это просто перечисление дней недели). Итак, тема урока – числовая последовательность.

3.1. Объяснение нового материала. ( Демонстрационный материал)

Анализируя ответы учащихся, дать определение числовой последовательности и показать способы задания числовых последовательностей.

(Работа с учебником с. 66 – 67)

Определение 1.Функцию y = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y₁, y₂, y₃, ..., y_n, ... или (y_n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Чаще всего последовательности будем обозначать так: (а_n), (b_n), (с_n) и т.д.

Определение 2. Члены последовательности.

Элементы, образующие последовательность, называются членами последовательности.

Новые понятия: предыдущий и последующий член последовательности,

а₁ …а_п. ( 1-ый и п-ый член последовательности)

Способы задания числовой последовательности.

1. Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.(демонстрационный материал)

Разобрать примеры

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n²;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n², ... .

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;

C, C, C, ...,C, ... .

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Пример 4. Последовательность y = 2ⁿ;

2, 2², 2³, 2⁴, ..., 2ⁿ, ... .

1. Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Приближения числа π.

Пример 2. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Пример 3. Последовательность чисел делящихся на 5.

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

1. Рекуррентный способ.

Рекуррентный способ заключается в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если указаны ее несколько первых членов (как минимум один первый член) и формула, позволяющая по предыдущим членам вычислить ее следующий член. Термин рекуррентный произошло от латинского слова recurrere, что означает возвращаться. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, вычисляя следующий член на основе предыдущего. Особенностью этого способа является то, что для определения, например, 100-го члена последовательности необходимо сначала определить все предыдущие 99 членов.

Пример 1. a₁=a, a_n+1=a_n+0,7. Пусть a₁=5, тогда последовательность будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Пример 2. b₁= b, b_n+1= ½ b_n. Пусть b₁=23, тогда последовательность будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y₁=1, y₂=1,y_n-2+y_n-1, если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . ( п-ый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих членов)

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

Дополнительная информация:

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был значительным математиком средневековья. С помощью данной последовательности Фибоначчи определил число φ (фи); φ=1,618033989.

1. Графический способ

Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер, а по вертикальной – значение соответствующего члена последовательности.

Для закрепления способов задания прошу привести несколько примеров последовательностей, которые задаются или словесным, или аналитическим, или рекуррентным способом.

Виды числовых последовательностей

( На перечисленных ниже последовательностях отрабатываются виды последовательностей).

Работа с учебником стр.69-70

1) Возрастающая – если каждый член меньше следующего за ним, т.е. a_n a_n+1.

2) Убывающая – если каждый член больше следующего за ним, т.е. a_n a_n+1.

3) Бесконечная.

4) Конечная.

5) Знакочередующаяся.

6) Постоянная (стационарная).

Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонными.

1. 3; 6; 9; 12; 15; 18;…

2. 5, 3, 1, -1.

3. –1; 2; –3; 4; –5; …

4. 1, 4, 9, 16,…

5. –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

6. 3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Работа с учебником : выполним устно №150, 159 стр.71, 72

3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.

Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Решение.

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.

б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.

Пример 2. Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=2, y_n = y_n-2+y_n-1, если n = 3, 4, 5, 6, ... .

Решение.

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=1+2=3;

y₄=2+3=5;

y₅=3+5=8;

y₆=5+8=13;

y₇=8+13=21;

y₈=13+21=34;

y₉=21+34=55;

y₁₀=34+55=89.

Пример 3. Последовательность (y_n) задана рекуррентно: y₁=1, y₂=2,y_n=5y_n-1- 6y_n-2. Задать эту последовательность аналитически.

Решение.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

y₁=1;

y₂=2;

y₃=5y₂-6y₁=10-6=4;

y₄=5y₃-6y₂=20-12=8;

y₅=5y₄-6y₃=40-24=16;

y₆=5y₅-6y₄=80-48=32;

y₇=5y₆-6y₅=160-96=64.

Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., которую можно представить в виде

2⁰; 2¹; 2² ; 2³ ; 2⁴ ; 2⁵ ; 2⁶ ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2^n-1.

Пример 4. Дана последовательность y_n=24n+36-5n².

а) Сколько в ней положительных членов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Решение.

Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x² +24x+36, где x

а) Найдём значения функции, при которых -5x² +24x+360. Решим уравнение -5x² +24x+36=0.

D = b²-4ac=1296, X₁=6, X₂=-1,2.

Уравнение оси симметрии параболы y = -5x² +24x+36 можно найти по формуле x=, получим: x=2,4.

- + -

-1,2 6

Неравенство -5x² +24x+360 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.

б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y₂=64.

в) Наименьшего элемента нет.

3.4.Задания для самостоятельной работы по теме:

Вариант 1.

1. Напишите первые пять членов последовательности, членами которой являются натуральные числа, кратные числу 15.

2. Последовательность задана формулой х_п=3п²+1. Найдите: а) х_1; б) х₅; в) х_т; г)х_3т.

3. Определите номер члена последовательности, заданной формулой а_п=41-2п, равного 19.

4. Последовательность задана рекуррентным способом: у₁=-3, у_п+1=2у_п+5. Найдите первые три члена последовательности.

5. Напишите формулу общего члена последовательности, членами которой являются натуральные числа, при делении которых на 7 в остатке остается 1.

Вариант 2.

1. Напишите первые пять членов последовательности, членами которой являются натуральные числа, кратные числу 17.

2. Последовательность задана формулой х_п=8п²-п.

Найдите: а) х_1; б) х₆; в) х_т; г)х_2т.

1. Определите номер члена последовательности, заданной формулой

в_п=-38+3п, равного -2.

1. Последовательность задана рекуррентным способом: х₁=-7, х_п+1=5х_п-1. Найдите первые три члена последовательности.

2. Напишите формулу общего члена последовательности, членами которой являются натуральные числа, при делении которых на 13 в остатке остается 2.

3.5. Проверка: (взаимопроверка)

1 вариант

1. 15, 30, 45, 60, 75

2. а) х₁=3·1²+1=3+1=4

б) х₅=3·5²+1=3·25+1=75+1=76

в) х_т=3·т²+1;

г) ) х_3т=3·(3т)²+1=3·9т²+1=27т²+1;

1. а_п=41-2п,

41-2п=19

-2п=19-41

-2п=-22

п=11

Ответ:а₁₁=19

1. а_п=7п+1

2 вариант

1. 17, 34, 51, 68, 85

2. х_п=8п²-п.

а) х₁=8·1²-1=8-1=7

б) х₆=8·6²-6=8·36-6=288-6=282

в) х_т=8·т²-т;

г) ) х_2т=8·(2т)²-2т=8·4т²-2т=32т²-2т;

1. в_п=-38+3п,

-38+3п=-2

3п=-2+38

3п=36

п=12

Ответ:в₁₂=-2

1. а_п=13п+2

4. Оценивание результатов выполненной работы и подведение итогов урока.

5. Рефлексия.

1. Что вам понравилось на уроке?

2. Вы на уроке работали хорошо или плохо? Почему?

1. Что мы узнали на этом уроке?

– Что такое последовательности;

– название элементов последовательности;

– виды последовательностей;

–способы задания последовательностей.

1. Домашнее задание: п.9 изучить; группа А: № 148-153

группа В: № 154-158