Урок "Нахождение корней квадратного уравнения"

Нахождение корней квадратного уравнения

Предварительная подготовка к уроку, учащиеся должны знать следующие темы: «Квадратное уравнение и его корни», «Неполные квадратные уравнения», «Метод выделения -полного квадрата», «Ре­шение квадратных уравнений», «Приведенное квадратное уравне­ние. Теорема Виета», уметь решать квадратные уравнения

Цели урока: 1) образовательная: формирование умения система­тизировать и ориентироваться в полученных знаниях, свободно вла­деть ими; 2) воспитательная; формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля; 3) развивающая: развитие внимания, памяти, по­знавательного интереса к предмету, умения рассуждать и аргумен­тировать свои действия.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной (для второго блока устной работы нарисована ромашка) и самостоя­тельной работы, таблица со значениями коэффициентов, карточки с дифференцированными заданиями, записка для самостоятельного задания (прикреплена на третьем ряду на четверток парте) и сюрприз (см. задание), учебники.

Тип урока: урок-смотр знаний.

Ход урока

1. Устная работа

]. (На доске написано несколько простых и сложных для решения квадратных уравнений. Простыми должны быть такие, которые уче­ники смогли бы решить во время устной работы.)

• Какие из приведенных ниже квадратных уравнений можно ре­шить сейчас? (Все, кроме последнего примера. )

1. х² -25 = 0;

2. 5х² - 5х = 0;

3. 7х² + 16 = 0;

4. (2х + 3)² + 7 = 0.

• Что объединяет те квадратные уравнения, которые можно ре­шить прямо сейчас? (Они являются неполными квадратными урав­нениями.)

Давайте решим такие уравнения.

(Ученики решают уравнения. Они не поясняют ход своего реше­ния. Просто дают готовый ответ.)

Ответы: 1) х_1,2 = ±5; 2) х₁ = 0, х₂ = 1; 3) корней нет.

1. Фронтальный опрос.

• Сформулируйте определение квадратного уравнения. (Квадрат­ным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с - заданные числа, а , х— неизвестное. )

-Назовите формулы неполных квадратных уравнений. Почему они называются неполными квадратными уравнениями? (Формулы неполных квадратных уравнений: ах² =0, ах² + с=0 (с0), ах² +b х =О (0).Квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 называ­ется неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.)

• Как взаимосвязаны дискриминант и корни квадратного уравне­ния? Чему равны корни квадратного уравнения? (При вычислении корней квадратного уравнения необходимо знание дискриминанта:

X_{1,2 =}

• Какое уравнение называется приведенным квадратным уравне­нием? (Квадратное уравнение вида x²+ рх + q = 0 называется при­веденным. В этом уравнении первый коэффициент равен 1. )

3. Один ученик, решая квадратное уравнение х² + 10х - 24 = 0, до­пустил ряд неточностей. Если вы найдете их, то мы сможем испра­вить допущенные ошибки.

Х² + 10х-24 = 0;

D=b²-4ac=100-96=4

X_{1,2 =}

X₁=-8, X₂=-6

Решение:

Первая ошибка допущена при вычислении дискриминанта: Db² -4aс= 100 + 96= 196.

Соответственно: X_{1,2 =}

X₁=2, X₂=-12

Вторая ошибка допущена при вычислении первого корня уравне­ния. При D = 4 Х₁ = -4.

• Каким еще способом можно решить данное уравнение? (Через коэффициент k.)

Давайте решим уравнение этим способом.

х²+10x-24 = 0;

D₁ = k²-aс = 25 + 24 = 49;

X_{1,2 =}

X₁=2, x₂=-12

Ответ: X₁=2, x₂=-12

1. Выполнение заданий

1. (Работа ведется по карточкам с дифференцированными заданиями.) Найдите ошибку и дайте правильный ответ.

Упрощенные задания

1. 4а² = а (4а = 1).

Решение: 4а² = а: 4а =1; а =

Ответ, данный в задании, верный.

Ответ: а =

1. 5х² = 0 (х = 5).

Решение: 5х² = 0; х²= 0; х = 0.

Ответ, данный в задании, неверный.

Ответ: х = 0.

Задания для среднего уровня

1. х²-1=0; (х=1);

Решение: х²-1=0; х²=1; х_1,2=

Ответ, данный в задании, не совсем верный.

Ответ: х_1,2=

1. х² - Зх- + 25 = -Зх (х = 5).

Решение: х² – 3х+ 25 = -Зх; х² -3х + 25 = -3х; х² = -25.

Так как -25

Ответ, данный в задании, неверный.

Ответ: корней нет.

Задания повышенной сложности

1. Зх² + х = 0 (х(3х) = 0).

Решение: Зх² + х = 0; х(3х + 1) = 0; х = 0 или Зх + 1=0;

х = 0 или 3х=-1;

х₁ = 0, х₂₌ .

Ответ, данный в задании, неверный.

Ответ: х₁ = 0, х₂₌ .

1. (Зх -1)² - 1 = 0 (х = 0).

Решение: (3x - 1)² - 1 =0; 9х² - 6.x + 1 -1 = 0;

9x² - 6х = 0; 3х(3х - 2) = 0;

3x = 0 или 3х - 2 =0;

х = 0 или Зх = 2;

х₁ = 0, х₂₌

Ответ, данный в задании, не совсем верный.

Ответ: х₁ = 0, х₂₌

Устная работа

1. Составьте квадратное уравнение, которое имеет следующие ко­эффициенты. (На доске таблица, последний столбик которой не за­полнен.)

№	а	b	c	Уравнения
1	-5	4	-7	-5х2+4х-7=0
2	1	0	-16	Х2+16=0
3	1	3	0	Х2+3х=0
4	4	-2	-5	4х2-2х-5=0
5	-1	4	0	-х2+4=0

2.Игра «Ромашка». На лепестках ромашки даны составные компо­ненты уравнения, которое должно быть записано в центре. Задача в том, чтобы как можно быстрее составить само уравнение. Задание также можно сделать дифференцированным и вызвать к доске уче­ников с разным уровнем подготовки. В данном случае важно опре­делить, как они составляли уравнение, ведь вариантов может быть множество.

Первый лепесток: (х - 4).

Второй лепесток: (х + 6).

Третий лепесток: x₁ = 4.

Четвертый лепесток: х₂ = -6.

Пятый лепесток: a = 1.

Решение:

Первый способ.

Если a = 1, то это приведенное квадратное уравнение.

Если x₁ = 4 и х₂ =-6 - корни уравнения, то оно имеет вид (х - 4) (х + 6).

Раскрыв скобки, получим уравнение х² + 2х - 24 = 0.

Второй способ:

Если а = 1, то это приведенное квадратное уравнение.

Если (х- 4) и (х + 6) - множители, то с = 24.

Второй коэффициент вычисляется при раскрытии скобок.

Получаем уравнение х² + 2х - 24 = 0.

Третий способ.

Если а = 1, то это приведенное квадратное уравнение.

Следовательно, x₁ + х₂₌ -р и х₁*х₂=q. Так как ,x₁=4 и х₂=-6 , то

1. + (-6) = -р и 4 *(-6) = q. Таким образом, p=2,q = -24.

Получаем уравнение x² + 2х - 24 = 0.

ІV.Выполнение заданий

1. (Работа ведется по карточкам с дифференцированными зада­ниями. Можно сделать так, чтобы простые задания один ученик вы­полнял у доски. Задания двух других категорий сложности выполняются самостоятельно в тетради и у доски (по одному человеку). После этого подводятся итоги.)

Упрощенные задания

1. Продолжите вычисление дискриминанта по соответствующей формуле:

5х² + 7х-2 = 0.

D=b²-….

Решение: D =b² - 4ас -49 + 40 = 89.

Ответ : D =89.

1. Решите уравнение х² + 5х + 6 = 0.

Решение: D =b² - 4ас = 25 - 24 = 1;

X_{1,2 =}

X₁ =-2, X₂=-3

Ответ: X₁ =-2, X₂=-3

Задания для среднего уровня

1. Закончите решение уравнения Зх² - 5х + 2 - 0.

D =b² — 4ас = 25 — 24 = 1. X₁=, х₂ =.

Решение: Зх² - 5х + 2 = 0;

D=b²- 4ас = 25 - 24 = 1

X_{1,2 =}

X₁ =1, X₂ =

1. Решите уравнения и определите, к какому уравнению даны от­веты х = 6, X_1.2= ± и верны ли они.

5х² + 4х-28 = 0 и х²-6х + 3 = 0.

Решение: 5х² + 4х - 28 = 0;

D₁₌ k ²-ac= 4 + 140 144,

X_{1,2 =}

х² - 6х+3 = 0

D₁₌ k ²-ac= 9-3=6

X_{1,2 =}

Данные в задании ответы не соответствуют тем, которые полу­чены при решении уравнений. Следовательно, они не верны.

Ответ: ответы не верны.

Задания повышенной сложности

1. При каком значении b уравнение х² – 2bх +3=0 имеет один ко­рень?

Решение: квадратное уравнение имеет один корень, если дис­криминант равен нулю. То есть, подставляя значения в фор­мулу дискриминанта (D = b² - 4ас), получаем следующее вы­ражение: 4b² – 4*3 = 0. Решим полученное уравнение:

4b² -4*3 = 0; 4(b² - 3) = 0; b² - 3=0;

b² = 3; b =

Следовательно, уравнение х² – 2bх + 3=0 имеет один корень при b =

Ответ: при b =

1. Найдите такое положительное число b, чтобы левая часть урав­нения была квадратом разности, и решите полученное уравнение.

х² - bх + 4 = 0.

Решение: х¹ - Ьх + 4 - 0.

Формула квадрата разности: (a-b)^г = а² - 2ab + b^г. Приведем данное уравнение к виду х² - bх + (2)² = 0, (х - 2)² = 0. При раз­ложении квадрата разности получим: х² - 4х + 4 = 0. Следова­тельно, b = 4.

Ответ: b= 4.

1. (Работа ведется по карточкам с дифференцированными зада­ниями. Надо объяснить ученикам, что ответы, полученные при ре­шении данных уравнений, являются координатами, по которым они потом могут построить картинку.)

На карточках даны задания. Полученные ответы станут координа­тами будущей фигуры. Обратите внимание на то, что из полученных корней является абсциссой, а что ординатой.

Упрощенное задание

Решите уравнение х² + Зх = 0.

Решение:

X² + Зх = 0; х(х + 3) = 0;

х = 0 или х +3 = 0;

Х₁ = 0, х₂ = -3.

Координаты точки (x_1; х₂), т. е. (0; -3).

Ответ: (0; -3).

Задание для среднего уровня

Решите уравнение х² - 2х -3 = 0. Координаты точки (x_1; х₂). Для получения координат второй точки нужно зеркально отразить коор­динаты точки относительно оси ординат.

Решение: х² - 2х - 3 = 0;

D = b²- 4ас = 4+12 = 16;

X_{1,2 =}

x₁=3, х₂=-1

Координаты точки (x_1; х₂), т. е. (3; -1). Для получения координат второй точки нужно зеркально отразить координаты точки относи­тельно оси ординат. Получается точка с координатами (-3; -1).

Ответ: (3; -1), (-3;-1).

Задание повышенной сложности

Решите уравнение: x² + 5х - 6 = 0. Координаты точки (х₂; .x₁). Для получения координат второй точки нужно зеркально отразить коор­динаты точки относительно оси ординат.

Решение: х²+ 5х - 6 = 0;

D = b² - 4ас = 25 + 24 = 49;

X_{1,2 =}

x₁=1, х₂=-6

Координаты точки (х₂; .x₁), т. е. (-6; 1). Для получения координат второй точки нужно зеркально отразить координаты точки относи­тельно оси ординат. Получается точка с координатами (6; 1).

Ответ: (-6; 1), (6; 1).

(В итоге построения по координатам должен получиться треуголь­ник, одна из вершин которого направлена вниз.)

1. Самостоятельная работа

(Данное задание является конкурсным. Необходимо заранее при­готовить записочку, прикрепить ее на парте под номером 4 третьего ряда. Там могут быть слова одобрения (например, «Вы хорошо по­работали на уроке!», «Спасибо за урок!») или указание на какой- нибудь приз (например, математическая книга, положительная оцен­ка и т. д.).)

В уравнении х² -рх - 4 = 0 один из корней равен -1. Если вы най­дете число р, то узнаете номер ряда, а второй корень укажет на пар­ту, где спрятан сюрприз.

Решение: данное уравнение является приведенным квадратным уравнением. При его решении можно использовать теорему Виета. Если х₁ и х_2; - корни уравнения х² + рх + q = 0, то справедливы сле­дующие формулы: х₁ + х₂ = -р, х₁*х₂ = q. Подставляя имеющиеся значений, получаем: -1 + х₂=р и (-1) * х₂ = -4.

При решении второго уравнения получаем, что х₂= 4. Подставляем это значение в первое уравнение: -1 + 4 = р. Отсюда р = 3.

Ответ: х₂ = 4, р=3.