Урок математики по теме "Решение текстовых задач"

Урок математики

по теме:

«Решение текстовых задач»

Подготовила

Полякова Ольга Николаевна,

учитель математики

МОУ «СОШ № 4»

г.Печора Республика Коми

2014 год

Тема: «Решение задач» (9 класс)

Цели урока:

• обобщить знания и умения учащихся при реше­нии задач составлением уравнений и систем уравне­ний, нестандартных задач, уравнений в целых чис­лах;

• развивать у учащихся логическое мышление, на­выки исследовательской и самостоятельной работы, культуру математической речи.

Ход урока

2. Язык алгебры — уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвле­ченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический» — писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгеб­раический? Рассмотрим следующую задачу.

3. Задача 1. История сохранила нам мало фактов био­графии замечательного древнего математика Диофан­та. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице — надписи, составленной в форме мате­матической задачи. Рассмотрим эту надпись.

Путник! Здесь прах погребен Диофанта.

И числа поведать

Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

Часть шестую его представляло прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни — покрылся

Пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном

Браке провел Диофант.

Прошло пятилетие; он

Был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой

Старец земного удела конец восприял, переживши

Года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, сколько лет жизни достигнув,

Смерть восприял Диофант?

4.Идет совместное обсуждение решения задачи: уча­щиеся читают каждую строку в левом столбце и перево­дят совместно с учителем прочитанное на язык алгебры. Через компьютер идет заполнение правой части табли­цы. За неизвестное принимают все годы жизни Диофан­та. В результате получается следующая таблица.

• Решив уравнение в тетрадях, учащиеся получают, что х = 84.

На родном языке	На языке алгебры
Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать Могут, о чудо, сколь дологбыл век его жизни.	х
Часть шестую его представлялопрекрасное детство.	х/6
Двенадцатая часть протеклаеще жизни — покрылся Пухом тогда подбородок.	х/12
Седьмую в бездетном Браке провел Диофант.	х/7
Прошло пятилетие; он Был осчастливен рожденьемпрекрасного первенца сына,	5
Коему рок половину лишьжизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом.	х/2
И в печали глубокой Старец земного удела конецвосприял, переживши Года четыре с тех пор, как сына лишился.	х = х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2+ 4
Скажи, сколько лет жизни достигнув, Смерть восприял Диофант?	х = 84

5.Какие интересные биографические фак­ты мы узнали о Диофанте, решив задачу?

Ученики. Он женился в 21 год, стал отцом на 38-м году, потерял сына на 80-м году и умер, прожив 84 года.

Рассмотрим еще одну несложную старин­ную задачу, которую можно легко перевести с родного языка на язык алгебры.

6.Задача 2. Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непо­мерно тяжелую ношу.

— Чего ты жалуешься? — отвечал ей мул. — Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты взяла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей.

Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?

Учащиеся самостоятельно в тетрадях решают за­дачу, заполняя сначала левый столбец таблицы (запи­сывают задачу на родном языке), а затем, на втором этапе решения заполняют правый столбец таблицы (переводят задачу на язык алгебры). Проверка осу­ществляется по этапам через компьютер, проектор.

7.В результате у учащихся должна получиться следую­щая таблица.

На родном языке	На языке алгебры
Если я возьму у тебя один мешок,	х-1
ноша моя	у + 1
станет вдвое тяжелее твоей.	у+ 1 = 2(х-1)
А вот если бы ты взяла с моей спины один мешок,	у - 1
твоя поклажа	х+1
стала бы одинакова с моей.	у-1=х+1

После проверки правильности заполнения табли­цы учащиеся решают систему уравнений с двумя не­известными

Решив ее, находим: х = 5, у = 7.

Ответ: лошадь несла 5 мешков и 7 мешков нес мул.

8. Рассмотрим нестандартную задачу, ко­торую можно решить, не переводя ее на язык алгебры, так как «она совсем не алгебраическая, а арифметиче­ская и притом крайне простая, затрудняющая толь­ко своей нешаблонной формой» — так об этой задаче говорил профессор, известный физик А.В. Цингер. А придумал задачу писатель JI.H. Толстой.

Задача 3. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же полови­на косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

9.Давайте сделаем чертеж к этой задаче и проведем анализ условия. Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то какую часть луга заполдня скашивает пол-артели?

1/3
1/3
	1/6
1/3	1/3

Ученики. Пол-артелизаполдня скашивает 1/3 луга.

Значит, как на чертеже можно изобра­зить работу косцов?

Ученики. Значит, один косец в день скашивает 1/6 луга, так как на малом лугу остался нескошенным уча­сток в ½ - 1/3 = 1/6 луга. Можно посчитать, сколько всего было косцов: 1/6 луга за день скашивает один косец, было скошено за день 6/6 + 1/3 = 6/6 + 2/6 = 8/6

Ответ: в артели было 8 косцов.

10. Может ли алгебра понадобиться в парик­махерской? Оказывается, что такие случаи бывают. Рассмотрим следующую задачу.

Задача 4. Однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

• Не поможете ли нам разрешить задачу, с кото­рой мы никак не справимся?

• Уж сколько раствора испортили из-за этого! — добавил другой.

• В чем задача? — осведомился я.

• У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30%-й и 3%-й. Нужно их смешать так, чтобы соста­вился 12%-й раствор. Не можем подыскать правиль­ной пропорции...

Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась очень простой. Какой именно?

11. Задачу можно решить и арифметически, но язык алгебры приводит к цели проще и быстрее. Давайте введем неизвестные величины. За х граммов возьмем количество требуемого 3%-го раствора, а зауграммов количество требуемого 30%-го раствора. То­гда к какому уравнению мы придем?

Так как требуется х граммов 3%-го- рас­твора, то в первой порции будет содержаться 0,03х граммов чистой перекиси водорода,а в у граммов 30%-го раствора чистой перекиси будет 0,3у, а всего 0,3у + 0,03х.

В результате получается (х + у) граммов раствора, в котором перекиси должно быть 0,12(х + у). Состав­ляем уравнение 0,03х + 0,3у=0,12(х + у).

Решая его, находим х = 2у. Таким образом, 3%-го раствора надо взять вдвое больше, чем 30%-го.

12. Решим задачу на движение.

Задача 5. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч и возвратился со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость его езды?

(Обманчивая простота задачи вводит многих в заблуждение.Поэтому обычно ученики предлагают следующее решение.)

Ученик. Средняя скорость есть среднее арифмети­ческое между скоростями туда и обратно, то есть

V_ср. = = 50

- Это простое решение было бы правиль­ным, если бы поездка в одну сторону и в обратном на­правлении длилась одинаковое время. Но ясно, что обратная поездка (с меньшей скоростью) должна была отнять больше времени, чем езда туда. Учтя это, мы поймем, что ответ 50 км/ч найден неверно. Давайте найдем другое решение. Введем неизвестные величи­ны. Какие?

13. Нам неизвестно расстояние между горо­дами s, среднюю скорость движения обозначим v.

Давайте попытаемся соста­вить уравнение на время.

- время движения туда, - времядвижения обратно, + - общее время туда и обратно, - время движения туда и обратно со средней скоростью.А так как общее время и время движения со сред­ней скоростью одинаково, можно составить и решить уравнение:

= +

Мы получили уравнение с двумя неиз­вестными. Можно ли это уравнение разделить на s?

Да, так какsне равно нулю. Получаем уравнение

= +

Решая его, находимv= 48.

Ответ:средняя скорость движения 48 км/ч.

Учитель. Если бы мы решали задачу в буквенных обозначениях (туда автомобиль ехал со скоростью а километров в час, обратно — со скоростью b километ­ров в час), то получили бы уравнение = + . Сократим это уравнение наsи выразимv.Получим:

v =

Эта величина называется средним гармоническим для величин а иb.

Итак, средняя скорость движения выражается не средним арифметическим, а средним гармоническим скоростей движения. Для положительных неравных величин а иbсреднее гармоническое всегда меньше,чем среднее арифметическое:

Перейдем к рассмотрению следующей задачи.

14. Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, что­бы периметр прямоугольника равнялся его площади?

Решим задачу алгебраически, применяя ваши умения в решении уравнений в целых числах. Подумайте, какое уравнение можно составить, исходя из условия задачи.

15.Итак, пусть стороны прямоугольника х и у. Так как периметр равен 2(х + у), а площадьху и по условию задачи они равны, получаем уравнение 2(х + у) = ху.

Выразим х через у.

Ученик(работа у доски).

x = = = = + = 2 +

Учитель. Стороны прямоугольника — целые чис­ла. Какое должно выполняться условие, чтобы х было целым числом?

Ученик. Так как х должно быть целым числом и это сторона прямоугольника, то выражение должнобыть натуральным. Значит,

если у - 2 = 4, то у = 6, х = 3; если у - 2 = 2, то у = 4, х = 4; если у - 2 = 1, то у = 3, х = 6.

Больше вариантов нет. То есть мы получаем либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

Задача 7. Коровы на лугу. Трава на всем лугу рас­тет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров — в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?

При обсуждении этой задачи ребята, как правило, всегда ошибочно излагают ход решения, не учитывая, что трава все время растет, и в итоге приходят к неле­пым ответам.

Решение. Введем вспомогательное неизвестное. Пусть в сутки прирастает у травы, общий запас при­мем за 1, а количество коров обозначим за х. Составим таблицу.

Кол-во	Съедают	Съедают	Съедает за сутки одна корова
коров	за 24 дня	за сутки
70 коров	24у + 1	(24у +1): 24
30 коров	60у + 1	(60у + 1): 60

Поскольку количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково, то составим и решим уравнение:

=

у =(прирастает на лугу травы за одни сутки). Найдем, сколько травы за сутки съедает одна корова:

= =

Составим таблицу.

Кол-во коров	Съедают за 96 дней	Съедают за сутки	Съедает за сутки одна корова
х коров	96 * + 1 = 1,2	1,2 : 96	1,2 : (96х)

Поскольку количество травы, съедаемое коровой за сутки, для всех стад одинаково, то составим и ре­шим уравнение:

1,2 : (96х) = 1 : 1600,

96х = 1,2 * 1600,

96х = 1920,

х = 20.

Ответ: 20 коров поели бы всю траву за 96 дней.

Учитель. Итак, давайте подведем итог нашей ра­боте. Интересными ли были задачи, решенные на уро­ке? Понравились ли они вам? Трудны ли они были в решении и понимании? Узнали ли вы что-то новое се­годня на уроке? А знаете ли вы, что все рассматриваемые нами задачи были задачами одного автора — Якова Исидоровича Перельмана? (На экране портрет Я. И. Перельма­на.)

16.Сегодня на уроке мы решали задачи из кни­ги Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная алгебра». Попробуйте дома найти и прорешатьзадачи Я.И. Перельмана на отгадывание чисел и разобрать­ся, в чем кроется секрет в этих задачах.

Занимательно обо всем

Не может быть, чтобы вам ни разу не попалась на глаза хоть какая- нибудь из книг Якова Исидоровича Перельмана. Названия многих из них звучат даже немного вызывающе: «Занимательная арифметика» или «Живая математика»! Казалось бы, что может быть заниматель­ного в арифметике? Но давайте посмотрим на числовую «пирамиду».

1 х9 + 2 = 11

12x9 + 3=111

123x9 + 4=1111

1234x9 + 5=11111

12345x9 + 6 = 111111

123456x9 +7= 1111111

1234567x9 + 8 = 11111111

12345678x9 + 9 = 111111111

Трудно поверить, но все эти равенства верные! Однако если мы за­метим, что для умножения целого числа на 9, достаточно приписать к нему справа 0 и из полученного числа вычесть исходное, то легко поймем, как и почему все эти равенства получаются.

Кажется, Перельман может найти неожиданные и интересные свойства чуть ли не у каждого числа. Например, число 365 - количе­ство дней в году, чем оно еще может быть примечательно? Оказывает­ся, его можно представить как сумму квадратов двух последователь­ных чисел: 365=13² + 14², но этого мало,его можно представить и как сумму квадратов трех последовательных чисел (подумайте, как)!

Такие красивые наблюдения встреча­ются в книгах Перельмана буквально на каждом шагу. Но он писал не только о математике, его интересовали физика, механика, астрономия... Всего им напи­сано более 80 научно-популярных книг и 18 школьных учебников и учебных пособий, многие из них заслуженно переиздаются уже более полувека.

Певец математики, бард физики

Кем же был человек, чьи книги разошлись по всему миру в миллионах экземпляров и продолжают служить людям, несмотря на то, что наука за эти годы ушла далеко вперед, да и школьники нынешние мало напоминают своих сверст­ников дореволюционных или даже довоенных лет?

Яков Исидорович Перельман родился 22 ноября 1882 года в г. Белосток Гродненской губернии. |

Свою первую научно-популярную статью он опублико­вал в 1899 году, будучи еще учеником реального училища. Статья называлась «По поводу ожидаемого огненного дож­дя». Дело в том, что осенью 1899 года ожидалось пересечение траектории Земли с метеоритными потоками, и пошли разговоры о том, что «огненные дожди», которые при этом возникают, служат предвестниками конца света. Семнадцатилетний автор основательно поработал над обоснованием ложности утверждения: прочел не одну книгу по астрономии, провел самостоятельные расчеты, и смог убеди­тельно показать, что «огненный дождь» не страшнее увеселительного фейерверка. Эти черты - основательная научная подготовка, краси­вые расчеты и умение взглянуть на предмет с неожиданной сторо­ны — сохранились в творчестве Перельмана на всю жизнь.

После окончания училища в 1901 году Перельман поступил в Санкт-Петербургский императорский Лесной институт. Институт давал очень солидное общее образование, Перельман учился со всей добросовестностью, очень много читал сверх обязательной програм­мы. Еще учась в институте, он начал сотрудничать с журналом «При­рода и люди», где публиковал научно-популярные очерки. К моменту окончания института он был автором десятков научно-популярных очерков, статей и заметок. Популяризация науки и стала главным де­лом его жизни.

Живая математика

«Мы рано перестаем удивляться, рано утрачиваем драгоценную способность, которая побуждает интересоваться вещами, не затраги­вающими непосредственно нашего существования. То, что живо за­нимало нас, когда нам „были новы все впечатленья бытия", перестает привлекать внимание, становясь привычным. Вода была бы, без со­мнения, самым удивительным веществом в природе, а Луна — наибо­лее поразительным зрелищем на небе, если бы то и другое не попада­лось на глаза слишком часто», - писал Я.И. Перельман в статье «Что такое занимательная наука». И всю жизнь он работал для того, чтобы помочь своим читателям снова испытать это удивление и восхище­ние.

Познакомьтесь с некоторыми задачами из книг Перельмана — и вы, наверное, почувствуете, почему его книжки так долго остаются актуальными и интересными.

1.Существует мнение, что стол о трех ногах никогда не качает­ся, даже если ножки его и неравной длины. Верно ли это?

2.Говорят, каждый десятый мужчина на Руси - Иван, а каждый двадцатый - Петр. Если это верно, то попробуйте сосчитать, кого же на Руси больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?

3.Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 5 человек.

4.Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макуш­ка нашей головы описала бы более длинный путь, чем наши ступ­ни. Как велика эта разница?

5.Какое самое большое число можно записать четырьмя едини­цами?

6.Четырьмя разными способами выразите число 100 пятью оди­наковыми цифрами.

7.Расстояние от Казани до Астрахани пароход преодолевает за 4 суток и 8 часов, а обратный путь - за6 суток и 12 часов. А сколь­ко времени понадобится плоту, чтобы пройти по Волге то же рас­стояние?

8.Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире, какая кружка вместительнее?

Дом занимательной науки

В 1930-е годы по инициативе и под руководством Я.И. Перельма­на в Ленинграде был создан один из первых в мире научно-популярных музеев – Дом занимательной науки (поначалу – Павильон занимательной науки

Сейчас подобные музеи действуют во многих странах, но тогда это было совершенно новое дело. Самым непривычным в этом музее было то, что почти все экспо­наты двигались, звучали, одним словом, работали, а по­сетителям разрешалось не только рассматривать их, но и трогать, вмешиваться в их работу, ставить собствен­ные эксперименты.

Чудеса в музее начинались прямо от входа: в фойе работал удивительный буфет. В нем горячий чай нали­вали из посуды, стоявшей в битом льду, а ложечка, ко­торой мешали этот чай, таяла быстрее сахара... Одним из экспонатов музея был его потолок: его укра­шал ровно миллион ярких желтых кружочков. А чтобы под­черкнуть, как это много (целый миллион!), в центре потолка была выделена область, количество кружочков в которой было рав­но числу звезд, видимых на небе невооруженным глазом (около 2500).

За первый же месяц работы музей посетило более 30 тысяч человек, и он быстро стал одним из любимых мест ленинградских школьников. К лету 1941 года количество посетителей превысило полмиллиона.

Когда началась война, Яков Исидорович отказался уезжать из осаж­денного Ленинграда, он читал лекции для красноармейцев и ополчен­цев, а также для партизан, готовившихся для борьбы в тылу врага. К сожалению, за время блокады почти все экспонаты музея погибли. Не пережил страшную блокадную зиму и сам создатель музея, - 16 марта 1942 года Яков Исидорович умер от истощения в блокадном Ленин­граде.

Книги Я.И. Перельмана

1.Веселые задачи.

2.Живая математика.

3.Занимательная алгебра.

4.Занимательная арифметика.

5.Занимательная астрономия.

6.Занимательная геометрия.

Литература:

1.Газета «математика», приложение к 1 сентября, № 22, 2007 год.