Урок алгебры «Тригонометрические уравнения»

Урок по алгебре в 10 классе

«Тригонометрические уравнения».

Цели урока:

Образовательные: изучить способы решения тригонометрических уравнений; повторить методы решения тригонометрических уравнений; познакомить учащихся с историей развития тригонометрии.

Развивающая: развитие внимания, математического мышления, речи.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, самостоятельности, активности; формирование навыков групповой, индивидуальной деятельности в сочетании с самостоятельностью учащихся.

Требования к знаниям, умениям и способам деятельности: овладеть понятиями и умениями, связанными с решением тригонометрических уравнений; овладеть приемами оценки решений уравнений; правильно употреблять термины; уметь решать простые тригонометрические уравнения; уметь применять методы для решения тригонометрических уравнений;

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формы работы: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, практический.

Оборудование и дидактический материал: компьютер, проектор, презентация к уроку, карточки для индивидуальной и парной работы учащихся, тестовые задания.

Литература:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. / А.Ш Алимов, Ю.М Колягин. и др.- 18-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 464 с.

Структура урока:

1. Организационный момент(1мин).

2. Актуализация знаний(5мин)

- устная работа (2мин);

- повторение методов решения тригонометрических уравнений(3 мин).

3. Выполнение теста.(10мин)

4. Групповая работа учащихся (игра «Поле чудес»).(7мин)

5. Самостоятельная работа учащихся (выполнение заданий разной уровни сложности).(15мин)

6. Домашнее задание.(1мин)

7. Итоги урока.(1мин)

Ход урока

1.Организационный момент(1 мин).

Учитель: Здравствуйте ребята! Мы начинаем очередной урок алгебры. Сегодня на уроке мы изучим методы решения тригонометрических уравнений; будем выполнять тест, задания разной уровни сложности. Но сначала давайте отметим отсутствующих и проверим домашнее задание. (Учитель фиксирует отсутствующих, дежурный докладывает о выполнении домашнего задания.)

2. Актуализация знаний (5 мин).

А) Проверка домашней работы (устно).

Б) Устная работа

• Приведите пример простейшего тригонометрического уравнения.

cos x = 1/2;

sin x = ;

tg x = 1

• С помощью, каких значений находим решение этих уравнений(arcos; arcsin; arctg)

• Формулы решения простых тригонометрических уравнений sin x = а и cos x =а.

sin x = а	cos x =а
x = (-1)karcsin a + Пk, k Z	x = ± arcos a + 2Пn;

Имеется ли решение уравнений cos x = 1,5; sin x = -2. Почему?

В) (Устно) Среди уравнений выбрать те, которые решаются: (слайд 2)

А) приведением к квадратному(№1,6,8)

Б) как однородные(№4,9)

В) с помощью введения вспомогательного аргумента(№3,10)

Г) разложением на множители(№2,7)

Д) с помощью формул суммы и разности(№5)

1. 2tg²x-tgx-3=0

2. 2cosx+3sin2x=0

3. sinx+cosx=1

4. 2sin²x+cos²x=5sinxcosx

5. sinx+sin3x=sin5x-sinx

6. 2cos²x+3sin²x+2cosx=0

7.cos²x-cosx=0

8. 8sin²2x+cos2x+1=0

9. sin2x+4cos²x=1

10. 2tgx-4ctgx+7=0

3. Выполнение теста(10 мин).(слайд 3,4)

Учитель: Сейчас, для поверки знаний, вам будут предложены разноуровневые тестовые задания.

1 вариант

2 вариант

1. Какие из данных уравнений не имеют корней? а) sinx=-0,44 б) cosx=5 в) tgx=-10 г) ctgx=0 2.Решите уравнение и выберите правильный ответ: cos(/2-x)=-1 а) - /2+2n , nZ ; б) -/2 ; в)  /2+2n , nZ; г) (-1)n/2+n , nZ 3.Решите уравнение и выберите правильный ответ: cos(+x)=sin/2 а) n , nZ ; б) /2+k,kZ ; в)  /4+n , nZ; г) +2n , nZ 4.Решите уравнение и выберите правильный ответ: 2sinxcosx=-1/3 а)-/3 ; б) (-1)n+1 +(1/2)arcsin(1/3)+1/2n , nZ ; в)  /3+2n , nZ; г) (-1)n+/3+n , nZ 5.Решите уравнение: tg²x-√3tgx = 0 Ответ: 6. Найти наименьший положительный корень уравнения: Sin3xcosx-cos3xsinx=1/2 Ответ: 7. Решите уравнение:2sin²-3sinx=-1 Ответ: 8. Сколько нулей имеет функция у=3sin(2x+/4) на отрезке [0; 2]? Ответ:

1. Какие из данных уравнений не имеют корней? а) cosx=-0,33 б) sinx=4 в) ctgx=-8 г) tgx=0 2. Решите уравнение и выберите правильный ответ: sin(/2+x)=1 а) - /2+2n , nZ ; б) 2πn, nZ; в)  /2+2n , nZ; г) (-1)n/2+n , nZ 3.Решите уравнение и выберите правильный ответ: sin(-x)=tg/4 а) n , nZ ; б) /2+2 n , nZ ; в)  /4+n , nZ; г) +2n , nZ 4.Решите уравнение и выберите правильный ответ: cos2x-sin2x=1/3 а)-/3 ; б) (-1)n+1 (1/2)arcsin(1/3)+1/2n , nZ ; в) ±1/2arccos(1/3)+2n, nZ г) ±1/2arccos(1/3)+n, nZ 5.Решите уравнение: tg2x+tgx = 0 Ответ: 6. Найти наибольший отрицательный корень уравнения: cos2xcosx-sin2xsinx=√3/2 Ответ: 7. Решите уравнение:2cos²x-cosx=-1 Ответ: 8. Сколько нулей имеет функция у=3cos(2x-/4) на отрезке [0; 2]? Ответ:

После выполнения теста ученики, сидящие за одной партой, обмениваются работами и проверяют выполненные задания соседа, выставляют оценки по данным критериям. Ответы теста написаны на доске.

За правильное выполнение

1-4 заданий – «3», 1-6 – «4», 1-7 или 1-6, 8 - «5». (слайд 5)

4. Групповая работа (игра «Поле чудес»)(7мин)(слайд 6)

Учитель: Перед вами карточки, на которых изображены числа с буквами. Ребята, вам нужно сначала решить уравнения, после найти карточки, совпадающие с ответом и расшифровать слово.

Учащиеся работают по вариантам, каждый получает по своему уравнению. После решения по одному человеку из каждого варианта (кто раньше всех закончил) выходят и записывают получившееся слово у доски.

1 вариант	2 вариант
1.2sin2x-1=0 2. 6sin2x+sinx=2 3. sin2x-4sinxcosx+3cos2x=0 4. 2sin(π/3-x/4)=√3 5.sin4x-sin7x=0 6. 2sin2x-sin2x=cos2x 7.cos2x-sin2x=0,5 8. 6cos2x+cosx-1=0 9. 2sinx+cosx=0 10. sin3x+cos3x=√2 11.2cos(π/4-3x)=√2	1.cos2x+8sinx=3 2.cos2x+sin²x=cosx 3.sinx=cosx 4.-2sinx+5sin2x=0 5.sin²x-2sinxcosx-3cos²x=0 6.(cosx-sinx)²=cos(5π/3) 7.cos(π/2+3x)=sinx 8.sin2x+sinx=2cosx+1 9.cosx-sin(π/2-x)+cos(π+x)=0 10. 2cos(π+2x)=1 11. cos5x-cos3x=sinx 12.2sin²x+5cosx=4

π/4+πn; arctg3+πk, n,kZ	Ь
(-1)nπ/12+πn/2, n Z	О
-arctg(1/2)+πk,kZ	З
π/4+πn/2, nZ	А
π/6+2πn/3; 2πk/3, n,kZ	И
π/12+2πk/3,kZ	М
(-1)kπ/6+πk; (-1)n+1arcsin2/3+πn, k,nZ	Л
8πn; -4π/3+8πk, n,kZ	-
±π/6+πn, nZ	Р
-2πk/3; ±π/11+2πn/11, n,kZ	Х
2π/3+2πn; ±arccos(1/3)+2πk, n,kZ	Е

(-1)nπ/12+πn/2, nZ	Р
π/2+πn; 2πk, n,kZ	E
π/2+πk, kZ	Й
πn; ±arccos(1/5)+2πk n,k	H
±π/3+πk, kZ	Л
±π/3+2πk, kZ	Р
πk/2, kZ	Д
π/4+πk, kZ	O
πn; (-1) k+1π/24+πk/4, n,kZ	Е
π/2+2πk; ±2π/3+2πn, k,nZ	Э
(-1)narcsin(2-√3)+πn, nZ	Л
arctg3+πn; -π/4+πk, n,k Z	A

1 вариант 2 вариант

Ответ: Аль-Хорезми Ответ: Леонард Эйлер

Учитель: Мы расшифровали сейчас фамилии двух известных людей – математиков. Они вложили свой вклад в развитие тригонометрии. Теперь поговорим немного о них. Можете делать краткие записи в тетради (слайды на презентации). (слайд 7,8,9)

5. Самостоятельная индивидуальная работа учащихся (задания разной уровни сложности)(15 мин).(слайд 10)

Учитель: Перед вами карточки с заданиями на оценку "3","4" и "5". Здесь даны тригонометрические уравнения. Их нужно решить.

В зависимости от того какую оценку вы хотите получить, каждый из вас выберет карточку с заданиями.

Задания первого уровня

Карточки с заданиями на оценку "3".

Вариант 1                                  Вариант 2

Решите уравнениe методом сведения к квадратному.

2соs²x+5sinx-4=0 4-5cosx-2sin²x=0

Решите уравнениe методом разложения на множители

3cosx+2sin2x=0 5sin2x-2sinx=0

Решить однородное тригонометрическое уравнение

2sin²x-5sinxcosx+4cos²x=0 3sin²x-4sinxcosx-5cos²x=0

Задания второго уровня.
Карточки с заданиями на оценку "4".

Решить уравнения, самостоятельно выбрав метод решения.

1 вариант 2 вариант

1) cos2x – 5sinx – 3 = 0 1)cos2x + 3sinx = 2

2)sinx – cos3x = 0 2) cosx – sin3x = 0

3)2sin²x-5sinxcosx+3cos²x=0 3)4sin²x+sinxcosx-3cos²x=0

Задания третьего уровня.

Карточки с заданиями на оценку "5".

Решить уравнения, самостоятельно выбрав метод решения.

1 вариант 2 вариант

1)1 + 7cos²x = 3sin2x 1)3 + sin2x = 4sin²x

2)cosx + 1 = ctgx + cosx ctgx 2) tgx – sinx·tgx = 1 – sinx

3) 5-5cos(π/2-x)=2cos²(π-x) 3) sin²(2π+x)-sin²(π/2+x)=1/2

7.Домашнее задание: подготовка к контрольной работе(§33-36)(1мин) (слайд 11)

Домашняя контрольная работа:

Вариант1 Вариант2

1.Решите уравнения: 1.Решите уравнения:

а) sin2x+1=0 а)cos2x-1/2=0

б) sin2x+2cos²x=0 б) 2sinxcosx=cosx

2. Решите неравенство: 2. Решите неравенство:

а) cos2 = sin2 - 0,5 а) cosx = sin2x

б) sinx + cosx = 1 б) sinx + cos2x – 1= 0

3.Решите уравнения: 3.Решите уравнения:

a) 7sin²x=8sinxcosx-cos²x a) 2cos²2x-1=sin4x

б)sin4x-sin7x=0 б) 2sinx+cosx=0

8.Подведение итогов урока(2 мин).

Учитель: Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами закрепили навыки решения тригонометрических уравнений, повторили методы их решения . А также познакомились с известными математиками, вложившими свой вклад в развитие тригонометрии . Все вы молодцы, очень хорошо справились с заданиями.

Учитель аргументировано выставляет каждому ученику оценку.

Учитель: На этом урок математики закончен. До свиданья. (слайд 12)

6