Тема: Теорема синусов

Урок изучения нового материала по геометрии в 9 классе на тему: «Теорема синусов»

Цели урока:

а) образовательная

• познакомить с формулировкой и доказательством теоремы синусов;

• выработать у учащегося навыки решения задач с использованием тригонометрических функций;

• развить умение решать треугольники.

б) развивающая:

• развитие внимания, мышления, наблюдательности, активности;

• развитие устной и письменной речи;

• развитие умений применять полученные знания на практике.

в) воспитательная:

• воспитание самостоятельности, эстетичности;

• воспитание интереса к предмету математики.

Метод урока: объяснительно-иллюстративный.

Тип урока: урок изучения и усвоения нового материала.

Структура урока:

Мотивация к учебной деятельности – 1 мин.

1. Актуализация опорных знаний – 5 мин.

2. Мотивация практической необходимости рассмотрения теоремы синусов- проблемная ситуация – 7 мин.

3. Изучение нового материала – 10 мин.

4. Закрепление изученного материала – 10 мин.

5. Самостоятельная работа – 10 мин.

6. Рефлексия – 1 мин.

7. Домашнее задание – 1 мин.

Ход урока

1Актуализация опорных 3наний Вопросы после приветствия и орг.момента

– Чем мы занимались на прошлом уроке? (мы доказали теорему о площади треугольника)

– Какие задачи вы учились решать? (задачи на вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними)

– Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим свои знания о нем.

2-й этап. Мотивация практической необходимости рассмотрения теоремы синусов- проблемная ситуация 1.В треугольнике АВС АС =b,,найдите высоту треугольника h_c, если а) -острый, б) -тупой. 2.Дано а b= m n (а ,b,m ,n –числа , отличные от нуля).Составьте из чисел а ,b,m,n пропорцию. Всегда ли задача имеет решение? 3) Доказать теорему о площади треугольника .

(Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними)

4) Ученики решают задачи по данной теме.1. Как найти длину стороны ВС в треугольнике АВС, если АВ=3см, АС-4см,

В процессе решения данной и последующих задач учитель подчеркивает , что решение данных задач нерациональное , эти задачи можно решить проще, если будет известна теорема , называемая теоремой синусов.

2.Дано: 

Найти: 

Решение:     

Правильность решения задачи проверяется.

Фронтальный опрос: (повторение формул для вычисления площади треугольника).

а) формулы площади треугольника

б) формулы приведения

в) определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника.

Устные упражнения: 1.Найдите площадь треугольника АВС.

2.Найдите площадь параллелограмма АВСD.

3.Найдите высоту параллелограмма АВСD.

Проблемная ситуация.

1) Предлагается решить устно задачу.

Верно ли для прямоугольного треугольника равенство:?

  c=c=c

После того, как учащийся убедился, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника?».

Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов.

Практическая работа. Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные результаты – отношения равны.

Карточка план – реализации практической работы

1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3).

2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС).

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство. отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.

5. Сделайте вывод.

– Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и докажите, что они равны.

– Чем отличается это задание от предыдущего? (нам нужно доказать, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– Что вам придется доказывать? (равенство отношений)

– Как называется утверждение, которое требуется доказать? (теорема)

– Сформулируйте тему урока. ( Доказать теорему о том, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– В геометрии эта теорема называется теоремой синусов. Историческая справка Впервые эту теорему доказал выдающийся азербайджанский учёный Насирэддин Туси(1201-1274гг.)

Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях

«Теорема синусов». Попробуйте доказать теорему. На выполнение задания отводится 2 мин.

Давайте обобщим все сказанное и составим план доказательства.

1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3).

2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС).

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.

5. Сделайте вывод.

4-й этап. Объяснение нового материала.

1) Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 Дано: Пусть в AB = c, BC = a, AC = b.

Доказать: .

Доказательство.

По теореме о площади треугольника

Из первых двух равенств получаем значит, аналогично, из второго и третьего равенств следует    Итак, . Теорема доказана.

Теорему можно записать и в другом виде: 

А где мы можем проверить правильность нашего решения?

Откроем учебники на стр. 256.

Итак, мы доказали теорему синусов.

1) Запишите теорему синусов для треугольников:

ΔМНР: 
ΔОКТ: 

2) В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к задаче №1033.

Вывод: если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то .

где R – радиус окружности, описанной около треугольника.

Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности.

5-й этап. Закрепление материала. 

Чем вы сейчас будете заниматься? (будем выполнять задание, где используется теорема синусов)

1) Работа с учебником

№1025 а,б.

6-й этап. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Работа по вариантам.

На экране эталон решения.

Выяснить у кого какие результаты.

Кто и где допустил ошибку.

1 ВАРИАНТ

Выразите х и у через синусы острых углов.

Решение:

Ответ: 

2 ВАРИАНТ

Выразите х и у через синусы острых углов.

Решение:

Ответ: ; 

7-й этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

– Какую цель вы ставили перед собой на уроке? – Вы достигли поставленной цели?

– Что помогало выполнять задание? – Проанализируйте свою работу на уроке, заполнив карточку.

Карточка для этапа рефлексии.

Ответьте на вопросы: Данная тема мне понятна. Я хорошо понял теорему синусов.

Я знаю, как пользоваться теоремой синусов.В самостоятельной работе у меня все получилось.

1. Я понял теорему, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки при вычислении Я доволен своей работой на уроке ..

8-й этап. Домашнее задание.

§

9-й этап. Подведение итогов.