Конспект урока математики с презентацией для 9 класса на тему "Теорема синусов"

В процессе решения данной и последующих задач учитель подчеркивает , что решение данных задач нерациональное , эти задачи можно решить проще, если будет известна теорема , называемая теоремой синусов.

2.Дано: 

Найти: 

Решение:  

Правильность решения задачи проверяется.

Фронтальный опрос: (повторение формул для вычисления площади треугольника).

а) формулы площади треугольника

б) формулы приведения

в) определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника.

Устные упражнения: 1.Найдите площадь треугольника АВС.

2.Найдите площадь параллелограмма АВСD.

3.Найдите высоту параллелограмма АВСD.

1) Предлагается решить устно задачу.

Верно ли для прямоугольного треугольника равенство:?

  c=c=c

После того, как учащийся убедился, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника?».

Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов.

Практическая работа. Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные результаты – отношения равны.

Карточка план – реализации практической работы

1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3).

2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС).

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство. отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.

5. Сделайте вывод.

– Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и докажите, что они равны.

– Чем отличается это задание от предыдущего? (нам нужно доказать, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– Что вам придется доказывать? (равенство отношений)

– Как называется утверждение, которое требуется доказать? (теорема)

– Сформулируйте тему урока. ( Доказать теорему о том, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– В геометрии эта теорема называется теоремой синусов. Историческая справка Впервые эту теорему доказал выдающийся азербайджанский учёный Насирэддин Туси(1201-1274гг.)

Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях

«Теорема синусов». Попробуйте доказать теорему. На выполнение задания отводится 2 мин.

Давайте обобщим все сказанное и составим план доказательства.

1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3).

2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС).

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.

5. Сделайте вывод.

1) Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 Дано: Пусть в AB = c, BC = a, AC = b.

Доказать: .

Доказательство.

По теореме о площади треугольника

Из первых двух равенств получаем значит, аналогично, из второго и третьего равенств следует    Итак, . Теорема доказана.

Теорему можно записать и в другом виде: 

А где мы можем проверить правильность нашего решения?

Откроем учебники на стр. 256.

Итак, мы доказали теорему синусов.

1) Запишите теорему синусов для треугольников:

ΔМНР: 
ΔОКТ: 

2) В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к задаче №1033.

Вывод: если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то .

где R – радиус окружности, описанной около треугольника.

Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности.

Чем вы сейчас будете заниматься? (будем выполнять задание, где используется теорема синусов)

1) Работа с учебником

№1025 а,б.

Работа по вариантам.

На экране эталон решения.

Выяснить у кого какие результаты.

Кто и где допустил ошибку.

1 ВАРИАНТ

Выразите х и у через синусы острых углов.

Решение:

Ответ: 

2 ВАРИАНТ

Выразите х и у через синусы острых углов.

Решение:

Ответ: ; 

– Какую цель вы ставили перед собой на уроке? – Вы достигли поставленной цели?

– Что помогало выполнять задание? – Проанализируйте свою работу на уроке, заполнив карточку.

Карточка для этапа рефлексии.

Ответьте на вопросы: Данная тема мне понятна. Я хорошо понял теорему синусов.

Я знаю, как пользоваться теоремой синусов.В самостоятельной работе у меня все получилось.

1. Я понял теорему, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки при вычислении Я доволен своей работой на уроке ..

§97; №1025 (г), №1026.